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专题18 实际问题与一元一次方程
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串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点01 列一元一次方程解应用题的步骤
①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系
②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x）
③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系
④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程
⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值
⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称）
知识点02 用一元一次方程解决实际问题的常见类型
1.行程问题：路程＝速度×时间 2.顺水逆水问题：顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速
3.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率
4.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价
5.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量
6.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数
7.数字问题：多位数的表示方法：例如：
【题型1 实际问题与一元一次方程之古代问题】
例题：（2025·安徽淮北·三模）
1．我国古代《孙子算经》记载了“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”其意思是“每3人共乘一辆车，恰好空余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘，问人和车的数量各是多少？”求人和车的数量．
【变式训练】
（2025·陕西西安·模拟预测）
2．《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”大意是一群人出行，如果三人同乘一辆车，则空余两辆车，其余车恰好坐满；如果两人同乘一辆车，则所有车都坐满后还有九人步行．请问共有多少人出行？
（24-25七年级上·四川成都·期末）
3．隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．问：人、银各几何？(选自《算法统宗》)
题目大意：几个人分银子，若每人分两，则剩余两；若每人分两，则差两问：有多少个人？
有多少两银子？
(1)设人数为，请求解此题；
(2)设银子总数为两，请求解此题．
（24-25七年级上·河南信阳·阶段练习）
4．“曹冲称象”的故事取材于《三国志》，故事中的称象方案是这样的：先将象牵到船上，并在船的侧面标记水位，再将象牵出，然后往船上抬入20块等重的条形石，并在船上留3个体重相同的士兵，这时水位恰好在标记位置；如果再抬入1块同样的条形石，船上只留1个士兵，水位在标记位置不变，已知每块条形石的质量都是140千克．设每个士兵的体重是x千克．
(1)可列出等量关系：20块条形石的质量个士兵的体重=_______块条形石的质量+_______个士兵的体重．
(2)求x的值．
(3)象的质量是_______千克．
【题型2 实际问题与一元一次方程之销售问题】
例题：（2025·安徽蚌埠·三模）
5．某商场采购甲、乙两种篮球，采购40个甲种篮球和30个乙种篮球共需要5550元，其中甲、乙两种篮球的进价和售价如下表：
甲种篮球 乙种篮球
进价（元/个）
售价（元/个） 100 75
(1)求上表中m的值；
(2)第二次商场采购了35个甲种篮球和45个乙种篮球，由于两种篮球进价都比上次优惠了20%，商场准备对甲种篮球进行打折出售，让利于顾客，乙种篮球价格不变，全部售完后总利润为 1 665元，求甲种篮球打了几折．
【变式训练】
（24-25七年级下·湖南长沙·期中）
6．今年中国动画震撼世界，截至三月底，《哪吒之魔童闹海》总票房超过一百五十亿元．某企业组织员工去电影院观看《哪吒之魔童闹海》，电影票比普通电影票贵元，企业花费元购买了张普通电影票和张电影票．
(1)普通电影票和电影票的单价各是多少元？
(2)电影院为了吸引企业观影，推出优惠活动：购买普通电影票超过张的部分，每张打八折；购买电影票超过张的部分，每张打九折．该企业计划购买张普通电影票和张电影票，那么按照优惠活动，该企业需要支付多少钱？
（24-25七年级下·重庆万州·阶段练习）
7．为了满足学生的物质需求，小卖部准备购进甲、乙两种绿色袋装食品，若购买袋甲和袋乙共需要元，其中甲、乙两种绿色袋装食品的进价和售价如表：
(1)甲的进价______元，乙的进价______元；
(2)小卖部第一次购进的甲、乙两种绿色袋装食品共袋，全部售完后总利润（利润=售价-进价）为元，求小卖部甲、乙两种食品分别购进多少袋？
(3)小卖部第二次购进了与第一次一样多的甲、乙两种食品，由于两种食品进价比第一次优惠，小卖部准备对甲种袋装食品进行打折出售，让利于学生，乙种袋装食品价格不变，全部售完后总利润比上次还多元，求甲商品打了几折？
甲 乙
进价（元/袋）
售价（元/袋）
（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）
8．水果批发市场批发丰水梨的价格如表：
购买丰水梨（千克） 单价
不超过千克的部分 元千克
超过千克但不超过千克的部分 元千克
超过千克的部分 元千克
(1)若陈阿姨第一次购买丰水梨千克,需要付费______元；第二次购买丰水梨千克，需要付费______元；第三次购买丰水梨千克，（超过千克），需要付费______元（化简结果用含的式子表示）．
(2)若陈阿姨购买丰水梨花了元，求她买了多少千克的丰水梨？
(3)若陈阿姨分两次共购买千克的丰水梨，且第一次购买的数量为千克（），请问她这两次购买丰水梨共需要付多少元？（化简结果用含的式子表示）
【题型3 实际问题与一元一次方程之方案问题】
例题：（2025七年级下·全国·专题练习）
9．王大伯家去年收获了24吨苹果，这些苹果均达到了一、二级质量标准，其中达到一级质量标准的苹果质量是达到二级质量标准苹果的．
方案一：如果分等级出售，那么一级苹果每吨售价万元，二级苹果每吨售价万元．
方案二：如果不分等级出售，那么所有苹果每吨售价万元．
请你算一算，按哪种方案出售比较合算．
【变式训练】
（24-25六年级下·山东威海·期中）
10．“五一”期间，甲、乙两个商场以同样价格出售相同的商品，并且各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过250元后，超出部分打八五折；在乙商场累计购物超过100元后，超出部分打九五折．
(1)购买多少元商品时（大于250元），两个商场的实际花费相同？
(2)张阿姨要选定一个商场购买500元的商品，通过计算说明她选哪个商场购物实际花费会少些．
（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）
11．根据下面的两种移动电话计费方式，考虑下列问题：
方式一 方式二
月租费 30元／月 0
本地通话费 0.3元／分钟 0.4元／分钟
(1)一个月内在本地通话200分钟，按方式一需交费多少元？按方式二呢？
(2)本地累计通话时间为多少分钟时，两种计费方式收费一样多？
（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）
12．某农产品基地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为100元；经粗加工后销售，每吨利润可达450元；经精加工后销售，每吨利润涨至750元．现收获这种蔬菜140吨，该基地加工能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果对蔬菜进行精加工，每天可加工6吨，但两种加式方式不能同时进行，受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案．
