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2024-2025学年吉林省松原市前郭县四校八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.与结果不相同的是( )
A. B. C. D.
2.近年来，我国棉花产量规模保持相对稳定的发展态势，如表是年我国棉花产量的统计结果：
年份年 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022
产量万吨 598
则年我国棉花产量的中位数为( )
A. 万吨 B. 万吨 C. 万吨 D. 万吨
3.对于正比例函数，下列说法正确的是( )
A. 函数的图象从左到右呈上升趋势
B. 函数的图象经过第一、三象限
C. 函数的图象与y轴正半轴的夹角为
D. 图象向上平移2个单位后的表达式为
4.如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为27和12的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为( )
A.
B. 6
C.
D. 4
5.下列四个三角形都在正方形网格中，且三角形的顶点都在格点上，其中是直角三角形的是( )
A. B.
C. D.
6.如图，某校准备在一个矩形场地ABCD中修建两条甬道，一条是矩形甬道EFGH，一条是平行四边形甬道MNQP，其余部分为草坪，若，，，则草坪面积是( )
A.
B.
C.
D.
7.某中学举行“青春风采杯”校园学科节活动，星期一至星期五都安排了丰富多彩的学科活动，学校教务处还招聘了部分同学担任学科节的志愿者，如图是每天安排的学生志愿者人数，但统计数据后，教务处发现星期三实际上有21位志愿者，那么下面关于平均数与中位数变化情况的叙述中，正确的是( )
A. 平均数增加了1，中位数未变 B. 平均数增加了1，中位数增加了1
C. 平均数增加了1，中位数增加了5 D. 平均数增加了5，中位数增加了1
8.如图，直线分别交坐标轴于点C、D，x轴上一点A关于直线CD的对称点坐标为，则k的值为( )
A. B. C. D.
9.如图，在平面直角坐标系中放置一菱形OABC，已知，点B在y轴上，，将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转，连续翻转2024次，点B的落点依次为点，，，…，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
10.如图①，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.连接四条线段得到如图②的新的图案，如果图①中的直角三角形的长直角边为10，短直角边为6，则图中的阴影部分的周长为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.边长为a，b的长方形如图所示，若它的周长为，面积为，则的值为______.
12.如图，四边形ABCD中，，，，则BD的长为______
13.某芭蕾舞团新进一批女演员，她们的身高及其对应人数情况如表所示，那么，这批女演员身高的方差为______
身高 163 164 165 166 168
人数 1 2 3 1 1
14.如图所示，正方形ABCD和正方形OEFG的边长均为5，O为正方形ABCD的中心，则图中重叠部分的面积是______.
15.如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，C在y轴的正半轴上，D在直线AB上，且，若点P为线段AB上的一个动点，且P关于x轴的对称点Q总在内不包括边界，则点P的横坐标m的取值范围为______.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题8分
计算：
；
17.本小题8分
阅读下列内容，设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三边长间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．
例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，由于，故由上面③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题
若一个三角形的三条边长分别是6，7，8，则该三角形是______三角形．
若一个三角形的三条边长分别是5，12，x，且这个三角形是直角三角形，则x的值为______.
若一个三角形的三条边长分别是，2mn，，请判断这个三角形的形状，并写出你的判断过程．
18.本小题8分
某校为了解学生的身体素质情况，对全校学生进行体能测试，现从七、八两个年级各随机抽取10名学生的成绩进行调查分析，过程如下：
收集数据
七年级：90，85，80，95，80，90，80，85，95，
八年级：90，85，90，80，95，100，90，85，95，
整理数据
分数 80 85 90 95 100
七年级人数 3 2 2 2 1
八年级人数 1 2 3 2 a
分析数据
平均数 中位数 众数 方差
七年级. 88 c d e
八年级： b 90 90 39
根据以上信息回答问题：
直接写出表格中的值：______，______，______，______，______.
该校七、八年级各有学生800人，本次竞赛成绩不低于90分的为优秀，估计这两个年级共有多少名学生达到“优秀”.
