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　力的合成和分解
1．力的合成
(1)合力与分力
①定义：假设几个力共同作用的效果跟某个力单独作用的效果相同，这一个力就叫作那几个力的合力，那几个力叫作这一个力的分力。
②关系：合力与分力是等效替代关系。
(2)共点力
①特点：几个力都作用在物体的同一点，或者它们的作用线相交于一点。
②示例
(3)力的合成
①定义：求几个力的合力的过程。
②运算法则
a．平行四边形定则
求两个互成角度的分力的合力，如果以表示这两个力的有向线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就代表合力的大小和方向。如图甲所示，F1、 F2为分力，F为合力。
b．三角形定则
把两个矢量的首尾顺次连接起来，第一个矢量的起点到第二个矢量的终点的有向线段为合矢量。如图乙所示， F1、F2为分力，F为合力。
2．力的分解
(1)定义：求一个力的分力的过程。力的分解是力的合成的逆运算。
(2)遵循的原则
①平行四边形定则；②三角形定则。
(3)分解方法
①效果分解法：如图所示，物体重力G的两个作用效果，一是使物体沿斜面下滑，二是使物体压紧斜面，这两个分力与合力间遵循平行四边形定则，其大小分别为G1＝G_sin_θ，G2＝G_cos_θ。
②正交分解法：将已知力按互相垂直的两个方向进行分解的方法。
3．矢量和标量
(1)矢量：既有大小又有方向，相加时遵从平行四边形定则的物理量，如速度、力等。
(2)标量：只有大小没有方向，相加时遵从算术法则的物理量，如路程、速率等。
1．易错易混辨析
人教版必修第一册第72页情境：如图甲所示，两个小孩分别用力F1、F2共提着一桶水，水桶静止；如图乙所示，一个大人单独向上用力F提着同一桶水，让水桶保持静止。据此进行判断：
(1)F1和F2是共点力。 (√)
(2)F1和F2的共同作用效果与F的作用效果相同。 (√)
(3)水桶的重力就是F1、F2两个力的合力。 (×)
(4)图中两个力的合力一定比其分力大。 (×)
(5)在进行力的合成与分解时，要应用平行四边形定则或三角形定则。 (√)
2．(人教版必修第一册改编)作用在同一个物体上的两个共点力，一个力的大小是2 N，另一个力的大小是10 N，它们合力的大小不可能是(　　)
A．6 N B．8 N C．10 N D．12 N
A　[两力合成时，合力范围为|F1－F2|≤F≤F1＋F2，故8 N≤F≤12 N，故8 N、10 N、12 N是可能的合力，6 N 没在范围之内是不可能的合力，故选A。]
3．(人教版必修第一册改编)(多选)两个力F1和F2间的夹角为θ(θ≠180°)，其合力为F。下列说法正确的是(　　)
A．合力F总比分力F1和F2中的任何一个力都大
B．若F1和F2大小不变，θ越小，则合力F越大
C．若夹角θ不变，F1大小不变，F2增大，则合力F一定增大
D．合力F的作用效果与两个分力F1和F2共同产生的作用效果相同
BD　[由力的合成可知，两力合力的范围为|F1－F2|≤F合≤F1＋F2，所以合力可能大于任一分力，也可能小于任一分力，还可能与两分力相等，故A错误；若F1与F2大小不变，θ越小，则合力F越大，故B正确；如果θ不变，F1大小不变，F2增大，则合力F可能减小，也可能增大，故C错误；合力F的作用效果与两个分力F1和F2共同产生的作用效果相同，故D正确。]
力的合成
1．合力的大小范围
(1)两个共点力的合成：|F1－F2|≤F合≤F1＋F2，即两个力大小不变时，其合力随夹角的增大而减小，当两力反向时，合力最小；当两力同向时，合力最大。
(2)三个共点力的合成
①最大值：三个力共线且同向时，其合力最大，为F1＋F2＋F3。
②最小值：任取两个力，求出其合力的范围，如果第三个力在这个范围之内，则三个力的合力的最小值为零；如果第三个力不在这个范围内，则合力的最小值为最大的一个力减去另外两个较小的力的大小之和。
2．共点力合成的方法
(1)作图法：
(2)计算法(三种特殊情况的计算法应用)：
类型 作图 合力的计算
互相垂直 F＝ tan θ＝
两力等大，夹角为θ F＝2F1cos F与F1夹角为
两力等大，夹角为120° 合力与分力等大 F与F1夹角为60°
[典例1]　港珠澳大桥是目前全球最长的跨海大桥，风帆造型的九洲航道桥部分简图如图所示，这部分斜拉桥的一根塔柱两侧共有8对钢索，每对钢索等长。每一条钢索与塔柱成α角，底部穿过桥面固定在桥面下，若不计钢索的自重，且假设每条钢索承受的拉力大小均为F，下列说法正确的是(　　)
A．该塔柱所承受的8对钢索的合力大小为16F cos α
B．该塔柱所承受的8对钢索的合力大小为
C．若仅升高塔柱的高度，钢索承受的拉力变大
D．若仅升高塔柱的高度，钢索承受的拉力不变
思路点拨：解此题可按以下思路 ：