方案一：将蔬菜全部进行粗加工；
方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没有来得及加工的蔬菜在市场上直接销售；
方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天完成．
你认为选择哪种方案获利
【题型4 实际问题与一元一次方程之配套问题】
例题：（2025·陕西西安·三模）
13．某服装加工厂要用工业机器人生产一批上衣和裤子，已知该加工厂共有8台机器人，每台机器人每天可完成件上衣或条裤子，为使每天生产的上衣和裤子刚好配套（每套含1件上衣和1条裤子），请问该服装加工厂应该安排多少台机器人生产上衣？多少台机器人生产裤子？
【变式训练】
（24-25七年级上·湖南长沙·期末）
14．在劳技课上，老师组织七年级一班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．该班共有学生55人，其中男生人数比女生人数少3人，并且每名学生每小时剪筒身50个或剪筒底120个．
(1)该班有男生、女生各多少人？
(2)要求一个筒身配两个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套，应该分配多少名学生剪筒身，多少名学生剪筒底？
（24-25七年级下·重庆万州·阶段练习）
15．某车间有名工人，每人每天可加工甲种零件个或乙种零件个．在这名工人中，一部分人加工甲种零件，其余的加工乙种零件．
(1)如果某产品要求甲种零件与乙种零件每天生产的个数按照配比，那么应该安排几名工人加工甲种零件，几名工人加工乙种零件？
(2)已知每加工一个甲种零件可获利元，每加工一个乙种零件可获利元．若此车间某天一共获利元，求这一天有几名工人加工甲种零件．
（24-25七年级下·海南海口·阶段练习）
16．机械厂加工车间有45名工人，为了加快速度完成任务，在原有工人的基础上调入若干名工人，使得调整后车间的总人数比调入工人的人数2倍还多5人．（请用方程解答）
(1)求新调入多少工人？
(2)在（1）的条件下，若工人平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，已知2个大齿轮与3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？
【题型5 实际问题与一元一次方程之工程问题】
例题：（2025·陕西渭南·模拟预测）
17．渭河特大桥作为渭河最长干线公路桥梁，在建设过程中，有甲、乙两个工程队参与其中，甲、乙两个工程队一天共铺设桥梁构件80件，甲工程队施工3天比乙工程队施工2天多铺设桥梁构件30件，求甲工程队每天铺设桥梁构件的件数．
【变式训练】
（2025九年级下·江苏南京·专题练习）
18．我国首台千万亿次超级计算机“天河一号”现在安装的是由我国自行设计制造的“飞腾”计算机中央处理器（CPU）芯片．据了解，安装“飞腾”芯片后，“天河一号”的运算速度将在原来的基础上提速，达到每秒1200万亿次．已知一项复杂的运算任务在安装“飞腾”芯片后比安装前使用其他芯片快10分钟，请算出“天河一号”以现在的运算速度完成这项任务需多长时间．
（2025·陕西咸阳·二模）
19．人工智能已经成为当今社会发展的重要驱动力，合理使用人工智能可以大幅度提升工作效率．一家公司开发了甲、乙两款AI模型．为了提高效率，实验中学同时使用这两款模型处理一批数据，甲模型工作了2小时，乙模型工作了3小时，一共处理了255GB数据．已知乙模型每小时处理的数据比甲模型少15GB．甲模型和乙模型每小时分别处理多少GB的数据？
（24-25七年级下·山西临汾·期中）
20．甲、乙两工程队承接某段隧道挖掘工程，已知该段隧道长度为600米，甲工程队每天挖掘的长度是乙工程队每天挖掘长度的倍，甲、乙两工程队合作4天完成该工程的．
(1)求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘隧道多少米．
(2)若甲工程队先单独挖掘若干天后，剩下的工程再由乙工程队单独完成，总费用刚好94万元．已知甲工程队每天的挖掘费用为5万元，乙工程队每天的挖掘费用为3万元，求甲工程队单独挖掘的天数．
【题型6 实际问题与一元一次方程之行程问题】
例题：（24-25七年级下·全国·假期作业）
21．带着小狗的小明和小兵同时从相距米的两地相向而行，小明每分行米，小兵每分行米，小狗每分跑米．小明的小狗遇到小兵后立即返回向小明这边跑，遇到小明后再向小兵那边跑，当小明和小兵相遇时，小狗一共跑了多少米？
【变式训练】
（24-25七年级下·全国·假期作业）
22．一辆汽车在A，B两地之间不停地往返行驶，小刚从A去B，每小时4千米，汽车从B去A，途中相遇，30分钟后汽车由A返B追上小刚；再过70分钟后汽车由B返A的途中又与小刚相遇，再过50分钟后汽车由A返B又追上小刚．
(1)求汽车的速度；
(2)求A、B两地之间的路程；
(3)在前面的条件下，若人、车分别从A、B同时出发，同向行驶，汽车从B到C处后立即返回，回到B后继续朝A行驶，直至与小刚相遇，共用了5小时，求之间的路程．
（2025七年级下·河南·专题练习）
23．如图是两张不同类型火车的车票（ “次”表示动车，“次”表示高铁）：
(1)已知该动车和高铁的平均速度分别为，如果两车均按车票信息准时出发，且同时到达终点，求两地之间的距离；
(2)在（1）的条件下，请求出在什么时刻两车相距．
（24-25七年级下·山西临汾·期中）
24．随着全民健身的理念逐渐深入人心，跑步作为一项简单易行，老少皆宜的运动，成为许多人日常锻炼的首选．周末，小聪和小明准备去迎泽大街进行跑步活动．已知迎泽大桥与五一广场之间的距离为千米．小聪从迎泽大桥出发，以10千米/时的速度向五一广场方向跑步；小明从五一广场出发，以8千米/时的速度向迎泽大桥方向跑步．两人同时出发，相向而行．
(1)两人出发后多长时间相遇？
(2)若小聪在出发后5分钟发现忘记带水壶，于是停下来休息2分钟后以原速度返回迎泽大桥取水壶，随后再次以原速度向五一广场方向跑步，求两人出发后多长时间相遇？
【题型7 实际问题与一元一次方程之数字问题】
例题：（24-25七年级下·全国·假期作业）
25．一个两位数，个位与十位上的数字的和是．如果这个两位数减去，那么得到的差正好是原来的数个位与十位数字交换．求原来的数？
【变式训练】
（24-25七年级下·全国·假期作业）
26．一个两位数，十位上的数字是个位上数字的2倍，如果把这两个数字对调位置，组成一个新的两位数，所得新数与原数的和是，原来的两位数是多少？
（2025七年级下·全国·专题练习）
27．把的数字如图排列，再如图中那样用一个长方形框框出六个数，这六个数的和是87．如果用同样的方法（横着三个数，竖着两个数）框出的六个数的和是837，这六个数分别是多少？
（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）
28．小刚是个爱动脑筋的同学，他将连续的奇数，，，，…排成如图所示的形式，并用一个十字形框架框住其中的五个数．请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，并解答下列问题．
(1)设十字形框架中间的数为，求十字形框架中的五个数的和．（用含的式子表示）
(2)若将十字形框架上下左右移动，可框住另外的五个数，这五个数的和能等于吗？若能，写出这五个数；若不能，请说明理由．
【题型8 实际问题与一元一次方程之比赛问题】
例题：（2025·陕西西安·模拟预测）
29．某学校九年级开展了一次班级间的篮球比赛，规定每场比赛需分出胜负，胜1场积2分，负1场积1分．九年级共有13个班级，第一轮比赛中，每两个班级相互之间仅比赛一场，九（1）班在完成第一轮所有比赛后，总积分为19分，问九（1）班第一轮胜了多少场？
【变式训练】
（2025·河北邯郸·一模）
30．某代表队参加知识竞赛，竞赛依次分必答和抢答两个环节，规定：必答环节每队均需答10道题．答对一题得20分，答错或不答扣10分；抢答环节各队共抢答10道题，抢答且答对得30分，抢答但答错扣10分，没有抢答得0分．初始分数为100分．
(1)必答环节该队答对7道题，求该队必答环节后的总分数；
(2)若抢答环节该队共抢答6次，本环节得140分，请通过列方程求该队抢答环节答对题目数．
（2025·安徽六安·模拟预测）
31．为庆祝中华人民共和国成立75周年，某校开展了一场知识竞赛，规定答对一道题得10分，答错一道题扣5分，不答扣2分，八（1）班和八（2）班答对、答错、不答的题数如下表：
班级 答对 答错 不答
八（1）班 15 4 1
八（2）班 13