19.本小题9分
【阅读理解】在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点移动到点称为一次甲方式；从点移动到点称为一次乙方式.例点P从原点O出发连续移动2次：都按甲方式，最终移动到点；若都按乙方式，最终移动到点；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点
【应用】点A从原点O出发连续移动m次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点其中，按甲方式移动了n次.
当时，若点B恰好落在直线上，求n的值；
无论n怎样变化，点B都在自变量x的系数为定值的直线l上，，，
①若点P、点Q位于直线l的两侧，求m的取值范围；
②若点Q关于直线l的对称点落在y轴上，直接写出m的值.
20.本小题9分
数学活动课上，数学兴趣小组的几名同学探究用n个面积为的小正方形纸片剪拼成一个面积为的大正方形.下面是他们探究的部分结果：
如图1，当时，拼成的大正方形ABCD的边长为______；
如图2，当时，拼成的大正方形的边长为______；
如图3，当时，拼成的大正方形的边长为______；
小李想沿着正方形纸片边的方向裁出一块面积为的矩形纸片，使它的长、宽之比为2：1，他能裁出吗？请说明理由；
小周想沿着正方形纸片边的方向裁出一块面积为的矩形纸片，使它的长、宽之比为3：2，且要求矩形的四周至少留出的边框，他能裁出吗？若能，请给出一种合适的裁剪方案；若不能，请说明理由.
21.本小题9分
如图，在正方形ABCD中，E是线段AB上的动点，连接DE，过点D作点F在直线DE的下方，且，连接
【动手操作】
在图中画出线段DF，EF，则与的数量关系是______；
【问题解决】
利用题画出的图形，证明B，C，F三点在一条直线上；
【问题探究】
取EF的中点P，连接CP，求的值.
22.本小题12分
如图1，在等腰三角形ABC中，，BD是边AC上的高线，，点P是射线DA上的一点，作于点E，连接
求______，______.
①当点P在线段AD上时，若是以CD为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的DP的长度.
②如图2，设PE交直线AB于点F，连接DF，BP，若：：5，则BP长为______直接写出结果
23.本小题12分
【新考法】定义：关于x，y的方程称为”双绝对值方程”；所有满足“双绝对值方程”的坐标的点组成的图形称为“双绝对值图形”，如图是“双绝对值方程”所对应的“双绝对值图形”.
求：画出“双绝对值方程”所对应的“双绝对值图形”；提示：根据x和y的正负分类讨论去绝对值得到函数解析式
点，，，组成平行四边形，写出对角线BD所在直线的函数解析式，并写出“双绝对值图形” ABCD所对应的“双绝对值方程”：提示，待定系数法求直线BD解析式，再分别把平行四边形四条边的关系式表达出来
类似地，对于方程我们可以定义“三绝对值方程”，请画出其对应的“三绝对值图形”.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：，
，
，
，
，
所以与结果不相同的是
故选：
先化简，然后分别利用二次根式的加减运算和二次根式的乘法和除法法则计算4个选项中的二次根式，从而可对各选项进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：年我国棉花产量按从少到多的顺序排列为：、、、、、、598、，
所以这组数据的中位数是
故选：
根据中位数的定义进行判断．
本题考查了中位数的计算，掌握中位数的定义是关键．
3.【答案】D
【解析】解：正比例函数中，
图象经过二、四象限，y随着x的增大而减小，函数的图象从左到右呈下降趋势，故A、B错误；
函数的图象图象与y轴正半轴的夹角为，
函数的图象与y轴正半轴的夹角不是，故C错误；
函数图象向上平移2个单位后得，故D正确．
故选：
根据一次函数的性质以及平移的规律对四个选项逐个进行判断即可得出结论．
本题考查了一元函数的图象与几何变换，正比例函数的图象和性质，熟练掌握正比例函数的性质以及平移的规律是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：由题意可得两正方形的边长分别为：，，
故图中空白部分的面积为：
故选：
直接根据题意表示出正方形的边长，进而得出答案．
本题主要考查了二次根式的应用，正确表示出正方形边长是解题关键．
5.【答案】D
【解析】解：设每个小正方形的边长为1，
A、三边长为：，，3，
，
不是直角三角形，此选项不符合题意；
B、三边长为：，，，
，
不是直角三角形，此选项不符合题意；
