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第三章圆锥曲线的方程检测卷-高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册
一、选择题
1．若双曲线C的虚轴长为实轴长的倍，则C的离心率为（　　）
A． B．2 C． D．
2．设抛物线的焦点为F，点A在C上，过A作C的准线的垂线，垂足为B，若，则|AF|= （　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．已知椭圆与双曲线有相等的焦距，离心率分别为，它们的四个公共点刚好是正方形的四个顶点，则的最小值为（　　）
A．1 B． C． D．
4．已知是双曲线的左、右焦点，过的直线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若，且双曲线的离心率为，则（　　）
A． B． C． D．
5．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， 为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点， ， 分别为 的内心和重心，当 轴时，椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
6．已知点是椭圆上的动点，、为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若是的角平分线上的一点，且，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．设椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，的平分线与轴交于点，则（　　）
A． B． C． D．
8．已知抛物线（），O为原点，过抛物线C的焦点F作斜率为的直线与抛物线交于点A，B，直线AO，BO分别交抛物线的准线于点C，D，则为（　　）
A．2 B． C． D．
二、多项选择题
9．设抛物线的焦点为F，过F的直线交C于A，B，过F且垂直于AB的直线交准线于E，过点A作准线l的垂线，垂足为D，则（　　）
A． B．
C． D．
10．双曲线的左、右焦点分别是F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且则（　　）
A．
B．
C．C的离心率为
D．当时，四边形NA1MA2的面积为8
11．我们把平面内到两个定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．在平面直角坐标系中，设定点为，，动点满足，化简可得卡西尼卵形线，则（　　）
A．曲线C既是中心对称图形也是轴对称图形
B．曲线C关于直线对称
C．曲线C都在圆内
D．曲线C与椭圆没有公共点
三、填空题
12． 已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则p=　 　.
13．已知双曲线，斜率为的直线与曲线的两条渐近线分别交于两点，点的坐标为，直线分别与渐近线交于，若直线的斜率也为，则双曲线的离心率为　 　.
14．如图，、是椭圆：与双曲线：的公共焦点，A、B分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是　 　.
四、解答题
15．已知椭圆的左焦点为， 右顶点为为上一点，且直线的斜率△PFA的面积为， 离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点P的直线与椭圆有唯一交点（异于点A）， 求证：平分.
16．在平面直角坐标系中，，，若点P是平面上一动点，且的周长为，设动点P的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）若直线与曲线C交于A，B两点，且，，求k的值.
17．已知是抛物线的焦点，在点处的切线交轴于点，过点的直线与交于两点.
（1）求的方程；
（2）比较与的大小，并说明理由；
（3）过点的直线与交于两点，，线段的延长线分别交于点，，试判断直线是否过定点，如果是，请求出该定点的坐标，如果不是，请说明理由.
18．已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为.过点的直线分别交的左、右两支于，两点，且.
（1）求的值；
（2）求的取值范围；
（3）若，证明：.
19．已知动圆与动圆，满足，记与公共点的轨迹为曲线T，曲线T与x轴的交点记为A，点A在点B的左侧
（1）求曲线T的方程；
（2）若直线l与圆相切，且与曲线T交于，两点点在y轴左侧，点在y轴右侧
（ⅰ）若直线l与直线和分别交于，两点，证明：；
（ⅱ）记直线，的斜率分别为，，证明：是定值.
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】C
3．【答案】A
4．【答案】B
5．【答案】A
6．【答案】A
7．【答案】D
8．【答案】A
9．【答案】A,C,D
10．【答案】A,C,D
11．【答案】A,C,D
12．【答案】6
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（1）解：易知，，离心率为，则，即，
设，因为直线的斜率为，所以，
所以，所以，即，
又因为，所以，解得，即，，
则椭圆方程为；
（2）解：由（1）可得，，，
易知直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立，消元整理可得，
因为过点的直线与椭圆有唯一交点，所以，
所以，解得，则直线的方程为，
联立，解得，
则，，，，
由余弦定理得，
则平分.
16．【答案】（1）
（2）
17．【答案】（1）解：由题意可知点在上，
所以，即，解得，
所以的方程为.

（2）解：抛物线方程可化为，所以，
因为，
所以C在点的切线方程为，即，
令，可得，所以.
所以，所以.
由题意可知直线BD的斜率必存在，设直线的方程为，
联立，消y整理可得
所以，解得
所以.
因为，
所以，
所以.

（3）解：易知，
由题意知直线的斜率必存在，所以设直线，
联立，消去整理得，
所以.
所以直线的方程为，
将代入，得，
所以，所以，所以，
同理可得.
所以直线的斜率，
由直线的点斜式方程可得直线，
将代入，
得，
所以直线过定点.
18．【答案】（1）解：设直线与轴所成锐角为，
则，同理得出，，
因为，即，即，
因为，同号且，得，
所以，则；
（2）解：设直线为，联立，消元整理可得，
则，，；
因为直线交的左、右两支于、两点，所以，则，
由（1）知，即，
化简得，
因为，所以，
即，则；
（3）解：当时，则，，由（2）得，
设、的中点为，则，，
因为，所以，又因为，所以，由三线合一知，.
19．【答案】（1）解：设圆，的交点为M，则，，
因为，所以，
故点M的轨迹曲线是以，为焦点的双曲线，
所以，，即，，
故曲线T的方程为
（2）证明：（ⅰ）要证，
只需证线段的中点与线段的中点重合，
设，，其中，
由已知条件可得直线l的斜率存在，设直线l的方程为
因为直线l与圆相切，
所以，则
联立，
消去y并整理得，
所以，
则线段的中点横坐标为
因为直线与直线和交点的横坐标
分别为和，
则线段中点的横坐标为，
所以
（ⅱ）由已知条件，，则，
所以，
由题意知，，
所以
，
则为定值
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