八（1）班最终得分比八（2）班多21分，求八（2）班答错了几道题．
（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）
32．某校七年级组织数学知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了3个参赛者的得分情况．
参赛者 答对题数 答错题数 得分
(1)观察表格数据并填空，参赛者答对1道题得______分，答错1道题得______分；
(2)参赛者小明得80分，他答对了几道题？
【题型9 实际问题与一元一次方程之几何问题】
例题：（2025·陕西榆林·模拟预测）
33．如图所示，一个正方形纸片，先沿剪去宽为的长方形，再沿剪去宽的长方形．记长方形的面积为，长方形的面积为，若，求原正方形纸片的边长．
【变式训练】
（2025·陕西西安·一模）
34．如图，在一个正方形中先剪去一个宽为的长方形，再从剩下部分剪去一个宽为的长方形，若剪下来的两个长方形面积相等，求原正方形的面积．
（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）
35．如图，长方形中，已知，，且点E是边的中点，点F是以每秒2个单位的速度从点C出发沿射线方向运动的一个动点．
(1)当，求四边形面积．．
(2)求点F运动多长时间时，三角形的面积等于长方形面积的六分之一．
（24-25七年级下·吉林长春·期中）
36．如图，在长方形中，，点P从点A出发，以每秒的速度沿折线运动，同时点Q从点C出发，以每秒的速度沿射线方向运动，当点P到达终点C时，点Q随之停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．
(1)当点P在上运动时， _____．（用含t的代数式表示）
(2)当点P在上运动时， _____（用含t的代数式表示）；当点P运动到的中点时，求线段的长；
(3)当点P与点Q到点B的距离相等时，求t的值．
(4)当点P在上运动时，连接．直接写出的面积是时t的值．
【题型10 实际问题与一元一次方程之电费和水费问题】
例题：（24-25七年级下·全国·假期作业）
37．为倡导合理利用电资源，电力局推行了居民申请使用“峰谷”电制度，具体如下图所示．已知一个家庭使用峰谷电的某月电费为元，经测算，比不使用峰谷电节约元，该家庭当月使用峰电和谷电各多少千瓦时？
：每千瓦时元（峰电价格） ：每千瓦时元（谷电价格） 不使用峰谷电：每千瓦时元
【变式训练】
（24-25七年级下·四川眉山·期中）
38．“水是生命之源”，我县自来水公司鼓励居民节约用水，收费按以下标准：
用水量/月 单价（元/）
不超过
超过的部分
(1)如果1月份某用户用水量为，那么该用户1月份应该缴纳水费______元．
(2)某用户2月份共缴纳水费80元，那么该用户2月份用水多少？
（24-25六年级下·山东东营·期中）
39．今年春节期间，电影《哪吒2》特别火爆，小强一家去某电影院观看此部电影，到了影院后，看到有以下优惠活动方案：
优惠方案 一 会员费200元，票价35元/人．
优惠方案二 原票价50元/人，成人原价，学生票价是 原价的5折．
(1)若小强一家6人（成人4人，学生2人）， 优惠方案一所需费用 元；优惠方案二所需费用 元；他选择优惠方案 （填“一”或“二”）划算？
(2)若成人人数是学生人数的2倍且两种优惠方案所付费用相等，求成人、学生各多少人？
（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）
40．为增强居民节约用电意识，某市对居民用电实行“阶梯收费”，具体收费标准如下表所示：
一户居民一个月用电量 电费价格（元/千瓦时）
不超过千瓦时的部分
超过千瓦时的部分
某居民五月份用电千瓦时，缴纳电费元．
(1)求x和超出部分的电费单价．
(2)若该户居民六月份缴纳电费元，求该户居民六月份的用电量．
一、单选题
（24-25九年级下·江苏无锡·期中）
41．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多六客，一房八客一房空，问有几房几客？”意思是：一批客人来到李三店中住宿，如果每间客房住7人，那么有6人无房可住；如果每间客房住8人，那么就空出1间房．问有多少间客房？多少客人？设有x间房，则可列出方程是（ ）
A． B．
C． D．
（24-25六年级下·山东泰安·期中）
42．某校为了增强学生的防范电信网络诈骗意识，举行了一次知识抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分．小勇一共得76分，则小勇答对的个数为（ ）
A．16 B．15 C．13 D．14
（24-25七年级下·全国·假期作业）
43．一项工程，甲单独做要天，乙单独做要天，丙单独做要天，三人合做期间，甲因故请假，工程6天完工，则甲请了（　　）天假．
A．1 B．3 C．5 D．6
（24-25七年级下·全国·假期作业）
44．一个两位数，十位上的数字是个位上的，把十位上数字与个位上数字调换后，新数比原数大18，则原数个位数字和十位数字之和是（　　）
A．10 B．12 C．18 D．21
（2025·山东菏泽·三模）
45．如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作．．．根据以上操作，若要得到2026个小正方形，则需要操作的次数是（ ）
A．669 B．670 C．671 D．675
二、填空题
（24-25七年级下·福建泉州·期中）
46．爸爸和小北共下9局棋（未出现和棋），记分规则：爸爸赢一局记1分，小北赢一局记2分．若爸爸和小北得分相同，则爸爸赢了 局．
（2025·湖南·模拟预测）
47．我国明代数学家程大位所著《算法统宗》卷十第十五题记载：“隔墙听得客分银，不知人数不知银．六两分之盈三两，八两分之不足五．借问诸君能算者，多少客人多少银？”其大意:客人一起分银子，若每人6两，则多出3两；若每人8两，则还差5两．若设有x人，则可得一元一次方程 ．
（24-25七年级下·山东威海·期中）
48．某品牌打印机按进价提高后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该打印机时，将家里的旧打印机用于以旧换新，抵扣了258元后，又支付了942元，则该打印机的进价为 元．
（24-25七年级下·全国·假期作业）
49．如图，甲、乙两人沿着边长为70米的正方形，按逆时针的方向行走，甲从A以65米/分的速度行走，乙从B以72米/分的速度行走，当乙第一次追上甲时，是在正方形的边 （、、或）上．
（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）
50．如图，已知、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为．有一只电子蚂蚁从点出发，以个单位长度秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以个单位长度秒的速度向左运动，则它们相遇点所对应的数是 ．
三、解答题
（24-25七年级下·全国·假期作业）
51．一个防盗门的密码由4个数字按从大到小的顺序组成，这4个数字之和是16，并且相邻的两个数字都相差2，这个密码是多少？
（2025·安徽合肥·三模）
52．《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一：人出六，不足十六、问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？
（24-25七年级下·全国·假期作业）
53．游泳馆推出两种付费方式：方式一，单次卡，每次收费元；方式二，办理会员年卡，一次缴纳元会员费，每次游泳另外收费元（一年内有效）．
(1)爸爸游泳锻炼的计划是一年，每月两次．他选择哪种方式更划算？请写出简要的思考过程．
(2)一年内游泳达到几次时，两种付费方式所用钱数相等？请写出简要的思考过程．
（2025·陕西西安·模拟预测）
54．习近平总书记强调：“一个博物院就是一所大学校”．某校联系研学社组织学生到博物院研学，研学社报价每人收费400元，当研学人数超过50时，研学社给出两种优惠方案：
方案一：研学团队先交1800元后，再每人收费320元；
方案二：5人免费，其余每人收费打九折．
已知研学人数超过50，且上述两种方案的收费相同，求研学人数．
（24-25七年级下·福建漳州·期中）
55．如图是2025年4月的月历，观察月历，解答下列问题：
(1)小宝这个月外出旅行三天，三天日期之和是36，求小宝出发的日期．