(1)把两根钢索的拉力看成沿钢索方向的两个分力，以它们为邻边画出一个平行四边形，其对角线就表示它们的合力。
(2)由对称性可知，合力方向一定沿塔柱竖直向下。
A　[每一条钢索与塔柱成α角，则塔柱两侧每一对钢索对塔柱拉力的合力都沿竖直方向向下，所以8对钢索对塔柱的合力大小等于16条钢索所受拉力沿竖直向下方向的分力的和，故F合＝16F cos α，故A正确，B错误；合力一定，分力间的夹角越小，则分力越小，若仅升高塔柱的高度，钢索与塔柱的夹角变小，钢索承受的拉力变小，故C、D错误。]
【典例1　教用·备选题】如图所示，悬挂甲物体的细线连接在一不可伸长的轻质细绳上O点处；绳的一端固定在墙上，另一端通过光滑定滑轮与物体乙相连。甲、乙两物体质量相等。系统平衡时，O点两侧绳与竖直方向的夹角分别为α和β。若α＝70°，则β等于(　　)
A．45° B．55°
C．60° D．70°
B　[取O点为研究对象，在三力的作用下处于平衡状态，对其受力分析如图所示，根据几何关系可得β＝55°。]
力的分解
1．力的分解常用的方法
分解方法 正交分解法 效果分解法
将一个力沿着两个互相垂直的方向进行分解 根据一个力产生的实际效果进行分解
实例分析 x轴方向上的分力Fx＝F cos θ y轴方向上的分力Fy＝F sin θ F1＝ F2＝G tan θ
2．力的分解方法的选取原则
(1)一般来说，当物体受到三个或三个以下的力时，常按实际效果进行分解。
(2)当物体受到三个以上的力时，常用正交分解法。
[典例2]　(一题多法)如图所示，墙上有两个钉子a和b，它们的连线与水平方向的夹角为45°，两者的高度差为l。一条不可伸长的轻质细绳一端固定于a点，另一端跨过光滑钉子b悬挂一质量为m1的重物。在绳上距a端的c点有一固定绳圈。若绳圈上悬挂质量为m2的钩码，平衡后绳的ac段正好水平，则重物和钩码的质量比 为(　　)
A． B．2 C． D．
思路点拨：解此题要抓住以下三点：
(1)绳子上的拉力一定沿绳。
(2)“光滑钉子b”，说明bc段绳子的拉力等于重物的重力m1g。
(3)依据“ac段正好水平”画出受力分析图。
C　[解法一：力的效果分解法
钩码的拉力F等于钩码重力m2g，将F沿ac和bc方向分解，两个分力分别为Fa、Fb，如图甲所示，其中Fb＝m1g，由几何关系可得cos θ＝＝，又由几何关系得cos θ＝，联立解得 ＝。
解法二：正交分解法
绳圈受到Fa、Fb、F三个力作用，如图乙所示，将Fb沿水平方向和竖直方向正交分解，由竖直方向受力平衡得m1g cos θ＝m2g，由几何关系得cos θ＝，联立解得 ＝。]
　力的正交分解的两点注意
(1)应用范围：力的正交分解是在物体受三个或三个以上的共点力作用下求合力的一种方法，分解的目的是将矢量运算转化为代数运算，更方便地求合力。
(2)建系要求：一般情况下，应用正交分解法建立坐标系时，应尽量使所求量(或未知量)“落”在坐标轴上，这样解方程较简单。
“死结”与“活结”、“动杆”与“定杆”模型
　“死结”与“活结”模型
模型 模型解读 模型示例
?死结?模型 “死结”可理解为把绳子分成两段，且不可以沿绳子移动的结点。“死结”两侧的绳因结而变成了两根独立的绳，因此由“死结”分开的两段绳子上的弹力不一定相等
?活结?模型 “活结”可理解为把绳子分成两段，且可以沿绳子移动的结点。“活结”分开的两段绳子上弹力的大小一定相等
[典例3]　(多选)(2025·广东汕尾检测)如图所示，重物A被绕过小滑轮P的细线所悬挂，物体B放在粗糙的水平桌面上；小滑轮P被一根斜拉短线系于天花板上的O点；O′是三根线的结点，bO′水平拉着物体B，cO′沿竖直方向拉着弹簧；弹簧、细线、小滑轮的重力和细线与滑轮间的摩擦力均可忽略，整个装置处于平衡静止状态，g取。若悬挂小滑轮的斜线OP的张力是20 N，则下列说法正确的是(　　)
A．弹簧的弹力为10 N
B．重物A的质量为2 kg
C．桌面对物体B的摩擦力为10 N
D．OP与竖直方向的夹角为60°
AB　[O′点是三根线的结点，属于“死结”，而小滑轮重力不计且与细线间的摩擦力可忽略，故P处为“活结”。由mAg＝FO′a，FOP＝2FO′a cos 30°可解得，FO′a＝20 N，mA＝2 kg，选项B正确；OP的方向沿绳子张角的角平分线方向，故OP与竖直方向间的夹角为30°，选项D错误；对O′受力分析，由平衡条件可得，F弹＝FO′a sin 30°，FO′b＝FO′a cos 30°，对物体B有，fB＝FO′b，联立解得F弹＝10 N，fB＝10 N，选项A正确，C错误。]
　“动杆”与“定杆”模型
1．动杆：若轻杆用光滑的转轴或铰链连接，当杆平衡时，杆所受到的弹力方向一定沿着杆，否则杆会转动。如图甲所示，若C为转轴，则轻杆在缓慢转动中，弹力方向始终沿杆的方向。
2．定杆：若轻杆被固定，不发生转动，则杆受到的弹力方向不一定沿杆的方向，如图乙所示。
