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浙教版九年级数学上册第一章《二次函数》单元检测试卷
全卷共三大题，24小题，满分为120分．
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1. 已知y=（m+2）+2是关于x的二次函数，那么m的值为（　　 　）
A．-2 B．2 C．±2 D．0
2．抛物线 y=﹣（x﹣1）2﹣2 的顶点坐标是（　　 　）
A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，﹣2）
3．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是（　　 　）
A．4米 B．3米 C．2米 D．1米
已知二次函数y=（x+m）2–n的图象如图所示，
则一次函数y=mx+n与反比例函数y=的图象可能是（　　 　）
A．B．C．D．
老师出示了小黑板上的题后（如图），
小华说：过点（3，0）； 小彬说：过点（4，3）；
小明说：a=1； 小颖说：抛物线被x轴截得的线段长为2．
你认为四人的说法中，正确的有（　　 　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．函数的图象如图所示，那么关于一元二次方程的根的情况是（　　 　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个异号的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
关于二次函数，下列说法正确的是（　　 　）
A．图像与轴的交点坐标为 B．图像的对称轴在轴的右侧
C．当时，的值随值的增大而减小 D．的最小值为-3
若为二次函数的图象上的三点，
则的大小关系是（　　 　）
A． B． C． D．
某抛物线型拱桥的示意图如图所示，水面，拱桥最高处点C到水面的距离为，
在该抛物线上的点E，F处要安装两盏警示灯（点E，F关于y轴对称），
警示灯F距水面的高度是，则这两盏灯的水平距离是（ ）

A． B． C． D．
如图，抛物线的对称轴是．下列结论：
①；②；③；④，正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．
11．若抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后抛物线的表达式是 ．
12. 函数与轴的交点坐标是 ．
崇左市政府大楼前广场有一喷水池，水从地面喷出，喷出水的路径是一条抛物线．
如果以水平地面为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
水在空中划出的曲线是抛物线y=﹣x2+4x（单位：米）的一部分．则水喷出的最大高度是 米．
14．如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的距离 m．

15.函数y=x，y=x2和y= 的图象如图所示，若x2＞x＞ ，则x的取值范围是 ．
如图，已知二次函数的图象，
且关于的一元二次方程没有实数根，有以下结论：
①；②；③；④．
其中正确结论的序号有 ．

三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0）．
（1）求b、c的值；
（2）求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
18．跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线．正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为米，
到地面的距离和均为米，身高为米的小丽站在距点的水平距离为米的点处，
绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点．以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，
设此抛物线的解析式为．
求该抛物线的解析式；
如果小华站在之间，且离点的距离为米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶，
请你算出小华的身高．
19．已知抛物线y=x2+bx+3经过点A(﹣1，8)，顶点为M；
（1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线对称轴与x轴交于点B，连接AB、AM，求△ABM的面积．
20．有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度AB为20米，拱顶距离水面高度OC为4米．
(1) 在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线相应的函数表达式；
(2) 水面在正常水位时，一艘装满物资的小船，露出水面的部分为3米，宽为5米，
该小船能从这座拱桥下通过吗？
如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线的表达式为．
求，值；
(2) 动点在直线上方的二次函数图象上，连接，，设的面积为，
求的关于的函数表达式；
某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件．
如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元）．
设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元，
（1）求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？
如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，
且点C、D是抛物线上的一对对称点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点D的坐标，并在图中画出直线BD；
(3)求出直线BD的一次函数解析式，并根据图象回答：
当x满足什么条件时，上述二次函数的值大于该一次函数的值．
24．如图，已知抛物线经过点三点．