(2)月历中“十”字型阴影图形能覆盖其中五个数字，则五个数字之和能否等于100？若能，求出其中最小的数字；若不能，请说明理由．
（2025·湖南长沙·三模）
56．近期“国家喊你减肥了”话题冲上热搜，为了让大家有一个健康的身体和良好的生活习惯，某学校组织全体中学生参加健康生活方式知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答，如表记录了5个参赛者的得分情况．
参赛者 答对题数 答错题数 得分
A 1
B 4
C 7
D
E 0
(1)填空：每答对一道题得______分，每答错一道题扣_____分；
(2)参赛者得分，他答对了几道题？
(3)参赛者说他得分，你认为可能吗？请通过计算说明．
（24-25七年级下·全国·假期作业）
57．A、B两市相距千米，两市之间一处因山体滑坡导致连接这两市的公路受阻，甲、乙两个工程队接到指令，要求于早上7点，分别从A、B两地同时出发赶往滑坡地点疏通公路．甲队于9点赶到并立即开工半小时后，乙队也赶到，并立即投入抢修工作，此时甲队已完成了全部任务的．
(1)如果滑坡受损公路长1千米，甲队行进的速度是乙队的倍多5千米，求甲、乙两队的行进的速度各是多少？
(2)如果下午3点两队就完成公路疏通任务，胜利会师，那么若由乙队单独疏通这段公路时，需要多少时间才能完成任务？
（24-25六年级下·山东泰安·期中）
58．小红和小军假期到某厂参加社会实践，该工厂用白板纸做包装盒，设计每张白板纸做盒身2个或者盒盖3个，且一个盒身和两个盒盖恰好做成一个包装盒．为了充分利用材料，要求做成的盒身和盒盖正好配套．
(1)现有21张白板纸，问最多可做几个包装盒？（用一元一次方程的应用解答）
(2)现有33张白板纸，问最多可做几个包装盒？
为了解决这个问题，小红和小军各设计了一种解决方案：
小红：把这些白板纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒盖；
小军：先把一张白板纸适当套裁出一个盒身和一个盒盖，余下白板纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒盖．
请探究：小红和小军设计的方案，谁做出的包装盒最多？
（24-25七年级下·浙江温州·期中）
59．为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：
自来水销售价格 污水处理价格
每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨
17吨及以下
超过17吨但不超过30吨的部分
超过30吨的部分
（说明：①每户生产的污水量等于该户自来水用量；②水费=自来水费用+污水处理费）
已知小王家2024年7月用水15吨，交水费30元；8月份用水26吨，交水费61元．
(1)求，的值．
(2)如果小王家9月份上交水费108元，则小王家这个月用水多少吨？
(3)小王家10月份忘记去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水52吨（其中10月份用水超过30吨），一共交水费132.59元（其中包含10月份的滞纳金，即10月份水费的2%），求小王家11月份用水多少吨．（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”）
（24-25七年级下·重庆·期中）
60．列方程解决下列问题：
年，新能源汽车市场竞争异常激烈，某新能源汽车品牌生产厂为抢占市场份额，提高销售量，对经销商采取销售奖励活动．某经销商在新奖励办法出台前一个月共售出该品牌汽车的型和型共台，新奖励办法出台后的第一个月售出这两种型号的汽车共台，其中型汽车和型汽车的销售量分别比新奖励办法出台前一个月增长和．
(1)在新办法出台后的第一个月，该经销商销售的型汽车和型汽车分别为多少台？
(2)若型汽车每台售价为万元，型汽车每台售价为万元．新奖励办法是：每销售一台型汽车按每台汽车售价的给予奖励，每销售一台型汽车按每台汽车售价的给予奖励．新奖励办法出台后的第二个月，型汽车的销售量比出台后的第一个月增加了；而型汽车受到某问题零件召回的影响，销售量比出台后的第一个月减少了，新奖励办法出台后的第二个月，该经销商共获得的奖励金额万元，求的值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
《专题18 实际问题与一元一次方程（2知识点+10大题型+思维导图+过关测）-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（人教版2024）》参考答案：
1．有39人，15辆车
【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设有x个人，根据每3人共乘一辆车，恰好空余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘，再建立方程求解即可．
【详解】解：设有x个人，则根据题意列方程，得，
解得．
车的数量为．
答：有39人，15辆车．
2．39人
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系，列出方程，是解题的关键．设共有x人出行，根据车的辆数，列出方程，解方程即可．
【详解】解：设共有x人出行，根据题意得：
，
解得：，
答：共有39人出行．
3．(1)有人，两银子
(2)有人，两银子
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
（1）设人数为，利用银子的两数不变，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值即人数，再将其代入中，即可求出银子的两数；
（2）设银子总数为两，利用分银子的人数不变，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值即银子的总数，再将其代入即可求出人数．
【详解】（1）解：设人数为，
根据题意得：，
解得：，
（两）．
答：有人，两银子；
（2）设银子总数为两，
根据题意得：
解得：，
（人）．
答：有人，两银子．
4．(1)21，1
(2)
(3)3010
【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，正确理解题意，找出等量关系是解题关键，
（1）根据题意得增加1块条石留下1个士兵即相等，完成解答；
（2）根据等量关系列方程并解方程即可解决；
（3）根据象的重量等于20块等重的条形石加上3个体重相同的士兵重量之和计算即可．
【详解】（1）解：由题意得：“20块条形石的重量”+“3个士兵的体重”=“21块条形石的重量”+“1个士兵的体重”，
故答案为：21，1；
（2）解：由题意得：
解得：；
（3）解：象的重量千克，
故答案为：3010．
5．(1)
(2)甲种篮球打了九折
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键．
（1）根据题意得到，解方程即可；
（2）根据题意列方程，求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，得，
解得：；
（2）解：由（1）得（元/个）．
第二次采购甲、乙两种篮球共花费（元）．
设甲种篮球打了x折，
则两种篮球共卖出元．
根据题意，得，
解得．
答：甲种篮球打了九折．
6．(1)普通电影票的单价为元，电影票的单价为元
(2)元
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用—销售问题，熟练根据题意列出一元一次方程，并掌握一元一次方程的解法是解题的关键，
（1）设普通电影票的单价为元，则电影票的单价为元，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得到答案；
（2）根据电影院推出优惠活动的政策，列出式子并计算即可得到答案．
【详解】（1）解：设普通电影票的单价为元，则电影票的单价为元，
由题意得：，
解得：，
则，
答：普通电影票的单价为元，电影票的单价为元．
（2）解：由题意得：
总价，
答：该企业需要支付元．
7．(1)；
(2)小卖部本次购进甲种食品袋，乙种食品袋
(3)甲商品打了折
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，找准等量关系是解题的关键．
（1）根据“购买袋甲和袋乙共需要元”列方程，解方程即可求解；
