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重庆市忠县2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列代数式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
2．在中，所对边分别为a、b、c，则下面能构成直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下面特征量中不能刻画数据集中趋势的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．最小值
4．在的前提下，下列条件能够判定“四边形ABCD是菱形”的是（ ）
A． B． C． D．
5．估计的值应在（ ）
A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间
6．已知在一次函数的图象上有三个点，且，则下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，于点D，将沿直线AC翻折到，将沿直线BC翻折到，此时E，C，F三点恰好共线，若，，则（ ）

A．2 B．4 C．6 D．
8．在如图所示的矩形中，张华同学数其中的矩形的个数，则不同（位置或大小）矩形个数是（ ）
A．49 B．64 C．81 D．100
9．如图，线段表示一辆小轿车行使中油箱剩余油量与行驶里程的函数图象，线段表示一辆大客车行驶中油箱剩余油量与行驶里程的函数图象．若两车都加满油箱行驶，则下列说法正确的是（ ）
A．行驶相同里程大客车比小轿车的多耗
B．当两车都用完油箱的油时，大客车比小轿车多行驶
C．当两车行驶里程为时，两车油箱剩余油量相同
D．若两车行驶里程差为，两车油箱剩余油量都为
10．如图，在矩形中，点E，F分别为，中点，点G，P分别为，上一点且满足，连接交于点M，延长交于点N，过点N作交于点S．对于下列结论：①；②；③；④若梯形的面积是面积的5倍，则点S是中点．
其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
11．若二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
12．将直线向右平移1个单位后与y轴交点的纵坐标为 ．
13．如图，在平行四边形中，已知，，，则 ．
14．已知八年级1班有男生30人，女生20人．若全班学生的平均身高是，女生的平均身高是，则该班男生的平均身高为 ．
15．若一次函数的图像不经过第四象限，且关于x的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数m之和为 ．
16．对于各数位数字都不为零的四位正整数，当千位数字与十位数字之和为，且百位数字与个位数字之和为时，则称为“幸运数”．设“幸运数”的千位数字和百位数字分别为，将的千位与十位、百位与个位数字分别对调后的四位数记为，令．当时，则 ；若为整数，则满足条件的“幸运数”的最大值与最小值之差为 ．
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)．
18．如图，是平行四边形边上一点，线段的延长线与边的延长线交于点．
(1)若点是的中点，证明：四边形是平行四边形；
(2)平行四边形的面积为，求的面积．
19．小忠同学在学习了菱形后，探索矩形作法，利用如图所示的菱形，对角线相交于点O，借助尺规作图，在的延长线上截取，连接，再过点C作于点F，于是作出了矩形．
(1)请根据小忠同学的思路在答题卡图上完成以上尺规作图（只保留作图痕迹，标上字母，不写作法，不另外添加字母和符号）；
(2)请把证明四边形BOCF为矩形补充完整（在答题卡上对应序号旁填写）．
证明：∵四边形是菱形，
，，
又∵DC的延长线上，平行且等于①______，
∴四边形为②______，
，又∵，③______，且④______，
，∴四边形为矩形．
20．在八年级数学建模大赛中，学校八年级数学兴趣小组同学积极参加，现从参赛的男女同学中各抽取20名学生的比赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析，按比赛抽取的比赛成绩x分为四组，A组，B组，C组，D组，经统计得到了如下的部分信息：
抽取的男生成绩在C组中的数据为：93，92，92，93，90，93；
抽取的男女生成绩统计表
性别 平均分 中位数 众数
男生 91.5 b 93
女生 91.5 92.5 96
请根据以上信息，回答以下问题：
(1)求数据a，b的值，并在答题卡上补全条形统计图；
(2)根据以上数据，你认为八年级数学兴趣小组中哪个性别学生数学建模成绩更好？请说明理由（写一条理由即可）；
(3)如果八年级有200名男生和180名女生参加了此次比赛活动，请估计八年级参赛学生数学建模成绩优秀者（）的学生人数是多少？
21．如图，在矩形中，点E是边上一点，于点F，．
(1)证明：平分；
(2)若，求的长．
22．如图，在矩形中，已知，为的中点，动点以每秒1个单位的速度沿线段匀速运动，动点以沿折线匀速运动，动点同时从点出发同时到达点后停止，且运动中不变．设点的运动时间为秒，的面积为．
(1)求点沿折线匀速运动的速度；
(2)求关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
(3)在已给平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质．
23．如图是腰长为5的等腰直角三角形，以顶点O为坐标原点，OA边所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设直线过A，B两点，直线过点且分别与y轴、直线交于点D、E，已知点E的纵坐标为3．
(1)求直线与的解析式，
(2)过线段上的点F作y轴的平行线，分别交直线，x轴于点G，H，当点F是线段的中点时，求点F的坐标；
(3)若点M在直线上，且满足时，请写出所有满足条件的点M的坐标，并写出求其中一个点M坐标的过程．
24．在如图所示的正方形中，点E在不含端点的对角线上，F为线段上的点，，连接．