求抛物线的解析式；
点M是线段上的点（不与B、C重合），过M作轴交抛物线于N，
若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示的长；
在（2）的条件下，连接，是否存在m，使的面积最大？
若存在，求m的值和的面积；若不存在，说明理由．
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浙教版九年级数学上册第一章《二次函数》单元检测试卷解答
全卷共三大题，24小题，满分为120分．
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的．
1. 已知y=（m+2）+2是关于x的二次函数，那么m的值为（　　 　）
A．-2 B．2 C．±2 D．0
【答案】B
【分析】根据形如y=a+bx+c（a≠0）是二次函数，可得答案．
【详解】解：∵y=（m+2）+2是y关于x的二次函数，
∴|m|=2且m+2≠0，
解得m=2，
故选：B．
2．抛物线 y=﹣（x﹣1）2﹣2 的顶点坐标是（　　 　）
A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（1，﹣2）
【答案】D
【分析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．
【详解】抛物线 y=﹣（x﹣1）2﹣2 的顶点坐标是（1，﹣2）．
故选D．
3．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是（　　 　）
A．4米 B．3米 C．2米 D．1米
【答案】A
【详解】）∵y=－x2＋4x=，
∴当x=2时，y有最大值4，
∴最大高度为4m．
故选A．
已知二次函数y=（x+m）2–n的图象如图所示，
则一次函数y=mx+n与反比例函数y=的图象可能是（　　 　）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】试题解析：观察二次函数图象可知：，
∴一次函数y=mx+n的图象经过第一、三、四象限,反比例函数的图象在第二、四象限.
故选C.
老师出示了小黑板上的题后（如图），
小华说：过点（3，0）； 小彬说：过点（4，3）；
小明说：a=1； 小颖说：抛物线被x轴截得的线段长为2．
你认为四人的说法中，正确的有（　　 　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】首先求出抛物线的解析式，然后逐一进行判断即可得出答案．
【详解】解：∵抛物线过（1,0），对称轴是x＝2，
∴ ，解得a＝1，b＝－4，
∴y＝x2－4x＋3，
当x＝3时，y＝0，所以小华正确，
当x＝4时，y＝3，小彬正确，
a＝1，小明也正确，
抛物线被x轴截得的线段长为2，已知过点(1,0)，则可得另一点为(－1,0)或(3,0)，所以对称轴为y轴或x＝2，此时答案不唯一，所以小颖也错误，
故答案为：C．
6．函数的图象如图所示，那么关于一元二次方程的根的情况是（　　 　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个异号的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
【答案】A
【分析】由图可知ax2＋bx＋c－2＝0的根的情况即图中图象和x轴交点的横坐标，为两个不相等的正数．
【详解】∵函数的顶点的纵坐标为3，
∴直线y＝3与函数图象只有一个交点，
∴y＝ax2＋bx＋c 2，相当于函数y＝ax2＋bx＋c的图象向下平移2个单位，
∴方程ax2＋bx＋c 2＝0的根为两个不相等的实数根.
故选A.
关于二次函数，下列说法正确的是（　　 　）
A．图像与轴的交点坐标为 B．图像的对称轴在轴的右侧
C．当时，的值随值的增大而减小 D．的最小值为-3
【答案】D
【详解】∵y=2x2+4x-1=2（x+1）2-3，
∴当x=0时，y=-1，故选项A错误，
该函数的对称轴是直线x=-1，故选项B错误，
当x＜-1时，y随x的增大而减小，故选项C错误，
当x=-1时，y取得最小值，此时y=-3，故选项D正确，
故选：D．
若为二次函数的图象上的三点，
则的大小关系是（　　 　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数解析式可得对称轴为，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，由此即可求解．
【详解】解：二次函数的对称轴为，，
∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；
∵，
∴，
∵，则，，
∴时的函数值与的函数值相等，且，
∴，
∴，
故选：B ．
某抛物线型拱桥的示意图如图所示，水面，拱桥最高处点C到水面的距离为，
在该抛物线上的点E，F处要安装两盏警示灯（点E，F关于y轴对称），
警示灯F距水面的高度是，则这两盏灯的水平距离是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，可以设抛物线的解析式为，然后根据题意可得点A的坐标，再代入抛物线解析式，即可求得a的值，再将代入，即可求得相应的x的值，从而即可求解．
【详解】解：解：设该抛物线的解析式为，
由题意可得，点A的坐标为，
将代入得，，
解得，
∴抛物线的解析式为，
当时，，
解得，，
∴，，
∴这两盏灯的水平距离是：（米），
故选：A．
如图，抛物线的对称轴是．下列结论：
①；②；③；④，正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】根据函数图象分别判断a，b，c的符号即可判断结论①；利用图象与x轴交点的个数即可判断结论②；利用当x=1时函数值的正负即可判断结论③；利用对称轴和x=2时的函数值的正负即可判断结论④．
【详解】解：∵抛物线开口方向向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴的右侧，
∴a，b异号，即b＞0，
∵函数图像与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b24ac＞0，故②正确；
由图像可知，当时，，
∴，
∴，故③正确；
∵抛物线对称轴是直线x=1，
∴，
∴b=2a，
∵当x=2时，4a2b+c＜0，
∴4a+4a+c＜0，
即8a+c＜0，故④正确；
∴正确的选项有3个；
故选：C
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．
11．若抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后抛物线的表达式是 ．
【答案】
【分析】根据抛物线的平移规律进行求解即可．
【详解】解：抛物线先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后抛物线的表达式是，
故答案为：
12. 函数与轴的交点坐标是 ．
【答案】，
【分析】本题考查了二次函数与轴的交点，解一元二次方程的运用，根据题意，令，解一元二次方程即可求解．
【详解】解：根据题意，令，
∴，即，
解得，，
∴二次函数与轴的交点为：，
故答案为： ．
崇左市政府大楼前广场有一喷水池，水从地面喷出，喷出水的路径是一条抛物线．
如果以水平地面为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
水在空中划出的曲线是抛物线y=﹣x2+4x（单位：米）的一部分．则水喷出的最大高度是 米．
【答案】4
【分析】根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=﹣x2+4x的顶点坐标的纵坐标，利用配方法或公式法求得其顶点坐标的纵坐标即为本题的答案．
【详解】∵水在空中划出的曲线是抛物线y=﹣x2+4x，
∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y=﹣x2+4x的顶点坐标的纵坐标．
∵y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，
∴顶点坐标为：（2，4）．
∴喷水的最大高度为4米．
14．如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的距离 m．