（2）设甲种绿色袋装食品购进袋，则乙种绿色袋装食品购进袋，由全部售完后总利润（利润售价进价）为元可列方程，解方程结可求解；
（3）设甲种绿色袋装食品打了折，分别求解袋的进价和售价，根据袋的利润列方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：由题得：依题意得：，
解得，
（元），
答：甲种食品的进价是元袋、乙种食品的进价是元袋．
故答案为：，；
（2）设小卖部本次购进甲种食品袋，乙种食品袋，
由题意得：，
解得，
则．
答：小卖部本次购进甲种食品袋，乙种食品袋；
（3）解：设甲商品打了折，则由题意得：
．
解得，
答：甲商品打了折．
8．(1)，，；
(2)陈阿姨买了千克的丰水梨；
(3)当时，需要付费元；当时，需要付费元．
【分析】本题考查了列代数式，有理数加法和乘法的应用，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）根据题意列出算式和代数式，再根据有理数运算，整式加减运算求解即可；
（）由陈阿姨购买丰水梨花了元，可得陈阿姨购买丰水梨超过千克，再根据（）代数式列出方程，然后解方程即可；
（）分当时和当时两种情况分析求解即可．
【详解】（1）解：陈阿姨第一次购买丰水梨千克,需要付费（元）；
第二次购买丰水梨千克，需要付费（元）；
第三次购买丰水梨千克，（超过千克），需要付费
（元）
故答案为：，，；
（2）解：因为陈阿姨购买丰水梨花了元，
∴陈阿姨购买丰水梨超过千克，
∴，
解得：，
答：陈阿姨买了千克的丰水梨；
（3）解：当时，需要付费元；
当时，需要付费元．
9．方案一，详见解析
【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，有理数的混合运算，正确理解题意是解题的关键．
先设达到二级质量标准的苹果质量为吨，则达到一级质量标准苹果的质量为，由题意得：，求出一、二级质量标准的苹果质量，再分别求出两个方案的收入，比较即可．
【详解】解：设达到二级质量标准的苹果质量为吨，则达到一级质量标准苹果的质量为，
由题意得：，
解得：（吨），
则达到一级质量标准苹果的质量为（吨），
那么方案一：总收入：（万元），
方案二：总收入：（万元），
∵，
∴方案一收入更高，即按分等级出售方案比较合算．
10．(1)当购买325元商品时，两个商场的实际花费相同；
(2)选甲商场的实际花费会少些，过程见解析．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的混合运算的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据甲商场和乙商场的优惠方案以及设购买x元商品时，两个商场的实际花费相同，列出一元一次方程，再解得，即可作答．
（2）根据购买500元的商品，分别算出在甲商场和乙商场的优惠方案下的实际花费费用，再比较大小，即可作答．
【详解】（1）解：设购买x元商品时，两个商场的实际花费相同．
由题意得．
解得，．
答：当购买325元商品时，两个商场的实际花费相同．
（2）解：在甲商场实际花费为（元）．
在乙商场实际花费为（元）．
∵，
∴选甲商场的实际花费会少些．
11．(1)，
(2)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解掌握统计表的特点及作用，并根据统计表提供的信息，解决有关实际问题．
（1）根据题意和表格中的数据可以解答本题；
（2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以解答本题．
【详解】（1）解：方式一：（元），
方式二：（元），
答：一个月内在本地通话分钟,按方式一需交费元，按方式二需交费元.
（2）解：设分钟两种计费方式收费一样多，
根据题意得，，
解得，
答：当通话分钟时，两种计费方式收费一样.
12．方案三获利最多
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．此题中的数量关系较多，正确理解题意是解决此题的重点．根据题中方案列式进行计算即可．
【详解】解：方案一：（元），即将食品全部进行粗加工后销售，
则可获利润万元；
方案二：（元），
即将食品尽可能多的进行精加工，没来得及加工的在市场上直接销售，
则可获利润元；
方案三：设粗加工吨食品，则精加工吨食品，
由题意可得：，
解得，
，
这时利润为：（元），
∵，
∴方案三获利最多 ．
答：方案三获利最多 ．
13．该服装加工厂应该安排5台机器人生产上衣，3台机器人生产裤子
【分析】本题考查了利用一元一次方程解决配套问题，解题关键是找准等量关系．
先设应该安排x台机器人生产上衣，根据“为使每天生产的上衣和裤子刚好配套（每套含1件上衣和1条裤子）”列出方程求解．
【详解】解：设应该安排x台机器人生产上衣，
根据题意得，，
解得，
（台），
∴该服装加工厂应该安排5台机器人生产上衣，3台机器人生产裤子．
14．(1)男生26人；女生29人
(2)应该分配30名学生剪筒身，25名学生剪筒底
【分析】（1）设该班有男生x人，根据“共有学生55人，男生人数比女生人数少3人”即可列方程求得结果；
（2）设分配剪筒身的学生为y人，根据“一个筒身配两个筒底，每小时剪出的筒身与筒底刚好配套”即可列方程求得结果．
本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到量与量的关系，正确列出一元一次方程．
【详解】（1）解：设该班有男生x人，依题意得
，
解得，
∴该班有男生26人，女生29人；
（2）解：设分配剪筒身的学生为y人，依题意得
，
解得，
∴，
∴应该分配30名学生剪筒身，25名学生剪筒底．
15．(1)安排生产甲零件的工人为人、安排生产乙种零件的工人为人；
(2)这一天有名工人加工甲种零件．
【分析】本题考查一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出等量关系列方程．
（1）根据题意可以列出相应的一元一次方程，从而可以解答本题；
（2）等量关系为：加工甲种零件的总利润加工乙种零件的总利润，把相关数值代入求解即可；
【详解】（1）解：设生产甲种零件的工人有人，
根据题意得：，
解得，
，
答：安排生产甲零件的工人为人、安排生产乙种零件的工人为人；
（2）解：设这一天有名工人加工甲种零件，则这天加工甲种零件有个，乙种零件有个，
根据题意，得，
解得．
答：这一天有名工人加工甲种零件．
16．(1)新调入40名工人
(2)安排25名工人加工大齿轮，安排60名工人加工小齿轮
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键，
（1）新调入x名工人，根据总人数比调入工人的人数2倍还多5人建立方程求解即可；
（2）设安排y名工人加工大齿轮，则安排名工人加工小齿轮，根据题意可得大齿轮的数量乘以3等于小齿轮数量乘以2建立方程求解即可．
【详解】（1）解：新调入x名工人，
由题意得，，
解得，
答：新调入40名工人；
（2）解：设安排y名工人加工大齿轮，则安排名工人加工小齿轮，
由题意得，，
解得，
∴，
答：安排25名工人加工大齿轮，安排60名工人加工小齿轮．
17．38件
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，根据题意设甲工程队每天铺设桥梁构件件，则乙工程队每天铺设桥梁构件件，列出方程式求解即可．
【详解】解：设甲工程队每天铺设桥梁构件件，则乙工程队每天铺设桥梁构件件．
根据题意，得，
解得．
答：甲工程队每天铺设桥梁构件38件．
18．“天河一号”以现在的运算速度完成这项任务需50分钟时间
【分析】本题考查一元一次方程的应用．设以现在的运算速度完成这项任务需x分钟，则“天河一号”原来的运算速度为，根据这项任务的总量不变列出方程求解即可．
【详解】解：设以现在的运算速度完成这项任务需x分钟．
，
解得．
答：“天河一号”以现在的运算速度完成这项任务需50分钟时间．
19．甲模型每小时处理60GB的数据，乙模型每小时处理45GB的数据
【分析】此题考查了一元一次方程的应用．设甲模型每小时处理的数据，则乙模型每小时处理的数据．甲模型工作了2小时，乙模型工作了3小时，一共处理了255GB数据．据此列方程并解方程即可．
【详解】解：设甲模型每小时处理的数据，则乙模型每小时处理的数据．
由题意，得，
解得，
（），
答：甲模型每小时处理60的数据，乙模型每小时处理45的数据．
20．(1)甲工程队每天可挖掘隧道30米，乙工程队每天可挖掘隧道20米
(2)8天
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是列出方程；