[典例4]　(2025·广东清远检测)如图甲所示，轻绳AD跨过固定在水平横梁BC右端的定滑轮挂住一个质量为m1的物体，∠ACB＝30°；如图乙所示的轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向成30°角，轻杆的G点用细绳GF拉住一个质量为m2的物体，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)
A．图甲中BC对滑轮的作用力大小为
B．图乙中HG杆受到绳的作用力为m2g
C．细绳AC段的拉力FAC与细绳EG段的拉力FEG之比为1∶1
D．细绳AC段的拉力FAC与细绳EG段的拉力FEG之比为m1∶2m2
D　[题图甲中，两段绳的拉力大小都是m1g，互成120°角，因此合力大小是m1g，根据共点力平衡，BC杆对滑轮的作用力大小也是m1g(方向与竖直方向成60°角，斜向右上方)，故A错误；题图乙中，以G点为研究对象，分析受力情况如图所示，由平衡条件得，FHG tan 30°＝m2g，得FHG＝m2g，即HG杆受到绳的作用力为m2g，故B错误；题图甲中绳AC段的拉力FAC＝m1g，题图乙中由于FEG sin 30°＝m2g，得FEG＝2m2g，解得＝，故C错误，D正确。]
【典例4　教用·备选题】(2025·广东潮州模拟)如图所示，用AC、CD两根轻绳将物块悬于水平轻杆BC的下方，其中B为光滑转轴，C为结点，轻杆BC始终保持水平，物块静止不动。已知物块质量为m，重力加速度为g。设AC、CD绳的拉力分别为FAC、FCD。下列选项正确的是(　　)
A．FAC >mg
B．FCD >mg
C．若A点上移，则FAC变大
D．若A点下移，则FCD变大
A　[C点的受力分析如图所示，则有FACsin α＝FCD，FCD＝mg，则FAC＝＝，所以FAC>mg，故A正确，B、D错误；若A点上移，α变大，sin α变大，则FAC变小，故C错误。]
1．矫正牙齿时，可用牵引线对牙施加力的作用。若某颗牙齿受到牵引线的两个作用力大小均为F，夹角为α(如图)，则该牙所受两牵引力的合力大小为(　　)
A．2F sin B．2F cos
C．F sin α D．F cos α
B　[根据力的平行四边形定则可知，该牙所受两牵引力的合力大小为F合＝2F cos ，故选B。]
2．图甲所示是古代某次测量弓力时的情境，图乙为其简化图，弓弦挂在固定点O上，弓下端挂一重物，已知弓弦可看成遵循胡克定律的弹性绳，重物质量增减时弓弦始终处于弹性限度内，不计弓弦的质量和O点处的摩擦，忽略弓身的形变，则(　　)
A．若减小重物的质量，OA与OB的夹角不变
B．若增加重物的质量，OA与OB的夹角减小
C．若减小重物的质量，弓弦的长度不变
D．若增加重物的质量，弓弦的长度变短
B　[设弓弦的张力为F，两侧弓弦与竖直方向夹角为θ，根据平衡条件有2F cos θ＝mg，增加重物质量，θ减小，OA与OB的夹角减小，根据胡克定律可知，弓弦的长度变长。反之，减小重物质量，OA与OB的夹角增大，弓弦的长度变短，故选B。]
3．(2025·广东广州模拟)如图所示俯视图，当汽车陷入泥潭时，需要救援车辆将受困车辆拖拽驶离。救援人员发现在受困车辆的前方有一坚固的树桩可以利用，根据你所学过的知识判断，下列情况中，救援车辆用同样的力拖拽，受困车辆受到的拉力最大的方案为(　　)
A　　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　　　D
B　[A中，根据受力分析可知，救援车辆的拉力为受困车辆所受拖拽力的一半，即F困＝2F；B中，根据受力分析可知，救援车辆的拉力为缆绳两侧拖拽拉力的合力，因初始时刻两分力夹角接近180°，合力远小于两分力(小于所受拖拽力的一半)，可知F困＞2F；C中，缆绳与树桩构成定滑轮系统，仅改变力的方向，未改变力的大小，即F困＝F；D中，根据受力分析可知，救援车辆的拉力为受困车辆所受拖拽力的2倍，即F困＝F。综上所述，B中受困车辆受到的拉力最大。故选B。]
4．(2023·广东卷)如图所示，可视为质点的机器人通过磁铁吸附在船舷外壁面检测船体。壁面可视为斜面，与竖直方向夹角为θ。船和机器人保持静止时，机器人仅受重力G、支持力FN、摩擦力Ff和磁力F的作用，磁力垂直壁面。下列关系式正确的是(　　)
A．Ff＝G B．F＝FN
C．Ff＝G cos θ D．F＝G sin θ
C　[如图所示，将重力沿垂直于壁面方向和沿壁面方向分解，沿壁面方向由平衡条件得Ff＝G cos θ，故A错误，C正确；垂直壁面方向由平衡条件得F＝G sin θ＋FN，故B、D错误。故选C。]
5．(2025·广东汕头模拟)如图所示，光滑斜面的倾角为30°，轻绳通过两个滑轮与A相连，轻绳的另一端固定于天花板上，不计轻绳与滑轮的摩擦。物块A的质量为m，不计滑轮的质量，挂上物块B后，当动滑轮两边轻绳的夹角为90°时，A、B恰能保持静止，则物块B的质量为(　　)
