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北师大版（新课标）选择性必修二第一章数列同步检测
一、单选题：本题共14小题。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.建国年来，中国的电力工业执着进取，为社会发展和人民生活做出了巨大贡献年西藏墨脱县新架高压线路万米，年新架高压线路为万米，若从年开始，每年新架高压线路的年增长率相同，则年新架高压线路为 万米．
A. B. C. D.
2.我们知道，偿还银行贷款时，“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式，其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率自主创业的大学生张华向银行贷款的本金为万元，张华跟银行约定，按照等额本金还款法，每个月还一次款，年还清，贷款月利率为，设张华第个月的还款金额为元，则( )
A. B. C. D.
3.用数学归纳法证明“能被整除”，要利用假设证时的情况，只需展开( )
A. B.
C. D.
4.用数学归纳法证明“对任意的，都有”，第一步应该验证的等式是( )
A. B.
C. D.
5.在数列中，，，，用数学归纳法证明能被整除时，假设能被整除后应证明( )
A. 能被整除 B. 能被整除 C. 能被整除 D. 能被整除
6.在等比数列中，，，，则数列的前项和为 ．
A. B. C. D.
7.已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，是数列的前项和，则等于 ．
A. B. C. D.
8.我国南宋数学家杨辉年所著的详解九章算法一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就在“杨辉三角”中，已知第行的所有数字之和为，若去除所有为的项，依次构成数列，，，，，，，，，，，则此数列的前项和为( )
A. B. C. D.
9.已知数列满足，，且数列的前项和若，则实数的范围为( )
A. B. C. D.
10.已知等差数列的公差为，前项和为，且，，成等比数列令，则数列的前项和( )
A. B. C. D.
11.在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，则下列说法不正确的是( )
A. B. 是等比数列
C. D. 是公差为的等差数列
12.小金同学在学校中贯彻着“在玩中学”的学风，他在“汉诺塔”的游戏中发现了数列递推的奥妙：有、、三个木桩，木桩上从上到下依次套有编号分别为、、、、、的六个圆环，规定每次只能将一个圆环从一个木桩移动到另一个木桩，且任意一个木桩上不能出现“编号较大的圆环在编号较小的圆环之上”的情况，现要将这六个圆环全部套到木桩上，则所需的最少次数为( )
A. B. C. D.
13.数学上用“”表示连乘运算，例如：设函数，记，，则使成立的的最小值为( )
A. B. C. D.
14.已知数列满足，若则的值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共5小题。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
15.两个等差数列和，其公差分别为和，其前项和分别为和，则下列命题中正确的是( )
A. 若为等差数列，则
B. 若为等差数列，则
C. 若为等差数列，则
D. 若，则也为等差数列，且公差为
16.在递增的等比数列中，是数列的前项和，若，则下列说法正确的是( )
A. B. 数列是等比数列
C. D. 数列是公差为的等差数列
17.已知有穷数列的通项公式为，其项数不少于项，从中选取项组成数列，数列满足，，则( )
A. 数列是单调数列 B. 当时，
C. 当时， D. 数列的个数为
18.已知数列的通项公式是，在和之间插入个数，使，，成等差数列；在和之间插入个数，，使，，，成等差数列；；在和之间插入个数，，，，使，，，，成等差数列这样得到新数列：，，，，，，，，，，记数列的前项和为，有下列选项中，判断正确的是( )
A.
B.
C.
D.
19.多选题已知，且，则下列结论正确的是 ( )
A. B. C. D.
三、解答题：本题共5小题。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.Ⅰ写出数列，，，，的一个通项公式．
Ⅱ已知等差数列中，公差，，求该数列的前项和．
Ⅲ已知等比数列中，，，求这个数列前项的和．
21.本小题分
已知等差数列的公差不为，，，，成等比数列．
Ⅰ求数列的通项公式；
Ⅱ若数列满足，求数列的前项和．
22.已知数列的前项和为，且，在数列中，，．
求数列，的通项公式； 记求．
23.设等差数列的前项和为，首项，且数列的前项和为，且满足
求数列和的通项公式；
求数列的前项和．
24.已知数列的前项和为，满足，数列满足，，且．
求数列和的通项公式
若，数列的前项和为，对任意的，都有，求实数的取值范围
是否存在正整数，使，，成等差数列，若存在，求出所有满足条件的，，若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
设每年新架高压线路的年增长率为，
因为年西藏墨脱县新架高压线路万米，年新架高压线路为万米，
所以设年高压线路为，年新架高压线路为，
因为每年新架高压线路的年增长率相同，
所以高压线路数量构成等比数列，公比为，
所以即，
所以年新架高压线路为万米，
故选A．
2.【答案】
【解析】由题意可知：每月还本金为元，
设张华第个月的还款金额为元，
则，
故选：．
3.【答案】
【解析】假设当时，原式能被整除，即能被整除．
当时，为了能用上面的归纳假设，
只需将展开，让其出现即可．