（1）设乙工程队每天可挖掘隧道米，则甲工程队每天可挖掘隧道1.5米，根据甲、乙两工程队合作4天完成该工程的列出等式；
（2）设甲工程队单独挖掘天，得出乙工程队挖掘天，再根据总费用为94万元建立等式求解．
【详解】（1）解：设乙工程队每天可挖掘隧道米，则甲工程队每天可挖掘隧道1.5米．
由题意得，．
解得．
．
答：甲工程队每天可挖掘隧道30米，乙工程队每天可挖掘隧道20米．
（2）解：设甲工程队单独挖掘天，则乙工程队挖掘天，
即天．
由题意得，．
解得．
答：甲工程队单独挖掘8天．
21．米
【详解】本题考查了一元一次方程的应用，设小明、小兵分相遇，根据速度和相遇时间全长，求出他们的相遇时间，再根据速度时间路程，用相遇时间乘上小狗的速度即可算出答案，理解题意是解题的关键．
解：设小明和小兵分相遇，
，
，
解得：，
米，
答：小狗一共跑了米．
22．(1)44千米/小时
(2)40千米
(3)100千米
【分析】本题主要考查了复杂的相遇问题和追及问题，明确相邻两次的相遇路程和相差了2个全程，相邻两次的追及路程差相差了2个全程．
（1 ）通过题意可知，从第①次相遇到第②次相遇，小刚和汽车经过的路程和相当于两个A、B两地的距离，从第①次追及到第②次追及，汽车和小刚经过的路程差也相当于两个两个A、B两地的距离，已知第①次相遇到第②次相遇经过了分钟，也就是小时，第①次追及到第②次追及经过了分钟，也就是2小时，根据速度和×相遇时间=路程和，速度差×追及时间=路程差；所以设汽车的速度是x千米/小时，列方程为，然后解出方程即可求出汽车的速度．
（2 ）从第①次相遇到第②次相遇，小刚和汽车经过的路程和相当于两个A、B两地的距离，根据速度和×相遇时间=路程和，用汽车的速度加上小刚的速度的和乘2小时，再除以2即可求出A、B两地之间的路程．
（3 ）根据题意可知，从出发到相遇小刚和汽车经过的路程和相当于1个之间的距离加上2个之间的距离，根据速度和×相遇时间=路程和，用即可求出从出发到相遇小刚和汽车经过的路程和，再减去之间的距离，即可求出2个之间的距离，最后除以2，即可求出之间的距离．
【详解】（1）解：（分钟）
100分钟小时
（分钟）
120分钟小时
设汽车的速度是x千米/小时．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
答：汽车的速度是44千米/小时．
（2）解：
（千米）
答：A、B两地之间相距40千米．
（3）解：
（千米）
答：之间的路程为100千米．
23．(1)
(2)12:00时或10:30时两车相距
【分析】本题考查一元一次方程解应用题，读懂题意，找准等量关系列方程是解决问题的关键．
（1）设两地之间的距离为，由等量关系得到方程，解方程即可得到答案；
（2）由两车相距，分三种情况讨论求解即可得到答案．
【详解】（1）解：设两地之间的距离为，
由题意可得：，
解得，
答：两地之间的距离为；
（2）解：由两车相距，分三种情况：
当高铁、动车在路上行驶时，
设高铁出发小时，
①，
解得；
即高铁出发后，两车相距；
②，
解得；
在（1）的条件下，，
即高铁仅需到达地，不符合实际，舍去；
③当动车在路上行驶，高铁没有出发时，
设动车出发小时，
即，
解得，
即高铁未动，动车出发后，两车相距；
综上所述，12:00时或10:30时两车相距．
24．(1)12分钟
(2)分钟
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是列出方程进行求解；
（1）设两人出发后分钟相遇，根据两人的速度及距离为千米列出等式求解即可；
（2）先判断出两人应在小聪拿到水壶后，再次以原速度向五一广场跑步的途中相遇，设两人在出发后分钟相遇，列出等式求解即可．
【详解】（1）解：设两人出发后分钟相遇．
由题意得，，
解得．
答：两人出发后12分钟相遇．
（2）解：设两人在出发后分钟相遇．
当时，，且小聪跑步速度大于小明跑步速度，
两人应在小聪拿到水壶后，再次以原速度向五一广场跑步的途中相遇．
由题意得，．
解得．
两人在出发后分钟相遇．
25．
【分析】本题考查位值原则以及一元一次方程的应用，设这个两位数的十位数为，则个位数为，然后根据“如果这个两位数减去，那么得到的差正好是原来的数个位与十位数字交换”列出方程，求出的值，进而求出这个两位数即可．弄清题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解题的关键．
【详解】解：设这个两位数的十位数为，则个位数为，得：
，
这个两位数就是，
答：原来的数是．
26．84
【分析】解决本题先设出数据，分别表示出两位数的个位和十位上的数字，再分别表示出原来两位数和对调后的两位数，然后找出等量关系列出方程求解．设原来两位数个位上的数字是，那么十位上的数字就是，这个两位数可以表示，当个位和十位数字对调，这时两位数可以表示为，再根据两个两位数的和是，列出方程求解．
【详解】解：设原来个位上的数字为，那么十位上的数字为，
，
，
，
，
，
，
答：原来的两位数是．
27．这六个数分别是135，136，137，142，143，144
【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据长方形框中数字的规律，横的两数相差1，纵的两数相差7；设长方形框中第一个数为x，则其它五个数依次为，，，，，根据框出的六个数的和是837，列出一元一次方程解答即可．
【详解】解：设长方形框中第一个数为x，则其它五个数依次为，，，，，
根据题意得：，
解得：，
则第二个数是，
第三个数是，
第四个数是，
第五个数是，
第六个数是．
答：这六个数分别是135，136，137，142，143，144．
28．(1)十字形框架中的五个数的和为，
(2)能，，，，，．
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法及整式的加减，熟练掌握一元一次方程的解法及整式的加减是解题的关键．
（）设十字形框架中间的数为，再根据上下的数相差，左右的数相差，就可以求出个数之和；
（）由（）可得若可以使这五个数的和等于，需要满足由（）所得的代数式的和为，求出的值，即可判断．
【详解】（1）解：设十字形框架中间的数为，则另外个数分别为：，，，，
∴十字形框架中的五个数的和为，
（2）解：能，理由：
∵五个数的和能等于，
∴，
解得：，
∴这个数分别为：，，，，．
29．九（1）班胜了7场
【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．设九（1）班胜了x场，则负了场．根据题意，列出方程，解方程，即可求解．
【详解】解：设九（1）班胜了x场，则负了场．根据题意，得
，
解得．
答：九（1）班胜了7场．
30．(1)该队必答环节后的总分数为210分
(2)该队抢答对5道题
【分析】本题考查有理数的混合运算，解一元一次方程的应用，充分理解赛事规则，抓住等量关系是解题关键
（1）根据必答环节赛事规则：必答环节每队均需答10道题．答对一题得20分，答错或不答扣10分，列算式求解；
（2）设抢答答对道题，根据抢答环节赛事规则：抢答环节各队共抢答10道题，抢答且答对得30分，抢答但答错扣10分，没有抢答得0分，列方程求解．
【详解】（1）解：（分）．
答：该队必答环节后的总分数为210分．
（2）解：设抢答答对道题．
，解得．
答：该队抢答对5道题．
31．答错了3道题
【分析】本题考查一元一次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．设八（2）班答错了道题，则不答的题数为，根据题意列出一元一次方程即可求出结论．
【详解】解：由题意可知，共有道题，八（2）班答错或不答的题数，
设八（2）班答错了道题，则不答的题数为．
由题意可得，
解得．
答：八（2）班答错了3道题．
32．(1)6，；
(2)小明答对了15道题．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
（1）利用答对道题得分参赛者的得分参赛者答对题目数，可求出答对道题得分；利用答错道题得分参赛者的得分答对道题得分参赛者答对题目数，即可求出答错道题得分；
（2）设小明答对了道题，则答错道题，利用小明的得分答对题目数答错题目数，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：根据题意得：参赛者答对道题得分
答错道题得分
故答案为：6，；
（2）设小明答对了道题，则答错道题，
根据题意得：，
解得：
答：小明答对了道题．
33．正方形纸片的边长为
【分析】本题考查了一元一次方程的应用.