(1)若，，求正方形的周长；
(2)若，求的面积的最小值；
(3)若点D关于直线的对称点为G，写出三线段的数量关系，并给出证明．
重庆市忠县2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C D A B A B D C B
1．D
【详解】解：A、是整数，不是二次根式，选项错误；
B、的被开方数为分数，分母含根号，可化简为，不符合最简二次根式条件，选项错误；
C、的被开方数含，存在可开方的因式，不符合最简二次根式条件，选项错误；
D、的被开方数2不可开方，且分母不含根号，满足最简二次根式的条件，选项正确；
故选：D．
2．C
【详解】解：A、比例，三边相等，为等边三角形，所有角均为，不是直角三角形，不符合题意；
B、比例，最长边为2，计算得，不满足勾股定理，不符合题意；
C、比例，最长边为5，计算得，满足勾股定理，符合题意；
D、比例，最长边为3，计算得不满足勾股定理，不符合题意；
故选：C．
3．D
【详解】解：A、平均数是所有数据之和除以数据个数，反映数据的平均水平，是集中趋势的核心指标，故此选项不符合题意；
B、 中位数是将数据按大小排列后位于中间位置的数，不受极端值影响，体现数据中间位置的集中趋势，故此选项不符合题意；
C、众数是数据中出现次数最多的数，反映数据的集中分布情况，故此选项不符合题意；
D、最小值是数据中的最小数值，仅描述数据范围的下限，不能刻画数据集中趋势，故此选项符合题意；
故选：D．
4．A
【详解】解：∵，，
四边形是平行四边形，
A、，四边形是平行四边形，
四边形是菱形，故A符合题意；
B、四边形是平行四边形，
，，不能判定四边形是菱形，故B不符合题意；
C、四边形是平行四边形，
，，不能判定四边形是菱形，故C不符合题意；
D、四边形是平行四边形，，
四边形是矩形，故D不符合题意，
故选：A．
5．B
【详解】解：∵，
又∵，
∴的值在1和2之间，
故选：B．
6．A
【详解】解：∵点，，且，
∴一次函数y随x的增大而减小，
∴，
将点代入函数解析式得：
，
解得：，
∵，
∴，
∴，
综上分析：，，
故选：A．
7．B
【详解】解：过点B作于G，如图，