【答案】10
【分析】令，则，再解方程，结合函数图象可得答案．
【详解】解：令，则，
解得：，，
∴，
故答案为：．
15.函数y=x，y=x2和y= 的图象如图所示，若x2＞x＞ ，则x的取值范围是 ．
【答案】x＞1或﹣1＜x＜0
【分析】求出三个函数的交点坐标，然后根据函数图象写出交点右边部分的x的取值范围即可．
【详解】联立，解得，
所以，交点为（1，1），
所以，若x2＞x＞，则x的取值范围是x＞1或-1＜x＜0．
故答案为x＞1或-1＜x＜0．
如图，已知二次函数的图象，
且关于的一元二次方程没有实数根，有以下结论：
①；②；③；④．
其中正确结论的序号有 ．

【答案】①③④
【分析】由抛物线与轴有两个不同交点，可判断①；根据抛物线的开口方向、对称轴及与轴交点的位置，可得出、、，进而即可得出，即可判断②；由抛物线与直线有一个交点，即可判断③；由、，可得出，即可判断④．
【详解】解：抛物线与轴有两个交点，
，①正确；
抛物线开口向上，对称轴为直线，与轴交于负半轴，
，，，
，
，②错误；
方程没有实数根，
，③正确；
，，
，④正确．
故答案为：①③④．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0）．
（1）求b、c的值；
（2）求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
【答案】（1） ；（2）顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x=2
【详解】解：（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（4，3），（3，0），
∴ ，
解得 ；
（2）∵该二次函数为y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1．
∴该二次函数图象的顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x=2.
18．跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线．正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为米，
到地面的距离和均为米，身高为米的小丽站在距点的水平距离为米的点处，
绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点．以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，
设此抛物线的解析式为．
求该抛物线的解析式；
如果小华站在之间，且离点的距离为米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶，
请你算出小华的身高．
【答案】 ；小华的身高是米
【分析】（1）已知抛物线解析式，求其中的待定系数，选定抛物线上两点E（1，1.4），B（6，0.9）坐标代入即可；
（2）小华站在OD之间，且离点O的距离为3米，即OF＝3，求当x＝3时的函数值．
【详解】由题意得点，，
代入得，
解得，
故所求的抛物线的解析式是；
把代入，
得，
故小华的身高是米.
19．已知抛物线y=x2+bx+3经过点A(﹣1，8)，顶点为M；
（1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线对称轴与x轴交于点B，连接AB、AM，求△ABM的面积．
【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）.
【分析】(1)把点A的坐标代入函数解析式，列出关于系数b的方程，通过解方程求得b的值即可；
(2)由(1)中函数解析式得到对称轴为x=2，然后结合三角形的面积公式进行解答即可．
【详解】解：(1)∵抛物线y=x2+bx+3经过点A(﹣1，8)，
∴8=(-1)2﹣b+3，
解得b=﹣4，
∴所求抛物线的表达式为y=x2﹣4x+3；
(2)作AH⊥BM于点H，
∵由抛物线y=x2﹣4x+3解析式可得，
点M的坐标为(2，﹣1)，点B的坐标为(2，0)，
∴BM=1，
∵对称轴为直线x=2，
∴AH=3，
∴△ABM的面积.
故答案为：(1)y=x2﹣4x+3；(2).
20．有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度AB为20米，拱顶距离水面高度OC为4米．
(1) 在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线相应的函数表达式；
(2) 水面在正常水位时，一艘装满物资的小船，露出水面的部分为3米，宽为5米，
该小船能从这座拱桥下通过吗？
【答案】(1)y＝﹣x2+4；(2)该渔船能安全通过，理由见解析.
【分析】（1）由题意可以写出A、C两点坐标，设抛物线解析式为y=ax2+c，把点C，A的坐标代入求出a，c的值即可；
（2）把x=2.5代入抛物线解析式，求出对应函数值y，再比较和3的大小即可知道该渔船能否安全通过．
【详解】设抛物线解析式为y=ax2+c1分)，
∴桥下水面宽度AB为20米，拱顶距离水面高度OC为4米，
∴点A(﹣10，0)，点C(0，4)，
∴解得：
∴该抛物线的解析式y＝﹣x2+4；
(2)该渔船能安全通过，理由如下：
∵船宽5米，∴当x＝2.5时，y＝﹣0.25+4＝3.75米(3分)＞3米，∴该渔船能安全通过．