设原正方形纸片的边长为，根据题意列方程计算即可.
【详解】解：设原正方形纸片的边长为，则根据题意，得
，
解得，
∴原正方形纸片的边长为．
34．原正方形的面积为．
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，注意：第一次剪完后，剩下的这边为，难度一般，正确列出方程是解题关键．设原正方形的边长为，根据两次剪下的长方形面积正好相等，可得出方程，解出边长即可．
【详解】解：设原正方形的边长为，
根据题意得：，
解得：，
∴原正方形的面积为．
35．(1)
(2)点运动1.5秒或7.5秒时，三角形的面积等于长方形面积的六分之一
【分析】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．
（1）根据题意表示出各边长进而得出答案；
（2）分别利用当在线段上时，以及当在射线上时，分别得出答案．
【详解】（1）解：，，且点是边的中点，，
，，
四边形面积为；
（2）解：如图，当在线段上时，设秒时，三角形的面积等于长方形面积的六分之一，
则，
，
解得：，
如图，当在射线上时，设秒时，三角形的面积等于长方形面积的六分之一，
则
，
解得：，
答：点运动1.5秒或7.5秒时，三角形的面积等于长方形面积的六分之一．
36．(1)
(2)；
(3)或
(4)t的值为或2
【分析】（1）求出，则；
（2）先求出点P的运动路程再减去的长即可得到答案；根据题意可得方程，解方程求出t的值，然后再求出解得即可；
（3）分两种情况：当点P在上运动时，当点P在上运动时，建立方程求解即可；
（4）根据三角形面积公式求出，据此建立方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，当点P在上运动时，，
∴；
（2）解：由题意得，当点P在上运动时，
；
由题意得，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：当点P在上运动时，则，
解得：；
当点P在上运动时，则，
解得；
综上所述，当点P与点Q到点B的距离相等时，或；
（4）解：∵的面积是，
∴，
∴，
∴或，
解得：或，
∴当的面积是时t的值为或2．
【点睛】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，三角形面积的计算，解题的关键是注意进行分类讨论．
37．峰电140千瓦时，谷电60千瓦时
【分析】题目主要考查一元一次方程的应用，解答此题的关键是：分析题意，弄清楚数量间的关系，得出等量关系式，问题即可逐步求解．
根据“付电费元，经测算，比不使用峰谷电节约元”，求不用“峰谷”电表的钱数：（元），所以用电量为：（千瓦时）．设用“峰电”x千瓦时，则“谷电”千瓦时，根据电费列方程求解即可．
【详解】解：根据题意得：（千瓦时），
设用峰电x千瓦时，则谷电千瓦时，
，
，
，
，
（千瓦时），
答：该家庭当月使用峰电140千瓦时，使用谷电60千瓦时．
38．(1)
(2)设该用户2月份用水
【分析】本题考查了有理数的乘法运算的应用，一元一次方程的应用．熟练掌握有理数的乘法运算的应用，一元一次方程的应用是解题的关键．
（1）由题意知，根据该用户1月份应该缴纳水费为，计算求解即可；
（2）设该用户2月份用水，依题意得，，计算求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，该用户1月份应该缴纳水费（元），
故答案为：；
（2）解：设该用户2月份用水，
依题意得，，
解得，，
∴该用户2月份用水．
39．(1)410；250；二
(2)成人有20人，学生有10人
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
（1）根据两种收费方案分别计算，比较即可求解；
（2）设学生人数为x人时，两种方案车费一样多，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：选择优惠方案一所需费用为：
(元)；
选择优惠方案二所需费用为：
(元)．
，
∴他选择优惠方案二划算；
（2）解：设学生有x人，则成人有人，
根据题意得：
，
解得： ，
答：成人有20人，学生有10人；
40．(1)，元/千瓦时
(2)该户居民六月份的用电量为千瓦时
【分析】本题考查一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键；
（1）根据题意列方程求解，进而求解超出部分的电费单价；
（2）设该户居民六月份的用电量为千瓦时，根据题意列方程求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，得，
解得，
所以超出部分的电费单价是 (元千瓦时)；
（2）解：因为，
所以该户居民六月份的用电量超过千瓦时；
设该户居民六月份的用电量为千瓦时，
根据题意，得，
解得，
故该户居民六月份的用电量为千瓦时．
41．C
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意是解题关键．设有x间房，根据人数相等列一元一次方程即可．
【详解】解：设有x间房，
则，
故选：C．
42．A
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是列出方程求解是解题的关键．
设小勇答对的个数为个，则小勇答错或不答的个数为个，根据题意列出方程求解即可．
【详解】解：设小勇答对的个数为个，则小勇答错或不答的个数为个，
由题意得，，
解得，
故选：A．
43．B
【分析】此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，搞清每一步所求的问题与条件之间的关系，选择正确的数量关系解答，设甲请x天假，根据三人的总工作量是“1”列出方程并解答．
【详解】解∶设甲请了x天假，由题意知，
解得．
答∶甲请了3天假．
故选：B．
44．A
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找到等量关系并列出方程即可求解．设原数个位数字为，则十位数字为；原数为，调换后新数为；根据新数比原数大18，列方程求解，再求和．
【详解】解：设原数个位数字为，则十位数字为，原数为：；
新数为：；
根据题意：，
化简得，
即，
解得；
原数十位数字为，个位与十位数字之和为．
故选A
45．D
【分析】本题考查了图形的变化规律，一元一次方程的应用，解题的关键是先根据题意找出题中的规律，再根据规律用正整数n表示第n次操作后所得正方形的个数．
第一次可得到4个正方形；第二次可得到个正方形；第三次可得到个正方形；则第n次可得个正方形，然后列出方程求解即可．
【详解】解：第一次可得到4个正方形；
第二次可得到个正方形；
第三次可得到个正方形；
则第n次可得个正方形，
∵若要得到2026个小正方形，
∴
解得．
故选：D．
46．6
【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，设爸爸赢了x盘棋，根据两人得分相同列方程解答，正确理解题意列得方程是解题的关键．
【详解】解：设爸爸赢了x盘棋，
根据题意，得，
解得，
即爸爸赢了6局．
故答案为：6．
47．
【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据题意，直接列出方程即可．
【详解】解：设有x人，则可得一元一次方程，
故答案为：．
48．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设该打印机的进价为元，根据题意列一元一次方程，据此求解即可．
【详解】解：设该打印机的进价为元，则标价为元，售价为元，
根据题意得，
解得，
即该打印机的进价为元，
故答案为：．
49．