C、三边长为：，，，
，
不是直角三角形，此选项不符合题意；
D、三边长为：，，，
，
是直角三角形，此选项符合题意，
故选：
设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理逆定理判断直角三角形即可．
本题考查勾股定理的逆定理以及勾股定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：如图：，
，
故选：
先说明，再观察得到，然后代入相关数据计算即可．
本题主要考查了整式的加减、求阴影部分的面积等知识点，明确各部分图形的面积关系成为解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：当星期三志愿者为16时，这五天志愿者人数从小到大排列分别为16、16、20、22、26，平均数为，中位数为20；
当星期三志愿者为21人时，这五天志愿者人数从小到大排列分别为16、20、21、22、26，平均数为，中位数为21；
此时平均数增加了1，中位数增加了
故选：
分别求出平均数、中位数进行判断即可．
本题考查了算术平均数、中位数，掌握平均数、中位数的定义是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：连接，交CD于点P，连接AD、、，
直线分别交坐标轴于点C、D，
，
点坐标为，
，
，，，
由题意可知，，，CD垂直平分，
，
在和中，
≌，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
直线分别交坐标轴于点C、D，
，
解得
故选：
连接，交CD于点P，连接AD、、，与、D的坐标可知，即可得到，，，与对称的性质得到，，CD垂直平分，证得≌，即可证得四边形是菱形，得到，利用勾股定理求得OA，即可求得点C的坐标，利用待定系数法即可求得k的值．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化-对称，菱形的判定和性质，勾股定理的应用，待定系数法求一次函数的解析式，求得点C的坐标是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：如图，连接AC，
四边形COAB是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
画出第5次，第6次，第7次翻折后的图形，如图所示，
由图可知，每翻转6次，图形向右平移4个单位，
，
点向右平移个单位到点，落在x轴上，
的坐标为，
故选：
连接AC，再根据菱形和等边三角形的性质得出AC的长，画出第5次，第6次，第7次翻折后的图形，由图可发现规律，每翻转6次，图形向右平移4个单位，可得即点向右平移1350个单位到点，落在x轴上，即可求解．
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，规律探索，能够根据图象得出规律是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：如图②，
直角三角形的长直角边为10，短直角边为6，
，，
，
，
图中的阴影部分的周长为，
故选：
求出，根据勾股定理求出AD，再根据图中的阴影部分的周长为，即可得解．
本题考查勾股定理的知识，解题的关键是根据线段之间的关系．
11.【答案】
【解析】解：边长为a，b的长方形周长为，面积为，
，，
故答案为：
根据长方形的面积和周长得出，，再利用因式分解将原式化为，再代入计算即可．
此题考查了因式分解-提公因式法，二次根式的应用，解题的关键是正确将因式分解．
12.【答案】
【解析】解：如图所示，取AB的中点E，连接CE，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
故答案为：
取AB的中点E，连接CE，证明是等边三角形，得到，，进而利用三角形外角的性质得到，则，由勾股定理得到；再证明是等边三角形，得到，，则，即可得到
本题主要考查了等边三角形的性质与判定，勾股定理，等边对等角，三角形外角的性质，关键是等边三角形性质定理的应用．
13.【答案】2
【解析】解：这组数据的平均数为，
则方差为，
故答案为：
根据方差的定义列式计算即可．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义．
14.【答案】
【解析】解：如图，连接OB、OC，
为正方形ABCD的中心，
，，
，
，
，
在与中，，
≌，
，
重叠部分的面积的面积，
，
重叠部分的面积是
故答案为：