如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线的表达式为．
求，值；
(2) 动点在直线上方的二次函数图象上，连接，，设的面积为，
求的关于的函数表达式；
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了二次函数与几何综合，二次函数的图象和性质，待定系数法，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）首先根据一次函数的解析式求出点的坐标，然后利用待定系数法解题即可；
（2）过点作轴的垂线，交于点，交于点，设，则，，从而求出，然后表示出化简即可．
【详解】（1）解：把代入中，
得，
∴，
把代入中，
得，
∴，
把，代入中，
即，
解得．
（2）解：由上可得抛物线的解析式为，
如图，过点作轴的垂线，交于点，交于点，
设，则，，
∴，
∵，，
∴的面积为为，
∴的关于的函数表达式．
某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件．
如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元）．
设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元，
（1）求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？
【答案】（1）y=－10x2＋100x＋2000，0＜x≤12（2）每件商品的售价定为5元时，
每个月可获得最大利润，最大月利润是2250元
【详解】解：（1）设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），则每件商品的利润为：（60－50＋x）元，
总销量为：（200-10x）件，
商品利润为：y=（60－50＋x）（200－10x）=－10x2＋100x＋2000．
∵原售价为每件60元，每件售价不能高于72元，∴0＜x≤12．
（2）∵y=－10x2＋100x＋2000=－10（x－5）2+2250，
∴当x=5时，最大月利润y=2250．
答：每件商品的售价定为5元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是2250元．
如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，
且点C、D是抛物线上的一对对称点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点D的坐标，并在图中画出直线BD；
(3)求出直线BD的一次函数解析式，并根据图象回答：
当x满足什么条件时，上述二次函数的值大于该一次函数的值．
【答案】(1)；
(2)D(－2，3)，画图见解析；
(3)BD的解析式为，当－2【分析】（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值，
（2）进而可根据抛物线的对称轴求出D点的坐标，并画出直线BD；
（3）设出直线BD的一次函数解析式为y=kx+b，把B（1，0），D（-2，3）分别代入得可求出k，b，问题的解．由图象可知二次函数的值大于该一次函数的值时：-2＜x＜1．
【详解】（1）解：二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点A（﹣3，0），B（1，0）
∴
解得
∴二次函数图象的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）解：∵y＝﹣x2﹣2x+3，
∴当x＝0时，y＝3，
∴图象与y轴的交点坐标为（0，3）
∵点C、D是抛物线上的一对对称点，且抛物线的对称轴是x＝＝﹣1，
∴D点的坐标为（﹣2，3）．
如图，在图中过点B、D作直线BD．
（3）解：设直线BD的一次函数解析式为y＝kx+b
把B（1，0），D（﹣2，3）分别代入得：
解得
∴BD的解析式为y＝﹣x+1．
由图象可知二次函数的值大于该一次函数的值时：﹣2＜x＜1．
24．如图，已知抛物线经过点三点．

求抛物线的解析式；
点M是线段上的点（不与B、C重合），过M作轴交抛物线于N，
若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示的长；
在（2）的条件下，连接，是否存在m，使的面积最大？
若存在，求m的值和的面积；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，当时，△BNC的面积最大为
【分析】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）用，即可得出结果；
（3）根据的面积等于，列出二次函数解析式，求值即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点三点，
∴设抛物线的解析式为，
把代入得：，
∴，
∴抛物线的解析式：；
（2）设直线的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
∴，
又∵轴，
∴，
∴；
（3）存在，
，
∴当最大时，的面积最大，
∵，
当时，有最大值为，
所以当时，的面积最大为．
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