【分析】此题考查了一元一次方程的应用，设乙第一次追上甲用了x分钟，则有乙行走的路程等于甲行走的路程加上，根据其相等关系列方程得，根据正方形的周长边长，再用甲行走的总路程除以正方形的周长，所得的余数再与，与的和，、与的和比较即可得解．
【详解】解：设乙第一次追上甲用了x分钟．
（米）
（米）
（圈）……270（米）
的距离是70米，与的和是（米），、与的和是（米）
所以，乙第一次追上甲是在边上．
故答案为：．
50．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设点对应的数是，根据时间路程速度结合二者相遇运动的时间相等，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】设相遇点对应的数是， 根据题意得
解得：
故答案为：．
51．7531
【分析】此题考查了一元一次方程的应用，通过设未知数，根据题意列出等量关系式是完成本题的关键．
由于是从小到大相差2的4个数字，可设最小的数字是n，则第二个是第三个是，第四个是，又这4个数字之和是16，由此可得：，由此完成即可．
【详解】解：设最小的数字是n，可得：
，
整理得：，
解得：．
即最小的数字是1，
所以这四个数字分别是：7531．
52．人数为人，买鸡的钱为钱
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找等量关系是解题的关键．设人数为，根据题意列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：设人数为，根据题意得，
解得：，
∴买鸡的钱数为：，
答：人数为人，买鸡的钱为钱．
53．(1)年卡；过程见详解
(2)次
【分析】本题考查了购票问题及列方程解决问题，找到等量关系是解题的关键．
（1）已知爸爸游泳锻炼的计划是一年，每月两次，则一年游泳次．方式一：单次卡，每次收费30元；根据“单价×数量=总价”，求出办单次卡爸爸游泳一年所需的费用；方式二：办理会员年卡，每次游泳另外收费元，那么游泳次需另收费元，再加上年卡的费用，即是办年卡爸爸游泳一年所需的费用；再比较两种方式所需的费用，得出哪种方式更划算．
（2）根据题意，设一年内游泳达到次时，两种付费方式所用钱数相等，等量关系为：单次卡每次的费用次数年卡的费用每次游泳另外的收费次数，据此列出方程，并求解．
【详解】（1）解：爸爸一年游泳：（次），
单次卡：（元），
年卡：（元），
，
答：他选择年卡更划算．
（2）设一年内游泳达到次时，两种付费方式所用钱数相等，
答：一年内游泳达到次时，两种付费方式所用钱数相等．
54．参加研学的总人数是90人．
【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解．
【详解】解：根据题意得：采用方案一的收费为元；
采用方案二的收费为元；
根据题意得：，
解得：．
答：参加研学的总人数是90人．
55．(1)小宝出发的日期为11日
(2)不能，理由见解析
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，读懂题意，正确的列出方程是解题的关键：
（1）设小宝出发的日期为，根据三天日期之和是36，列出方程进行求解即可；
（2）设中间的数字为，根据题意，列出方程，进行求解即可．
【详解】（1）解：设小宝出发的日期为，由题意，得：
，
解得：；
答：小宝出发的日期为11日；
（2）不能，理由如下：
设中间的数字为，由题意，得：
，
解得：，
观察日历可知当时，不存在十字型；
故不能．
56．(1)4，1
(2)答对了道题
(3)参赛者不可能得分，见解析
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题关键．
（1）根据参赛者E的得分情况可求出每答对一道题所得分值，据此即可求解；
（2）设参赛者答对了道题，由题意得：据此即可求解；
（3）假设他得了分，设他答对道题，根据题意得：，解得，据此即可判断；
【详解】（1）解：根据参赛者E的得分情况可知：每答对一道题得分；
根据参赛者A的得分情况可知：每答错一道题得分；
故答案为：4，1
（2）解：设参赛者答对了道题，由题意得：
解得：，
答：参赛者答对了道题
（3）解：参赛者不可能得分，
理由：假设他得了分，设他答对道题，
根据题意得：，
解得，不是正整数，所以假设不成立，
故参赛者不可能得分．
57．(1)甲队：千米/小时，乙队：千米/小时
(2)小时
【分析】本题主要考查工程问题，掌握工程问题的公式以及找准等量关系是解题的关键．
（1）设乙队的行进速度是千米/小时，则甲队的行进速度是千米/小时．从早上7点到9点，经历了2小时，甲开工半小时后乙才到，说明乙走了小时，由于受损公路长1千米，用甲、乙走的路程和=两市相距的距离再减去受损公路长，据此即可列出方程，再求解即可．
（2）由于从上午9点到下午3点总共经历了6小时，最开始甲队工作小时，完成了总量的，根据工作效率=工作总量÷工作时间，用求出甲的效率．设乙的效率为，由于甲队工作了6小时，乙队工作的时间是：（小时），根据工作效率工作时间=工作总量，甲队工作量＋乙队工作量，据此列方程即可求出乙队的效率，再用1除以乙队的效率即可求出时间．
【详解】（1）解：设乙队的行进速度是千米/小时，则甲队的行进速度是千米/小时，
（小时），
2小时小时=小时，
，
（千米/小时），
答：甲队的行进速度是千米/小时，乙队的行进速度是千米/小时．
（2），
根据题意，设乙的工作效率为，
（小时），
答：乙队单独疏通这条公路的效率是小时．
58．(1)用9张白纸做盒身，12张白纸做盒盖，则最多可做18个包装盒
(2)小军做出的包装盒更多，理由见解析
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据题意找出等量关系是列方程的关键
（1）设张白纸做盒身，则有张做盒盖，根据一个盒身和两个盒盖恰好做成一个包装盒列出方程即可解答；
（2）分别按小红和小军设计的方案列出方程解答，然后比较即可得出答案．
【详解】（1）解：设张白纸做盒身，则有张做盒盖，根据题意得：
，
解得：，
则，
答：用9张白纸做盒身，12张白纸做盒盖，则最多可做18个包装盒；
（2）解：小红的方案，设张做盒身，则有张做盒盖，
根据题意得：，
解得：；
小军的方案，设余下的纸板张做盒身，
根据题意得：，
解得：，
，
则小军做出的包装盒更多．
59．(1)
(2)40吨
(3)13吨
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，读懂题意，正确的列出方程是解题的关键：
（1）根据收费方法，列出方程进行求解即可；
（2）设小王家这个月用水吨， 根据题意，列出方程进行求解即可；
（3）设11月份用水吨，则10月份用水吨，分和，两种情况进行讨论，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得，
解得：，
∴，
解得：；
（2）解：由题意可知，元，元，元；
设小王家这个月用水吨，
由题意，得，
解得．
答：小王家这个月用水40吨．
（3）解：设11月份用水吨，则10月份用水吨．
①当，
可得，
解得；
②当，
可得，
解得 (舍去)．
即小王家11月份用水13吨．
60．(1)分别为台和台
(2)
【分析】（）设办法出台前该经销商销售的型汽车为台，则该经销商销售的型汽车为台，根据题意列出方程求出的值，进而即可求解；
（）根据题意列出方程即可求解；
本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键．
【详解】（1）解：设办法出台前该经销商销售的型汽车为台，则该经销商销售的型汽车为台，
由题意得，，
解得，
∴新办法后第一个月型汽车台数：(台)，
新办法后第一个月型汽车台数：(台) ，
答：在新办法出台后第一个月，该经销商销售的型和型汽车分别为台和台；
（2）解：由题意得，，
整理得，，
解得，
答：的值为．
答案第1页，共2页
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