如图，连接OB、OC，根据正方形的对角线相等且互相平分可得，再根据两角的和等于可以证明，又，证明与全等，从而得到重叠部分的面积等于的面积，即正方形的面积的
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，通过全等三角形得到重叠部分的面积是正方形的面积的是求解的关键．
15.【答案】
【解析】解：在中，当时，，当时，，
，，
在y轴的正半轴上，，
，
点D在线段OC的垂直平分线上，即在直线上，
在中，当时，，
；
设直线CD解析式为，
，
，
直线CD解析式为
同理可得直线OD的解析式为，
点P为线段AB上的一个动点，且其横坐标为m，
，
、Q关于x轴对称，
，
点Q总在内不包括边界，
解得
故答案为：
先求出、，进而求出，再由可知点D在线段OC的垂直平分线上，即在直线上，则，利用待定系数法求出直线CD和直线OD的解析式，根据关于x轴对称的点横坐标相同及坐标互为相反数求出点Q的坐标，再根据点Q在内，则当时，点Q的纵坐标在直线CD和直线OD二者的函数值之间，由此建立不等式求解即可．
本题主要考查了一次函数与几何综合，坐标与图形变化一轴对称，正确理解题意得到点Q在内，则当时，点Q的纵坐标在直线CD和直线OD二者的函数值之间是解题的关键．
16.【答案】6；

【解析】
；
先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答；
先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17.【答案】锐角；
或；
一个三角形的三条边长分别是，2mn，，则这个三角形是直角三角形，
理由：
，
一个三角形的三条边长分别是，2mn，，则这个三角形是直角三角形．
【解析】解：，
该三角形是锐角三角形，
故答案为：锐角；
一个三角形的三条边长分别是5，12，x，且这个三角形是直角三角形，
或，
解得或，
故答案为：13或；
一个三角形的三条边长分别是，2mn，，则这个三角形是直角三角形，
理由：
，
一个三角形的三条边长分别是，2mn，，则这个三角形是直角三角形．
根据题意，可以计算出和的大小关系，从而可以判断三角形的形状；
根据题意，可知分两种情况，然后计算即可；
先判断，然后根据勾股定理的逆定理加以说明即可．
本题考查勾股定理的逆定理、直角三角形的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理和勾股定理的知识解答．
18.【答案】2；91；；80；46；

【解析】七年级成绩：80，80，80，85，85，90，90，95，95，100，中位数为：；众数，
平均数为：，
；
根据八年级成绩可知；；
故答案为：2；91；；80；46；
，
即估计这两个年级共有960名学生达到“优秀”．
将七年级成绩重新排列，利用中位数的概念求解可得c的值，利用众数的概念可直接得出d的值；求出方差e；根据八年级成绩求出a，b；
用总人数乘以样本中成绩不低于90分的学生人数所占比例即可．
本题考查统计表的意义和表示数据的特征，理解平均数、中位数、众数的意义是正确解答的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
19.【答案】解：已知，其中，按甲方式移动了n次，则按乙方式移动了次，
根据平移方式，点B的坐标为，
由题意得，
解得；
①设这条直线l的解析式为，点A按甲方式移动了n次，又点A从原点O出发连续移动m次，则点A按乙方式移动了次，
点A按甲方式移动了n次后得到的点的坐标为，点按乙方式移动了次，得到点B的坐标为，
由题意得，即，
无论n怎样变化，点B都在自变量x的系数为定值的直线l上，
，
解得，，
直线l的解析式为，
若点P、点Q位于直线l的两侧，
情况一：直线l恰好经过，代入得，即，
情况一：直线l恰好经过，代入得，即，
若点P、点Q位于直线l的两侧，m的取值范围是；
②点Q关于直线l的对称点落在y轴上，
记直线l与x轴、y轴的交点为D，C，
过点Q作轴于点P，连接，与直线l交于点E，如图，
根据题意得，，
，
，
根据轴对称的性质得，，
，且，
是等腰直角三角形，，
0，
，
是的中点，
且，
点P与点C重合，
，

【解析】根据平移方式，求得点B的坐标为，代入求解即可；
①根据平移方式，求得点B的坐标为，代入求得，令，求得直线l的解析式为，分别经过点P、点Q即可求得m的取值范围；
②画出图形根据等腰三角形的性质即可求解．
本题考查了平移的性质，求一次函数的解析式，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质是关键．
20.【答案】，，； 能，理由见解析； 不能，理由见解析．
【解析】当时，，则边长为，
当时，，则边长为，
当时，，则边长为，
故答案为：，，；