A．m B．m C．m D．2m
A　[先以物块A为研究对象，由物块A的受力及平衡条件可得绳中张力T＝mg sin 30°。再以动滑轮为研究对象，分析其受力并由平衡条件有mBg＝T，解得mB＝m，A正确。]
课时分层作业(四)　力的合成和分解
1．(2021·广东卷)唐代《耒耜经》记载了曲辕犁相对直辕犁的优势之一是起土省力，设牛用大小相等的拉力F通过耕索分别拉两种犁，F与竖直方向的夹角分别为α和β，α<β，如图所示。忽略耕索质量，耕地过程中，下列说法正确的是(　　)
A．耕索对曲辕犁拉力的竖直分力比对直辕犁的大
B．耕索对曲辕犁拉力的水平分力比对直辕犁的大
C．曲辕犁匀速前进时，耕索对犁的拉力小于犁对耕索的拉力
D．直辕犁加速前进时，耕索对犁的拉力大于犁对耕索的拉力
A　[曲辕犁耕索的拉力在竖直方向上的分力为F cos α，直辕犁耕索的拉力在竖直方向上的分力为F cos β，由于α＜β，故F cos α>F cos β，A正确；曲辕犁耕索的拉力在水平方向上的分力为F sin α，直辕犁耕索的拉力在水平方向上的分力为F sin β，由于α<β，则F sin β＞F sin α，B错误；作用力与反作用大小相等，耕索对犁的拉力与犁对耕索的拉力是一对作用力与反作用力，故耕索对犁的拉力等于犁对耕索的拉力，C、D错误。]
2．(2022·广东卷)如图所示是可用来制作豆腐的石磨。木柄AB静止时，连接AB的轻绳处于绷紧状态。O点是三根轻绳的结点，F、F1和F2分别表示三根绳的拉力大小，F1＝F2且∠AOB＝60°。下列关系式正确的是(　　)
A．F＝F1 B．F＝2F1
C．F＝3F1 D．F＝F1
D　[以O点为研究对象，受力分析如图，
由几何关系可知θ＝30°，由平衡条件可得F1sin 30°＝F2sin 30°，F1cos 30°＋F2cos 30°＝F，联立可得F＝F1，故D正确，A、B、C错误。故选D。]
3．如图所示，一不可伸长轻绳两端各连接一质量为m的小球，初始时整个系统静置于光滑水平桌面上，两球间的距离等于绳长L。一大小为F的水平恒力作用在轻绳的中点，方向与两球连线垂直。当两球运动至二者相距L时，它们加速度的大小均为(　　)
A． B． C． D．
A　[当两球运动至二者相距L时，如图所示。由几何关系可知sin θ＝＝，设绳子拉力为T，水平方向有2T cos θ＝F，解得T＝F，对任意小球由牛顿第二定律可得T＝ma，解得a＝，故A正确，B、C、D错误。故选A。]
4．四个小朋友玩“东西南北跑比赛”，他们被围在一个弹力圈中，从中心向外沿各自的方向移动，去拿外围的游戏道具，谁先拿到谁就能赢得比赛。某时刻四个小朋友处于如图所示的僵持状态，则此时受到弹力圈的弹力最小的是(　　)
A．1号小朋友 B．2号小朋友
C．3号小朋友 D．4号小朋友
C　[弹力圈上的力可近似为大小处处相等，弹力圈对3号小朋友的张角最大，根据平行四边形定则可知合力最小，故选C。]
5．(多选)已知力F的一个分力F1跟F成30°角，大小未知，另一个分力F2的大小为F，方向未知，则F1的大小可能是(　　)
A． B．
C． D．F
AC　[如图所示，因F2＝F>F sin 30°，故F1的大小有两种可能情况，由ΔF＝＝F，即F1的大小分别为F cos 30°－ΔF和F cos 30°＋ΔF，即F1的大小分别为F和F，A、C正确。]
6．如图所示，水平面上固定两排平行的半圆柱体，重为G的光滑圆柱体静置其上，a、b为相切点，∠aOb＝90°，半径Ob与重力的夹角为37°。已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则圆柱体受到的支持力Fa、Fb大小为(　　)
A．Fa＝0.6G，Fb＝0.4G 　 B．Fa＝0.4G，Fb＝0.6G
C．Fa＝0.8G，Fb＝0.6G 　 D．Fa＝0.6G，Fb＝0.8G
D　[根据题意，对圆柱体进行受力分析，如图甲所示，把Fa、Fb、G三个力经过平移得到矢量三角形，如图乙所示，根据直角三角形知识可知Fa＝G sin 37°＝0.6G、Fb＝G cos 37°＝0.8G，D正确。
]
7．如图所示，质量为m的物体置于倾角为θ的固定斜面上，物体与斜面之间的动摩擦因数为μ，先用平行于斜面的推力F1作用于物体上使其能沿斜面匀速上滑(如图甲所示)，再改用水平推力F2作用于物体上，也能使物体沿斜面匀速上滑(如图乙所示)，则两次的推力之比 为(　　)
A．cos θ＋μsin θ B．cos θ－μsin θ
C．1＋μtan θ D．1－μtan θ