∵，
∴，
由折叠可得： ，，，，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理，得
，
解得：，
即，
故选：B．
8．D
【详解】解：∵每一行看，不同（位置或大小）矩形个数共有(个)，每一列看不同（位置或大小）矩形个数共有(个)，
∴整个图形不同（位置或大小）矩形个数共有(个)，
故选：D．
9．C
【详解】解：由图象可知，小轿车的耗油量为，
大客车的耗油量为，
，
大客车每千米比小轿车多耗油，
随着里程的增加，大客车比小轿车的耗油量也随之增加，而不是，A选项错误；
由图象可知，当两车都用完油箱的油时，大客车行驶了，小轿车行驶了，
小轿车比大客车多行驶，B选项错误；
设线段的函数解析式为，
将和代入得：
，解得：，
，
同理可得，
当时，，
解得：，
当两车行驶里程为时，两车油箱剩余油量相同，C选项正确；
当时，，解得：，
当时，，解得：，
，
若两车行驶里程差为，两车油箱剩余油量都为，D选项错误；
故选：C
10．B
【详解】解：∵矩形，
∴，，，，
∵点E，F分别为，中点，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，，，，
∴，
取中点Q，连接，如图，
则，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴
∴
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，故①正确；
∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故②错误；
∵是等边三角形， ，
∴，
∴点P是的中点，
过点G作于H，过点M作于T，如图，
∵矩形，点E，F分别为，中点，
∴是矩形的对称轴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴点M是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵点E是中点，点M是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，故③正确；
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴
∵，，
梯形的面积是面积的5倍，
∴，
∴，
∴，
，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
即点S是中点．故④正确．
综上，正确的有①③④共3个，
故选：B．
11．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
12．3
【详解】解：由直线向右平移1个单位长度，可得平移后的直线解析式为：
，即，
令代入解析式，解得，
直线向右平移1个单位后与y轴交点的纵坐标为3．
故答案为：3．
13．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴．
故答案为：
14．169
【详解】解：根据题意，，
故答案为： ．
15．1
【详解】解：∵一次函数的图像不经过第四象限，
∴，
∴，
解方程，得，
∵关于x的分式方程的解为整数，
∴，，，，
∴或或1或或2或或5 或，
又∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴符合条件的所有整数m之和为1，
故答案为：1．
16． 77 7524
【详解】解：各数位数字都不为零的四位正整数，当千位数字与十位数字之和为，且百位数字与个位数字之和为时，称为“幸运数”，
设“幸运数”的千位数字和百位数字分别为，且时，
∴“幸运数”的十位数字式，个位数字为，
∴“幸运数”，
∴将的千位与十位、百位与个位数字分别对调后的四位数记为，
∴，
∴，
根据题意，设，
∴，
∴，
∴，
∵为整数，且“幸运数”最大，
∴当时，，则时，均不符合题意，时，符合题意，
∴，此时“幸运数”的最大值为，
“幸运数”最小，
同理，时，，则时，不符合题意，时，符合题意，
∴，此时“幸运数”的最小值为，
∴，
故答案为：①；② ．
17．(1)5
(2)4
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．(1)见解析
(2)3
【详解】（1）证明：如图，
四边形平行四边形，
，
，
点是的中点，
，
又∵，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：设平行四边形边与的距离为，
则平行四边形面积为，而的面积为，
的面积为．
19．(1)作图见解析
(2)①；②平行四边形；③；④
【详解】（1）解：如图，即为所求：
（2）证明：∵四边形是菱形，
，
，
又∵DC的延长线上，
平行且等于，
∴四边形为平行四边形，
，
又∵，
，且，
，
∴四边形为矩形．
故答案为：①；②平行四边形；③；④．
20．(1)20；91；见解析
(2)女生，见解析
(3)估计八年级参赛学生数学建模成绩优秀者200人
【详解】（1）解：C组男生有人，
则C组所占百分比为，
故B组男生所占百分比为，则；
八年级A组男生有（人），B组男生有（人），C组男生有人，D组男生有（人），
把八年级20名男生比赛成绩从小到大排列排在第10和第11个数是90，92，
故中位数；
八年级女生C组有（人），
补图为：
（2）解：女生数学建模成绩更好，
理由：男女生的平均分相等，而女生成绩中位数92.5分比男生成绩中位数91分高，女生成绩众数96分比男生成绩众数93分高，
则女生数学建模成绩更好；
（3）解：（人），
答：估计八年级参赛学生数学建模成绩优秀者200人．
21．(1)见解析
(2)10
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：由（1）知：，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
在中，根据勾股定理得：，
∴，
∴，
∴．
22．(1)每秒
(2)
(3)见解析
【详解】（1）解：由题意，点的运动时间为6秒，
∴点沿折线匀速运动6秒，，
点沿折线匀速运动的速度为每秒；
（2）解：由题意，而当时，点运动到点位置，
∴当时，在中，，故，
边上高为，的面积为，
当时，在中，，
∴，边上高为，
的面积为，
∴；
（3）解：作图如下：
性质：函数的图象关于直线对称，
函数在时随的增大而减小，
函数在时随的增大而增大．
23．(1)，
(2)点的坐标为
(3)点的坐标为或
【详解】（1）解：∵是腰长为5的等腰直角三角形，以顶点O为坐标原点
∴，
设直线，
将点代入直线得，
解得，
直线的解析式为，
∵点E的纵坐标为3．
∴
∴
则点的坐标为，
设直线，
将坐标代入直线得：，
解得，
故直线的解析式为；
（2）解：设直线的横坐标为，
由（1）得直线的解析式为，直线的解析式为；
则点，
，
∵点F是线段的中点
∴，
∴，
解得，
把代入，得，
即点的坐标为；
（3）解：依题意， 令则，
点，
设的解析式为
∵
则
∴
∴；
当点在直线的右边时，要使得，
则，
过点作的平行线交直线于点，
∵，
四边形是平行四边形，
则
∵
∴设的解析式为，
把代入，
得
∴的解析式为
把代入
得
∴点的坐标为，
依题意，
则
解得
把代入，得
∴点的坐标，
当点在直线的左边时，
设直线与直线交于点，
要使得，
则为等腰三角形，
故点在线段的中垂线上，
∵是腰长为5的等腰直角三角形，以顶点O为坐标原点
∴
∴是等腰直角三角形，
∴的中垂线为，
∵直线解析式为
∴ 依题意得，
∴
解得
∴，
设的解析式为
∵，
∴
解得
的解析式为，
依题意
∴
解得
把代入，得
∴的坐标，
综上所述：点的坐标为或．
24．(1)
(2)
(3)，见解析
【详解】（1）解：如图，过作于点，

∵四边形为正方形，
∴，
∴，即为等腰直角三角形，
，
，
∵在中，，
，
，
∴正方形的周长；
（2）如下图，过作于点于点，

∴，
∴四边形是矩形，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
，，
在与中，
，
，
，
∵，
∴，
，即，
∴是等腰直角三角形，
设，则的面积为，
，
当时，取最小值，此时，
则的面积的最小值为；
（3），证明如下：
由（2）得是等腰直角三角形，
如图，延长使得，则是点关于直线的对称点，连接，
过作交的延长线于点，
由轴对称的性质可得，，
∴，
在与中，
，，
，
又∵，
，
，即，
为等腰直角三角形，
，
∵，，
∴．

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