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陕西省2024-2025学年高二下期期末考试数学试卷
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：高考全部内容．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设复数，则（ ）
A. B. C. D.
3. 现有8道四选一的单选题，甲对其中6道题有思路，2道题完全没有思路．有思路的题做对的概率为，没有思路的题只能任意猜一个答案，猜对答案的概率为．甲从这8道题中随机选择1道题，则甲做对这道题的概率为（ ）
A. B. C. D.
4. 等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A. 356 B. 166 C. 246 D. 156
5. 已知向量与的夹角为，，，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
6. 定义一种运算则函数的最大值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 0 D.
7. 已知椭圆的左 右焦点分别是是坐标原点，是上第一象限的点.若的角平分线上一点满足，且，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 在体积为的正四棱锥中，为底面内的任意两点，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知函数的部分图象如图所示，且的面积为，则（ ）
A. B. 函数为奇函数
C. 在上单调递增 D. 直线为图象一条对称轴
10. 为了解某新品种玉米亩产量（单位：千克）情况，从种植区抽取样本，得到该新品种玉米的亩产量的样本均值，已知该新品种玉米的亩产量服从正态分布，则下列说法正确的是（ ）
（若随机变量服从正态分布，则
A. 的值越大，亩产量不低于510千克的样本越多 B. 的值越大，亩产量不低于510千克的样本越少
C 若，则 D. 若，则
11. 若是上的连续函数，且，则.从几何上看，若定义在上的函数连续且恒有，则定积分表示由直线和曲线所围成的图形的面积.已知花瓣曲线，则下列说法正确的是（ ）
A. 曲线上恰好存在8个点到原点的距离为
B. 圆与曲线共有8个公共点
C
D. 曲线围成的封闭区域的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，则______．
13. 衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．曲线在点处的曲率为_________．
14. 来自国外的博主A，B，C三人决定来中国旅游，计划打卡北京故宫、西安兵马俑等5个著名景点.他们约定每人至少选择1个景点打卡，每个景点都有且仅有一人打卡，其中A在北京故宫、西安兵马俑中至少选择1个，则不同的打卡方案种数为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 2025年4月13日，2025十堰马拉松在十堰市奥体中心鸣枪起跑．马拉松比赛是一项高负荷、高强度、长距离的竞技运动，对参赛运动员身体状况有较高的要求，参赛运动员应身体健康，有长期参加跑步锻炼或训练的基础．为了解市民对马拉松的喜爱程度，从成年男性和女性中各随机抽取100人，调查是否喜爱马拉松，得到了如下列联表：
单位：人
性别 马拉松 合计
喜爱 不喜爱
男 60 100
女 60
合计 200
（1）完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，是否可以推断喜爱马拉松与性别有关？
（2）依据统计表，用分层抽样的方法从“喜爱马拉松”的人中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记其中女性人数为，求的分布列及期望．
附：．
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
16. 已知，，平面内一动点满足，设动点的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）若斜率为的直线与交于，两点，且，求直线的方程．
17. 如图，在四棱锥中，侧棱长均为，四边形是矩形，.
（1）证明：平面平面.
（2）求二面角的正弦值.
18. 已知函数.
（1）若，求曲线在点处的切线方程.
（2）证明：在上单调递增.
（3）若，证明：.
19. 已知双曲线左顶点为，右焦点为，，是上的两点，线段的中点为．当时，．
（1）求的标准方程；
（2）若，求直线的斜截式方程；
（3）若，，三点不共线，且，证明：直线过定点．
参考答案
1-8.
【答案】A
【答案】D
【答案】B
【答案】B
【答案】B
【答案】A
【答案】B
【答案】A
9.【答案】ABD
10.【答案】ACD
11.【答案】BCD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】88
15.【小问1】
由题意数据完善列联表：
性别 马拉松 合计
喜爱 不喜爱
男 60 40 100
女 40 60 100
合计 100 100 200
零假设为：喜爱马拉松与性别无关.
经计算得，
依据小概率值的独立性检验，推断成立，即可以推断喜爱马拉松与性别无关.
【小问2】
由题意及分层抽样性质知5人中，有3个男运动员，2个女运动员，故，
；；.
所以的分布列为
0 1 2
期望.
16.【答案】（1）
（2）或
17【小问1】
证明：连接交于点，记的中点分别为，连接.
在中，是的中点，所以.
因为平面，所以平面.
因为平面，所以.
在矩形中，.因为平面，所以平面.
因为平面，所以.
，同理得，所以，即.
因为平面，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
【小问2】
作，垂足为.以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，
所以，.
所以.
设是平面的法向量，
则即可取.
设是平面的法向量，
则即可取.
，
.
故二面角的正弦值为.
18.【小问1】
当时，，，
则，，
故曲线在点处的切线方程为，
即；
【小问2】
的定义域为，则，
令函数，则，
所以在上单调递增，即在上单调递增；
【小问3】
（证法一）由（2）得，在上单调递增，
因为，由，，
可知存在唯一实数，使得，
即，可得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则上单调递增；
所以的极小值为
，
当且仅当时，等号成立，
因为，所以，
所以.
（证法二）当时，等价于，
即，
令，则有，
先证当时，，
令函数，则，
当时，，则在上单调递增，
所以当时，，即当时，得证；
再证，
令函数，则，
当时，，时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，即得证；
综上，，即当时，得证.
19.
【小问1】
设双曲线的半焦距为，则，由题意，
当时，过点且垂直于轴的直线为，
将代入双曲线方程，得，解得；又，则，
又，所以，结合，得，
解得或，
所以，所以双曲线的标准方程为；
【小问2】
易知直线的斜率存在，设，
则，作差可得，
所以，
因为线段AB的中点坐标为，所以，
所以，所以直线的斜率为，
所以直线的斜截式方程为，即.
小问3】
由，，三点不共线，故设直线，
联立，得，
则，，，
因为，则，所以，则，
因，，
所以，
即，
即，
即，
得，解得或，
若，则直线，过点，不符合题意；
若，则直线，满足，则过定点，
则直线过定点.

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