故选A．
4.【答案】
【解析】
在等式，中，
当时，，
故等式的左边为，右边为．
故选D．
5.【答案】
【解析】
题中求证能被整除，注意到，
由假设能被整除，
可知这是时的情形，
那么时，则应证，
故选A．
6.【答案】
【解析】
在等比数列中，，，，
公比满足，解得舍负．
又故，
数列的通项公式为，
故数列为首项为，公差为的等差数列．
数列的前项和为．
故选：．
7.【答案】
【解析】，，成等比数列，，，
化为，解得．
则．
故选：．
8.【答案】
【解析】次二项式系数对应杨辉三角形的第行，
例如，系数分别为，，，对应杨辉三角形的第行，
令，就可以求出该行的系数之和，
第行为，第行为，第行为，以此类推，
即每一行数字和为首项为，公比为的等比数列．
则杨辉三角形的前项和为
若去除所有的为的项，则剩下的每一行的个数为，，，，，可以看成构成一个首项为，公差为的等差数列，
则，可得当，去除两端“”可得，则此数列前项和为，
故选C．
9.【答案】
【解析】本题主要考查了数列的概念与表示，数列的通项公式，等差数列的通项公式及求和公式，等比数列的通项公式，等比数列求和公式应用，属于基础题．本题先根据数列满足，，且数列的前项和若，则实数的范围为 C. ，故选：．
10.【答案】
【解析】由题意，可知
，，，
，，成等比数列，
，即，
解得，
，
，
．
故选：．
11.【答案】
【解析】
因为，又，
解得，或
所以或舍去，所以A正确；
由，得，解得，
所以，，
则，所以是以为首项，为公比的等比数列，故B正确；
，故C正确；
，且，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列．故D错误．故选D．
12.【答案】
【解析】根据题意假设木桩上原有个圆环，要将这个圆环全部套到木桩上，所需的最少次数为，
则有如下操作：
先将个圆环从木桩套到木桩上，所需最少次数为，再将编号最大的圆环从木桩套到木桩上，需要次，
最后将木桩上的个圆环全部套到木桩上，所需的最少次数为，
则，，
即，
所以是以为首项，为公比的等比数列．
所以，
所以．
故选D．
13.【答案】
【解析】解：，
，
，
，即，解得或，
又，所以使成立的的最小值为．
故选：．
根据已知条件求得的表达式，然后根据，利用对数运算等知识求得正确答案．
本题主要考查对数的运算，考查运算求解能力，属于中档题．
14.【答案】
【解析】由得，
所以数列是等比数列，公比为，
所以
，
所以．
故选D．
15.【答案】
【解析】 本题主要考查了数列的概念与表示，数列的通项公式，等差数列的通项公式及求和和公式应用，属于基础题．两个等差数列和，其公差分别为和，其前项和分别为和，若为等差数列，则，若为等差数列，则，故选：．
16.【答案】
【解析】设等比数列的公比为，，
，，
或
因数列递增，所以
故A错误；
，
，故C正确；
，故数列是等比数列，故 B正确；
，
，
故数列是公差为的等差数列，故 D错误．
故答案选：．
17.【答案】
【解析】选项，因为数列满足，即必须在和之间，
无法满足单调性，所以选项错误；
选项，如果时，各项大小关系为：
，，，，；
或者，，，，
从而或，
所以，选项正确；
选项，如果时，同选项的分析可得：
或：
，
而为正整数，故，选项正确；
选项，从项中选项有种方式，
如果时，各项的排列次序唯一确定，且为所有项最大项，
为所有项最小项，为余下项最大项，为余下项最小值，
，类似确定；
如果时，同理可得各项的排列次序唯一确定；
所以数列的个数为，选项正确．
故选：．
18.【答案】
【解析】对于，在数列中是第项，
所以，故A项正确；
对于，
，故B项正确；
对于，，故C项错误；
对于，由选项B知，
所以
，故D项正确．
故选：．
19.【答案】
【解析】由，得，
因为，求得，猜想．
接下来用数学归纳法证明该结论：
证明：当时，猜想成立．
假设当时时猜想成立，即，
则当时，有，
所以当时猜想也成立．
综合，对任何都成立．
所以A错误，B正确；
由，可得在单调递增，所以，故C错误；
因为，所以，所以，故D正确．
故选BD．
20.【解析】Ⅰ观察知，这个数列的前项都是序号的倍加，
所以它的一个通项公式为
Ⅱ，即，
，，
是等差数列，
．
Ⅲ设等比数列的公比为，
由已知可得
解得 ， ．
因此前项的和为．
21.【解析】Ⅰ设数列的首项和公差分别为，，
依题意可得，
即，
所以，
由，
解得，，
故，
Ⅱ，
．
22.【解析】由，得，
两式相减得，即，
又，，
是以为首项，为公比的等比数列，
，
也符合，故，
，，
是以为首项，为公差的等差数列，
；
，
，
由得：，
，
．
23.【解析】设等差数列的公差为，
因为，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
因为，即，所以，
则，
所以，
因为，，
所以；
因为数列的前项和为，且，
当时，，解得，
当时，，
所以，
则数列是以为首项，为公比的等比数列，则，
当时，成立，
故数列的通项公式为；
由知，，，
则，
，
，
，得
，
，

24.【解析】当时，，所以．
，当时，，
两式相减得，
从而数列为首项，公比的等比数列，
从而数列的通项公式为．
由，两边同除以，
得，
从而数列为首项为，公差的等差数列，所以，
从而数列的通项公式为．
由得，
于是，
所以，
两式相减得
，
所以，
由得，
因为任意的，都有，
即恒成立，
所以恒成立，
记，
所以，
因为
，
从而数列为递增数列，所以当时取最小值，
于是．
假设存在正整数，，使，，成等差数列，则，
即，
若为偶数，则为奇数，而为偶数，上式不成立．
若为奇数，设，则，
于是，即，
当时，，此时与矛盾；
当时，上式左边为奇数，右边为偶数，显然不成立．
综上所述，满足条件的实数对不存在．
第1页，共15页

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