能，
理由：设矩形的边为2x dm，则宽为x dm，
，解得舍去负值，
，
能能裁出这样的矩形；
不能，
理由：设矩形的长为3m dm，则宽为2m dm，
，解得舍去负值，
，
要求矩形的四周至少留出的边框，
加边框后的长至少要，
，
不能裁出这样的矩形纸片．
根据正方形的面积公式，边长即为面积的算术平方根，根据n的不同值，面积即为n，则边长则为它们的算术平方根；
根据长宽之比设边长，根据面积求出未知数，则可求出边长再比较大小即可得出；
根据长宽之比设边长，根据面积求出未知数，则可求出边长再比较大小即可得出．
本题考查了平面几何正方形、算术平方根以及实数大小的比较．
21.【答案】图形见解答过程；，理由见解答过程；
答案见解答过程；

【解析】解：，理由如下：
根据题意画出图形如图1所示：

与的数量关系是：，理由如下：
四边形ABCD为正方形，
，
，
，
，
；
证明：连接CF，如图2所示：
四边形ABCD为正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，C，F三点在一条直线上；
解：连接PD，PB，过点P作于H，如图3所示：
，，
和均为直角三角形，
点P为EF的中点，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
为等腰直角三角形，
设，
由勾股定理得：，
，，
，
又点P为EF的中点，
为的中位线，
，
根据题意画出图形，根据得，根据得，由此可得与的数量关系；
连接CF，证明和全等得，进而得，由此即可得出结论；
连接PD，PB，过点P作于H，由直角三角形斜边上的中线性质得，，则，由此可依据“SSS”判定和全等，则，进而得为等腰直角三角形，设，则，证明PH为的中位线得，据此可得的值．
此题是四边形的综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
22.【答案】，；
①分两种情况：
Ⅰ当时，则，
，
，
，
，
，
Ⅱ当时，
在和中，
，
≌，
，
，
综上，或；
②或
【解析】解：，
又，
，
；
①分两种情况：
Ⅰ当时，则，
，
，
，
，
，
Ⅱ当时，
在和中，
，
≌，
，
，
综上，或；
②分两种情况：
Ⅰ当P在线段AD上，连接BP，
：：5，
：：5，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
，，
；
Ⅱ当P在射线DA上，连接BP，
同理可得，
，
，
综上，BP的长为或
本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三我的面积，余角的性质，对顶角性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，采用分类讨论的解题思想，是解题的关键．
本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三我的面积，余角的性质，对顶角性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，采用分类讨论的解题思想，是解题的关键．
23.【答案】见解答图形；
；
见解答图形．
【解析】由，
当，时，，即；
当，时，，即；
当，时，，即；
当，时，，即
“双绝对值方程”所对应的”双绝对值图形”如图所示：
设对角线BD所在直线的函数解析式为，
将点，代入，
得，
解得，
对角线BD所在直线的函数解析式为，
由点A，B的坐标可得直线AB的解析式为，即，
线段AB上的点的方程为，
同理可得线段BC上的点的方程为，
线段CD上的点的方程为，
线段AD上的点的方程为，
线段AB，AD在上方，而线段AB上的点在x轴上方，，，则，，
线段AD上的点在x轴下方，，，则，，
线段AB，AD上的点可用；
同理，线段CD，BC上的点可用，
综上可知，”双绝对值图形“ ABCD所对应的“双绝对值方程”为；
由方程得当，时，，即，
当，时，，即，
当，，且时，，即，
当，，且时，，即，
当，，且时，即，
当，，且时，，即，
方程对应的“三绝对值图形”如图所示．
根据x和y的正负分类讨论去绝对值得到函数解析式，再画出图形即可；
用待定系数法求函数的解析式，根据x和y的正负分类讨论去绝对值得到函数解析式，最后求解即可；
根据x和y的正负分类讨论去绝对值得到函数解析式，再画出图形即可．
本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，弄懂定义，根据绝对值的性质，分段求函数的解析式是解题的关键．

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