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第一章空间向量与立体几何检测卷-高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册
一、选择题
1．已知空间四边形中，连结，设分别是的中点，则等于（　　）
A． B． C． D．
2．若空间中四个不同的平面，满足，则下面结论一定正确的是（　　）
A． B．
C．既不垂直也不平行 D．的位置关系不确定
3．在正方体 中， 是底面 的中心， 是棱 上的点，且 ，记直线 与直线 所成角为 ，直线 与平面 所成角为 ，二面角 的平面角为 ，则（　　）
A． B． C． D．
4．在平行四边形中，，，，是的中点，沿将翻折至的位置，使得平面平面，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为上一点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
6．已知是空间的一个基底，则下列说法错误的是（　　）
A．若，则
B．两两共面，但不共面
C．一定存在x，y，使得
D．一定能构成空间的一个基底
7．在长方体 中， ， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在直三棱柱中，，，，点为棱的中点，点是棱上的一点，且，则直线与所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．平行六面体的各棱长为1，且、、、分别为、、、中点．若、、两两垂直，则（　　）
A． B．
C． D．四面体的体积为
10．如图，已知四面体，点分别是的中点，下列等式正确的是（　　）
A． B．
C． D．
11．下列四个结论正确的是（　　）
A．任意向量，若，则或或
B．若空间中点满足，则三点共线
C．空间中任意向量都满足
D．已知向量，若，则为钝角
三、填空题
12．在棱长为2的正方体中，那么点到平面的距离为　 　.
13．已知直线的方向向量与直线的方向向量，则和夹角的余弦值为　 　.
14．在空间四边形中，为中点，为的中点，若，则使、、三点共线的的值是　 　.
四、解答题
15．如下图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，为的中点.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若四边形是正方形，且，求直线与平面所成角的正弦值.
16．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝a，E是PC的中点，过E作EF⊥PB，交PB于点F．
（1）证明：PB⊥平面EFD；
（2）若平面PBC与平面PBD的夹角的大小为，求AD的长度.
17．如图，在直平行六面体中，点在棱上．
（1）若平面，证明：；
（2）若，直线与平面所成的角为，平面与平面所成角的正弦值为，求．
18．如图1，五边形中，．将三角形沿翻折，使得平面平面，如图2．
（1）求证：平面；
（2）记直线与平面所成角为．若，求的长．
19．如图，在直三棱柱中，是的中点，.
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的余弦值.
答案解析部分
1．【答案】B
2．【答案】D
3．【答案】C
4．【答案】A
5．【答案】B
6．【答案】C
7．【答案】C
8．【答案】D
9．【答案】A,C
10．【答案】A,C
11．【答案】A,B
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】解：（I）连结，设与相交于点，连接，则为中点，如图所示：
为的中点，∴
∴.
（Ⅱ），∴
又，∴
又∴
设的中点为，的中点为，以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系如图所示：
则.
∴，
平面的一个法向量，
.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
16．【答案】（1）证明：∵PD⊥底面ABCD，且底面ABCD是矩形，
∴，，
又因为，
∴平面PDC，
∵平面PDC，
∴，
又∵，E是PC的中点，
∴，
∵，
∴DE⊥平面PBC，
∴，
又因为，，
∴PB⊥平面EFD.
（2）解：如图，由题意知DA、DC、DP两两互相垂直，以D为坐标原点，DA、DC、DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设
则，，，，，
∴，，
由(1)知，DE⊥平面PBC，故是平面PBC的一个法向量，
且．
设平面PBD的法向量为，
由得
则
取，得，
∴，解得，
则．
17．【答案】（1）证明：连接交于点，连接，
因为平面平面，平面平面，
所以，
又因为为直平行六面体，
所以为平行四边形，可得为的中点，
所以为的中点，
则.
（2）解：因为，
所以平行四边形为菱形，
所以，
由直平行六面体，
可得平面，
所以，
又因为，
所以平面，
所以为直线与平面所成的角，
故，
因为，
可得为等边三角形，
设，则，
所以，
在中，
由勾股定理可得，
所以，
取的中点，连接，则，
以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，
可得，
令，则，
又因为是平面的一个法向量，
又因为平面与平面所成角的正弦值为，
所以平面与平面所成角的余弦值为，
则，解得，
所以．
18．【答案】（1）证明：因为平面平面，平面，
平面平面，，
所以平面，
又因为平面，
所以，
又因为，平面，
所以平面.
（2）解：如图，过点作于点，
则，
在中，，
所以，
得，
过点作轴平面，建立如图空间直角坐标系，
设，
则，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，
所以，
所以
解得，
则.
19．【答案】（1）证明：易知平面，因为平面，所以，
又因为是底边的中点，且，所以，
又因为平面，平面，且，所以平面；
（2）解：由直三棱柱，可得平面，
平面，平面，所以，
以为原点，以所在直线分别为轴，轴和轴建立空间直角坐标系，如图所示：
由（1）可知，所以，
则，，，
设平面的法向量为，则，
令，可得，即，
因为，且，平面，
所以平面，可得平面的法向量为，
设二面角为，由图知为锐角，则，
则二面角的余弦值为.
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