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江西省赣州市2024-2025学年高一下学期6月期末考试数学试题
一、单选题
1．复数的虚部为（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．-2
2．已知向量，，若，则（ ）
A．-2 B．4 C．1 D．-1
3．如图，是水平放置的的直观图，，则原的面积为（ ）
A． B． C．6 D．8
4．已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下面命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
5．若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，均为锐角，且，，则（ ）
A． B． C． D．
7．勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”，“赵爽弦图”是我国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图，某同学绘制的赵爽弦图，在正方形和中，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．在上的投影数量为
8．若实数，满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知复平面内表示复数：的点为，则下列结论中正确的为（ ）
A．若，则 B．若在直线上，则
C．若为纯虚数，则 D．若在第四象限，则
10．已知正方体的棱长为定值，E，F分别为棱，的中点，H是线段上的动点，则下列结论正确的有（ ）
A．平面 B．四面体的体积为定值
C．平面 D．直线，，三线共点
11．在中，a，b，c为内角A，B，C的对边，，，点P满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．的面积最大值为 D．线段的长度最大值
三、填空题
12．已知，则 .
13．如图，某数学建模探究小组为测量赣州市和谐钟塔的塔高，在与塔底B同一水平面上选取C，D两点，分别测得，，，，则塔高 .（用，，，表示）
14．一个底面边长和侧棱长均为4的正三棱柱密闭容器，其中盛有一定体积的水，当底面ABC水平放置时，水面高为，当侧面水平放置时（如图），容器内的水形成新的几何体.若该几何体的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为 .
四、解答题
15．已知向量，，.
(1)求和的值；
(2)求与的夹角的余弦值.
16．已知函数，若的一个零点为0，且图象上相邻两条对称轴的距离为.
(1)求的解析式，并写出的单调递减区间；
(2)把的图象向右平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图象，求在区间上的值域.
17．如图1，在等腰梯形中，，，，，把三角形沿着翻折，得到图2所示的四棱锥，，记二面角的平面角为.

图1 图2
(1)证明：平面；
(2)当时，求证：平面；
(3)当时，求点到平面的距离.
18．如图，在平而四边形中，，，，.

(1)若，，求的大小；
(2)若，求四边形面积的最大值.
19．在数学中，三角函数的孪生兄弟是双曲函数，其中双曲余弦函数为，双曲正弦函数为.
(1)判断函数的奇偶性，并证明你的结论：
(2)求函数的最小值；
(3)求证：对，.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A D A A C A CD BD
题号 11
答案 ACD
12．
13．.
14．
15．（1）由，得，
所以，
；
（2）由，
所以与的夹角的余弦值为.
16．（1）因为函数的一个零点为0，所以，即，得，
因为，所以.
因为函数图象上相邻两条对称轴的距离为，所以.
因为，，所以，
所以函数的解析式为，
由，，解得，，
所以的单调递减区间为.
（2）把的图象向右平移个单位得到
，
再将向上平移个单位得到，
所以，
因为，所以.
当时，即时，，
当时，即时，，
所以函数在的值域为.
17．（1）连接交于点，连接，
由题意知,，易知，则有.
因为，所以，
根据相似性得，
又平面，平面，所以平面.
（2）如图，因为翻折前，所以翻折后，，
由二面角的定义可知，二面角的平面角，
当时，，即，
又因为，且，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
在中，易知，，，
满足：，由勾股定理可知，，
因为，且，平面，
所以平面.
（3）过点D作于点H，
，，，
作于，连接，
因为，，,CE、ED平面CDE，
所以平面CDE，又MG平面CDE，所以MG，
因为MG，，、AE、EC平面ABCE，
所以平面ABCE，
因为，所以，
所以，，，，
所以，，，
所以为等腰三角形，且边上的高，
所以，
令到平面的距离为，且，
因为，所以，
所以.
18．（1）由已知，，得，
所以，得.
在中，因为，，所以，
又，由正弦定理得，
得，
因为，所以，所以，
所以.
（2）由已知得，所以，
在中
所以，
又因为，得，
所以四边形面积
所以，
因为，所以，
当时，即时，.
19．（1）根据奇偶性定义直接判断；
（2），设，则，利用单调性求最值；
（3）当时，，，利用和的奇偶性和单调性证明，当时，，设，即可得证.
【详解】（1）因的定义域为，
由可得函数为奇函数.
（2）
，
设，则，当且仅当时取“=”，
则在上单调递增，
所以.
所以函数的最小值为.
（3）① 当时，，.
对于，因，则为偶函数；
设，则，
因为，所以，，，
所以，即在上单调递增.
所以当时，.
对于，类似的方法可得：为奇函数，在上单调递增，
所以当时，.
所以；
② 当时，.
由可得，
所以，
即.
综上可得：对，.

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