B　[物体在力F1作用下和力F2作用下匀速运动时的受力分别如图(a)、图(b)所示，将物体受力沿斜面方向和垂直于斜面方向正交分解，由平衡条件可得F1＝mg sin θ＋Ff1，FN1＝mg cos θ，F2cos θ＝mg sin θ＋Ff2，FN2＝mg cos θ＋F2sin θ，又Ff1＝μFN1，Ff2＝μFN2，解得F1＝mg sin θ＋μmg cos θ，F2＝，故＝cos θ－μsin θ，B正确。
]
8．如图所示为两种形式的吊车的示意图，OA为可绕O点转动的轻杆，质量不计，AB为缆绳，当它们吊起相同重物时，杆OA在图(a)、(b)中的受力分别为Fa、Fb，则下列关系正确的是(　　)
A．Fa＝Fb B．Fa>Fb
C．FaA　[对题图中的A点受力分析，则由图甲可得Fa＝Fa′＝2mg cos 30°＝mg，由图乙可得tan 30°＝，则Fb＝Fb′＝mg，故Fa＝Fb。
]
9．帆船是人类的伟大发明之一，船员可以通过调节帆面的朝向让帆船逆风行驶，如图所示为帆船逆风行驶时的简化示意图，此时风力F＝2 000 N，方向与帆面的夹角α＝30°，航向与帆面的夹角β＝37°，风力在垂直帆面方向的分力推动帆船逆风行驶。已知sin 37°＝0.6，则帆船在沿航向方向获得的动力大小为(　　)
A．200 N　 B．400 N
C．600 N　 D．800 N
C　[对风力F在沿着帆面和垂直于帆面方向进行分解，根据力的平行四边形定则可得其垂直于帆面的分力F1＝F sin α＝1 000 N，再对垂直作用于帆面上的风力F1沿帆船航向方向和垂直航向方向进行分解，则帆船在沿航向方向获得的动力大小为F2＝F1sin β＝600 N，故选C。]
10．如图所示，轻质网兜兜住重力为G的足球，用轻绳挂于光滑竖直墙壁上的A点，轻绳的拉力为FT，墙壁对足球的支持力为FN，则(　　)
A．FTC．FT>G D．FT＝G
C　[对网兜和足球受力分析，设轻绳与竖直墙面夹角为θ，由平衡条件FT＝＝，FN＝G tan θ，可知FT>G，FT>FN，故选C。]
11．如图所示，质量m＝1 kg的物块在与水平方向夹角为θ＝37°的推力F作用下静止于墙壁上，物块与墙之间的动摩擦因数μ＝0.5，推力F应满足什么条件？(最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
[解析]　当F较大时，物块会有向上滑动的趋势，静摩擦力方向向下，当物块恰不上滑时，力F有最大值(受力如图1所示)
所以FN＝Fmaxcos θ，Fmaxsin θ＝Ff＋mg
又因为Ff＝μFN，解得Fmax＝50 N
当力F较小时，物块有向下滑动的趋势，静摩擦力方向向上，所以当物块恰不下滑时，力F有最小值(受力如图2所示)，由平衡条件可得出F′N＝Fmincos θ，Fminsin θ＋F′f－mg＝0
又因为F′f＝μF′N
解得Fmin＝10 N
所以使物块静止于墙上的推力F的取值范围为
10 N≤F≤50 N。
[答案]　10 N≤F≤50 N
12．(2025·广东惠州联考)重力为G1＝8 N的物块悬挂在绳PA和PB的结点上，PA偏离竖直方向37°角，PB沿水平方向，且连在重力为G2＝100 N的木块上，木块静止于倾角为37°的斜面上，如图所示。试求：(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度g取10 m/s2)
(1)木块与斜面间的摩擦力大小；
(2)木块所受斜面的弹力大小。
[解析]　(1)(2)对结点受力分析如图甲所示
由平衡条件可得FA cos 37°＝G1
FA sin 37°＝FB
可解得FB＝6 N
对木块受力分析，如图乙所示
由平衡条件可得Ff＝G2sin 37°＋FB′cos 37°
FN＋FB′ sin 37°＝G2cos 37°
又FB′＝FB
联立解得Ff＝64.8 N，FN＝76.4 N。
[答案]　(1)64.8 N　(2)76.4 N
17 / 19课时分层作业(四)　力的合成和分解
说明：单选题每小题4分，多选题每小题6分；本试卷共64分
1．(2021·广东卷)唐代《耒耜经》记载了曲辕犁相对直辕犁的优势之一是起土省力，设牛用大小相等的拉力F通过耕索分别拉两种犁，F与竖直方向的夹角分别为α和β，α<β，如图所示。忽略耕索质量，耕地过程中，下列说法正确的是(　　)
A．耕索对曲辕犁拉力的竖直分力比对直辕犁的大
B．耕索对曲辕犁拉力的水平分力比对直辕犁的大
C．曲辕犁匀速前进时，耕索对犁的拉力小于犁对耕索的拉力
D．直辕犁加速前进时，耕索对犁的拉力大于犁对耕索的拉力
2．(2022·广东卷)如图所示是可用来制作豆腐的石磨。木柄AB静止时，连接AB的轻绳处于绷紧状态。O点是三根轻绳的结点，F、F1和F2分别表示三根绳的拉力大小，F1＝F2且∠AOB＝60°。下列关系式正确的是(　　)
A．F＝F1 B．F＝
C．F＝3F1 D．F＝
