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2024—2025学年高一年级下学期期末考试数学试题
本试卷共4页19题，全卷满分150分，考试时间120分钟．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（ ）
A． B． C． D．
2．若复数z满足，其中是虚数单位，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．
3．在中，D是AB边上点满足，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，，若，则（ ）
A．1， B．，3 C．1 D．
5．正方体中，则与底面ABCD所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知l为空间的一条直线，，为空间的两个不同平面，则下列命题错误的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，，，则
7．若，是夹角为的单位向量，则与夹角是（ ）
A． B． C． D．
8．已知棱长为2的正四面体，E、F分别BD和BC的中点，M是线段AE上的动点，N为平面ADF上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称
B．函数的图象关于点对称
C．函数在上单调递减
D．当时，
10．在平面直角坐标系中，若对于曲线上的任意点P，都存在曲线上的点Q，使得成立，则称函数具备“性质”．则下列函数具备“性质”的是（ ）
A． B． C． D．
11．如图1在中，，，．D，E分别在AB，AC上且．将沿DE翻折得到图2且，记三棱锥外接球球心为，球表面积为，三棱锥外接球球心为，球表面积为，则在图2中，下列说法正确的有（ ）
A．
B．直线AB与DE所成角的正弦值为
C．平面BCDE
D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．长方体的长宽高分别为，2，，则该长方体外接球的体积为______．
13．已知，，则______．
14．函数，若在有两个零点，，则______．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
复数z满足
（1）若复数z为实数，求m的值；
（2）若复数z为纯虚数，求m的值；
（3）设复数，若，求的取值范围．
16．（15分）
如图，在平面直角坐标系中中，向量，，．
（1）求点B、C的坐标；
（2）求三角形ABC的周长；
（3）求向量在向量上的投影的坐标．
17．（15分）
已知函数
（1）求函数的单调递减区间；
（2）函数在上的值域；
（3）求在的解集．
18．（17分）
如图，在三棱柱中，各个侧面均是边长为2的正方形，D为线段AC的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求证：直线平面；
（3）求二面角大小的余弦值．
19．（17分）
已知函数的最小正周期为．
（1）求的解析式；
（2）在中，O为的外心，角A所对边的长为a．
（ⅰ）若，，点P在BC上，且（），求的取值范围；
（ⅱ）若的外接圆半径为1，且，求面积的最大值．

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