3．如图所示，一不可伸长轻绳两端各连接一质量为m的小球，初始时整个系统静置于光滑水平桌面上，两球间的距离等于绳长L。一大小为F的水平恒力作用在轻绳的中点，方向与两球连线垂直。当两球运动至二者相距L时，它们加速度的大小均为(　　)
A． B． C． D．
4．四个小朋友玩“东西南北跑比赛”，他们被围在一个弹力圈中，从中心向外沿各自的方向移动，去拿外围的游戏道具，谁先拿到谁就能赢得比赛。某时刻四个小朋友处于如图所示的僵持状态，则此时受到弹力圈的弹力最小的是(　　)
A．1号小朋友 B．2号小朋友
C．3号小朋友 D．4号小朋友
5．(多选)已知力F的一个分力F1跟F成30°角，大小未知，另一个分力F2的大小为F，方向未知，则F1的大小可能是(　　)
A． B． C． D．F
6．如图所示，水平面上固定两排平行的半圆柱体，重为G的光滑圆柱体静置其上，a、b为相切点，∠aOb＝90°，半径Ob与重力的夹角为37°。已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则圆柱体受到的支持力Fa、Fb大小为(　　)
A．Fa＝0.6G，Fb＝0.4G 　
B．Fa＝0.4G，Fb＝0.6G
C．Fa＝0.8G，Fb＝0.6G 　
D．Fa＝0.6G，Fb＝0.8G
7．如图所示，质量为m的物体置于倾角为θ的固定斜面上，物体与斜面之间的动摩擦因数为μ，先用平行于斜面的推力F1作用于物体上使其能沿斜面匀速上滑(如图甲所示)，再改用水平推力F2作用于物体上，也能使物体沿斜面匀速上滑(如图乙所示)，则两次的推力之比 为(　　)
A．cos θ＋μsin θ B．cos θ－μsin θ
C．1＋μtan θ D．1－μtan θ
8．如图所示为两种形式的吊车的示意图，OA为可绕O点转动的轻杆，质量不计，AB为缆绳，当它们吊起相同重物时，杆OA在图(a)、(b)中的受力分别为Fa、Fb，则下列关系正确的是(　　)
A．Fa＝Fb B．Fa>Fb
C．Fa9．帆船是人类的伟大发明之一，船员可以通过调节帆面的朝向让帆船逆风行驶，如图所示为帆船逆风行驶时的简化示意图，此时风力F＝2 000 N，方向与帆面的夹角α＝30°，航向与帆面的夹角β＝37°，风力在垂直帆面方向的分力推动帆船逆风行驶。已知sin 37°＝0.6，则帆船在沿航向方向获得的动力大小为(　　)
A．200 N　 B．400 N
C．600 N　 D．800 N
10．如图所示，轻质网兜兜住重力为G的足球，用轻绳挂于光滑竖直墙壁上的A点，轻绳的拉力为FT，墙壁对足球的支持力为FN，则(　　)
A．FTC．FT>G D．FT＝G
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
11．(9分)如图所示，质量m＝1 kg的物块在与水平方向夹角为θ＝37°的推力F作用下静止于墙壁上，物块与墙之间的动摩擦因数μ＝0.5，推力F应满足什么条件？(最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)
1 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ＋0.5
12．(13分)(2025·广东惠州联考)重力为G1＝8 N的物块悬挂在绳PA和PB的结点上，PA偏离竖直方向37°角，PB沿水平方向，且连在重力为G2＝100 N 的木块上，木块静止于倾角为37°的斜面上，如图所示。试求：(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度g取10 m/s2)
(1)木块与斜面间的摩擦力大小；
(2)木块所受斜面的弹力大小。
1 / 5　力的合成和分解
1．力的合成
(1)合力与分力
①定义：假设几个力共同作用的效果跟某个力单独作用的效果________，这一个力就叫作那几个力的________，那几个力叫作这一个力的________。
②关系：合力与分力是____________关系。
(2)共点力
①特点：几个力都作用在物体的同一点，或者它们的作用线相交于一点。
②示例
(3)力的合成
①定义：求几个力的________的过程。
②运算法则
a．平行四边形定则
求两个互成角度的分力的合力，如果以表示这两个力的____________为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就代表________的大小和方向。如图甲所示，F1、 F2为分力，F为合力。
b．三角形定则
把两个矢量的首尾顺次连接起来，第一个矢量的起点到第二个矢量的终点的____________为合矢量。如图乙所示， F1、F2为分力，F为合力。
2．力的分解
(1)定义：求一个力的________的过程。力的分解是力的合成的________。
(2)遵循的原则
①____________定则；②三角形定则。
(3)分解方法
①效果分解法：如图所示，物体重力G的两个作用效果，一是使物体沿斜面________，二是使物体________斜面，这两个分力与合力间遵循平行四边形定则，其大小分别为G1＝________，G2＝________。
②正交分解法：将已知力按互相________的两个方向进行分解的方法。
3．矢量和标量
(1)矢量：既有大小又有________，相加时遵从____________定则的物理量，如速度、力等。
(2)标量：只有大小没有________，相加时遵从________法则的物理量，如路程、速率等。
1．易错易混辨析
人教版必修第一册第72页情境：如图甲所示，两个小孩分别用力F1、F2共提着一桶水，水桶静止；如图乙所示，一个大人单独向上用力F提着同一桶水，让水桶保持静止。据此进行判断：
(1)F1和F2是共点力。 (　　)
(2)F1和F2的共同作用效果与F的作用效果相同。 (　　)
(3)水桶的重力就是F1、F2两个力的合力。 (　　)
(4)图中两个力的合力一定比其分力大。 (　　)
(5)在进行力的合成与分解时，要应用平行四边形定则或三角形定则。 (　　)
2．(人教版必修第一册改编)作用在同一个物体上的两个共点力，一个力的大小是2 N，另一个力的大小是10 N，它们合力的大小不可能是(　　)
A．6 N B．8 N
C．10 N D．12 N
3．(人教版必修第一册改编)(多选)两个力F1和F2间的夹角为θ(θ≠180°)，其合力为F。下列说法正确的是(　　)
A．合力F总比分力F1和F2中的任何一个力都大
B．若F1和F2大小不变，θ越小，则合力F越大
C．若夹角θ不变，F1大小不变，F2增大，则合力F一定增大
D．合力F的作用效果与两个分力F1和F2共同产生的作用效果相同
力的合成
1．合力的大小范围
(1)两个共点力的合成：|F1－F2|≤F合≤F1＋F2，即两个力大小不变时，其合力随夹角的增大而减小，当两力反向时，合力最小；当两力同向时，合力最大。
(2)三个共点力的合成
①最大值：三个力共线且同向时，其合力最大，为F1＋F2＋F3。
②最小值：任取两个力，求出其合力的范围，如果第三个力在这个范围之内，则三个力的合力的最小值为零；如果第三个力不在这个范围内，则合力的最小值为最大的一个力减去另外两个较小的力的大小之和。
2．共点力合成的方法
(1)作图法：
(2)计算法(三种特殊情况的计算法应用)：
类型 作图 合力的计算
互相垂直 F＝ tan θ＝
两力等大，夹角为θ F＝2F1cos F与F1夹角为
两力等大，夹角为120° 合力与分力等大 F与F1夹角为60°
[典例1]　港珠澳大桥是目前全球最长的跨海大桥，风帆造型的九洲航道桥部分简图如图所示，这部分斜拉桥的一根塔柱两侧共有8对钢索，每对钢索等长。每一条钢索与塔柱成α角，底部穿过桥面固定在桥面下，若不计钢索的自重，且假设每条钢索承受的拉力大小均为F，下列说法正确的是(　　)
A．该塔柱所承受的8对钢索的合力大小为16F cos α
B．该塔柱所承受的8对钢索的合力大小为
C．若仅升高塔柱的高度，钢索承受的拉力变大
D．若仅升高塔柱的高度，钢索承受的拉力不变
思路点拨：解此题可按以下思路 ：
(1)把两根钢索的拉力看成沿钢索方向的两个分力，以它们为邻边画出一个平行四边形，其对角线就表示它们的合力。
(2)由对称性可知，合力方向一定沿塔柱竖直向下。
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
力的分解
1．力的分解常用的方法
分解方法 正交分解法 效果分解法
将一个力沿着两个互相垂直的方向进行分解 根据一个力产生的实际效果进行分解
实例分析 x轴方向上的分力Fx＝F cos θ y轴方向上的分力Fy＝F sin θ F1＝ F2＝G tan θ
2．力的分解方法的选取原则
(1)一般来说，当物体受到三个或三个以下的力时，常按实际效果进行分解。
(2)当物体受到三个以上的力时，常用正交分解法。
[典例2]　(一题多法)如图所示，墙上有两个钉子a和b，它们的连线与水平方向的夹角为45°，两者的高度差为l。一条不可伸长的轻质细绳一端固定于a点，另一端跨过光滑钉子b悬挂一质量为m1的重物。在绳上距a端的c点有一固定绳圈。若绳圈上悬挂质量为m2的钩码，平衡后绳的ac段正好水平，则重物和钩码的质量比 为(　　)
A． B．2 C． D．
思路点拨：解此题要抓住以下三点：
(1)绳子上的拉力一定沿绳。
(2)“光滑钉子b”，说明bc段绳子的拉力等于重物的重力m1g。
(3)依据“ac段正好水平”画出受力分析图。
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　力的正交分解的两点注意
(1)应用范围：力的正交分解是在物体受三个或三个以上的共点力作用下求合力的一种方法，分解的目的是将矢量运算转化为代数运算，更方便地求合力。
(2)建系要求：一般情况下，应用正交分解法建立坐标系时，应尽量使所求量(或未知量)“落”在坐标轴上，这样解方程较简单。
“死结”与“活结”、“动杆”与“定杆”模型
　“死结”与“活结”模型
模型 模型解读 模型示例
?死结?模型 “死结”可理解为把绳子分成两段，且不可以沿绳子移动的结点。“死结”两侧的绳因结而变成了两根独立的绳，因此由“死结”分开的两段绳子上的弹力不一定相等
?活结?模型 “活结”可理解为把绳子分成两段，且可以沿绳子移动的结点。“活结”分开的两段绳子上弹力的大小一定相等
[典例3]　(多选)(2025·广东汕尾检测)如图所示，重物A被绕过小滑轮P的细线所悬挂，物体B放在粗糙的水平桌面上；小滑轮P被一根斜拉短线系于天花板上的O点；O′是三根线的结点，bO′水平拉着物体B，cO′沿竖直方向拉着弹簧；弹簧、细线、小滑轮的重力和细线与滑轮间的摩擦力均可忽略，整个装置处于平衡静止状态，g取。若悬挂小滑轮的斜线OP的张力是20 N，则下列说法正确的是(　　)
A．弹簧的弹力为10 N
B．重物A的质量为2 kg
C．桌面对物体B的摩擦力为10 N
D．OP与竖直方向的夹角为60°
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　“动杆”与“定杆”模型
1．动杆：若轻杆用光滑的转轴或铰链连接，当杆平衡时，杆所受到的弹力方向一定沿着杆，否则杆会转动。如图甲所示，若C为转轴，则轻杆在缓慢转动中，弹力方向始终沿杆的方向。
2．定杆：若轻杆被固定，不发生转动，则杆受到的弹力方向不一定沿杆的方向，如图乙所示。
[典例4]　(2025·广东清远检测)如图甲所示，轻绳AD跨过固定在水平横梁BC右端的定滑轮挂住一个质量为m1的物体，∠ACB＝30°；如图乙所示的轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向成30°角，轻杆的G点用细绳GF拉住一个质量为m2的物体，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)
A．图甲中BC对滑轮的作用力大小为
B．图乙中HG杆受到绳的作用力为m2g
C．细绳AC段的拉力FAC与细绳EG段的拉力FEG之比为1∶1
D．细绳AC段的拉力FAC与细绳EG段的拉力FEG之比为m1∶2m2
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．矫正牙齿时，可用牵引线对牙施加力的作用。若某颗牙齿受到牵引线的两个作用力大小均为F，夹角为α(如图)，则该牙所受两牵引力的合力大小为(　　)
A．2F sin B．2F cos
C．F sin α D．F cos α
2．图甲所示是古代某次测量弓力时的情境，图乙为其简化图，弓弦挂在固定点O上，弓下端挂一重物，已知弓弦可看成遵循胡克定律的弹性绳，重物质量增减时弓弦始终处于弹性限度内，不计弓弦的质量和O点处的摩擦，忽略弓身的形变，则(　　)
A．若减小重物的质量，OA与OB的夹角不变
B．若增加重物的质量，OA与OB的夹角减小
C．若减小重物的质量，弓弦的长度不变
D．若增加重物的质量，弓弦的长度变短
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3．(2025·广东广州模拟)如图所示俯视图，当汽车陷入泥潭时，需要救援车辆将受困车辆拖拽驶离。救援人员发现在受困车辆的前方有一坚固的树桩可以利用，根据你所学过的知识判断，下列情况中，救援车辆用同样的力拖拽，受困车辆受到的拉力最大的方案为(　　)
A　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　D
4．(2023·广东卷)如图所示，可视为质点的机器人通过磁铁吸附在船舷外壁面检测船体。壁面可视为斜面，与竖直方向夹角为θ。船和机器人保持静止时，机器人仅受重力G、支持力FN、摩擦力Ff和磁力F的作用，磁力垂直壁面。下列关系式正确的是(　　)
A．Ff＝G B．F＝FN
C．Ff＝G cos θ D．F＝G sin θ
5．(2025·广东汕头模拟)如图所示，光滑斜面的倾角为30°，轻绳通过两个滑轮与A相连，轻绳的另一端固定于天花板上，不计轻绳与滑轮的摩擦。物块A的质量为m，不计滑轮的质量，挂上物块B后，当动滑轮两边轻绳的夹角为90°时，A、B恰能保持静止，则物块B的质量为(　　)
A．m B．m C．m D．2m
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
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