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13.3三角形的内角与外角 同步练习
学校:___________姓名:___________班级:___________学号:___________
一、单选题
1．如图，是的一个外角，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．[2025山西太原师范学院附中·月考]在下列条件；①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
3．[2025四川南充·临考冲刺]如图，中，平分，．，．则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
4．[2025四川成都·期末]如图，直线a∥b，点C，D分别在直线b，a上，AC⊥BC，CD平分∠ACB，若∠1＝65°，则∠2的度数为（　　）
A．65° B．70° C．75° D．80°
5．[2024贵州毕节·期末]如图，的角平分线交于点O，若，．则（ ）
A． B． C． D．
6．[2025山西晋城·期末]如图，P，C分别为两条边上的点，，P为垂足，且．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．[2025江苏南京·月考]如图，已知，则等于（　　）
A． B． C． D．
8．[2025四川射洪中学·月考]如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF，以下结论：
①AD∥BC；②∠BDC＝∠BAC；③∠ADC＝90°－∠ABD； ④BD平分∠ADC;
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．[2024安徽宣城·期末]在中，，则
10．[2025山西晋城·期末]如图，在中，于点D，平分．若，，则的度数为 ．
11．[2025江苏南京·月考]如图，，垂足为E，，，则 ．
12．[2025江苏南京·期末]如图，四边形两组对边的延长线分别交于点E，F，，，若与互补，则的度数为 ．
13．[2025河南新乡·期末]如图，在中，，D是延长线上一点，是的平分线，分别作，的平分线，交于点E，F，则 °， °．
三、解答题
14．[2025重庆重庆市辅仁中学校·期中]如图，在中，，的外角的平分线交的延长线于点E．
（1）求的度数；
（2）过点D作，交的延长线于点F，求的度数．
15．[2025安徽合肥·期末]如图，直线，被所截，连接，交于点E，，，平分．
（1）若，求的度数；
（2）点F在上，连接．若，请说明：．
16．[八年级·单元测试]图1，线段相交于点O，连接，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点P，并且与分别相交于．试解答下列问题：
（1）在图1中，请直接写出与之间的数量关系为 ；
（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数： 个；
（3）图2中，和为任意角时，其他条件不变，试问与之间存在着怎样的数量关系？说明理由
（4）应用：如图2，当时，直接说出的度数．
17．[2025山西晋城·期末]综合与探究
提出问题：
小冉在学习中遇到这样一个问题：如图1，在中，的平分线与外角的平分线交于点．试猜想与之间的数量关系．
解决问题：
（1）小冉阅读后没有任何思路，同桌小卓提醒小冉，可以尝试先代入的特殊角度，然后根据结果猜想与之间的数量关系．
①若，则________；若，则________；
②通过上面的计算，请猜测与之间的数量关系，并说明理由；
应用拓展：
（2）如图2，将改成四边形，的平分线及一个外角的平分线相交于点F．若，求的度数；
深入探究：
（3）如图3，在中，的平分线与外角的平分线交于点．若E是延长线上一动点，连接，与的平分线交于点Q，在点E移动的过程中，请直接写出与之间的数量关系．
参考答案
1．【答案】C
【分析】
根据三角形的外角的性质即可得到结论．
【详解】
解：∵，的一个外角，
∴．
故选：C．
【点睛】
本题考查三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻两内角的和．熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．
2．【答案】C
【分析】利用三角形的内角和定理求出角的度数，即可分别进行判断．
【详解】解：①由得到，即，是直角三角形；
②由题可得，是直角三角形；
③由得到2，解得，，不是直角三角形；
④由得到，解得，，，是直角三角形；
⑤由得到，解得，不是直角三角形；
故选C．
3．【答案】D
【分析】先由平分，得，根据，则，再把数值代入，进行计算，即可作答．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
即，
解得，
故选D
4．【答案】B
【分析】根据角平分线定义求∠BCD＝∠ACB＝45°，根据三角形内角和定理得∠2＝∠3＝180°﹣∠1﹣∠BCD.
【详解】如图，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACB＝45°，
∵∠1＝65°，
∴∠2＝∠3＝180°﹣∠1﹣∠BCD＝70°，
故选B．
5．【答案】C
【分析】根据三角形内角和定理求出，再根据角平分的定义求出，则由三角形外角的性质可得．
【详解】解：∵，，
∴，
∵的角平分线交于点O，
∴，
∴，
故选C．
6．【答案】D
【分析】根据平行线得到，结合题意得出，再根据三角形的内角和定理计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选D．
7．【答案】C
【分析】连接．设与交于点，由三角形内角定理求出．再由三角形内角和定理和对顶角相等即可求出．
【详解】如图，连接．设与交于点，
，．
，，
，
故选C．
8．【答案】C
【分析】根据角平分线定义得出∠ABC=2∠ABD=2∠DBC，∠EAC=2∠EAD，∠ACF=2∠DCF，根据三角形的内角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，根据三角形外角性质得出∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠EAC=∠ABC+∠ACB，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．
【详解】解：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAC=2∠EAD，
∵∠EAC=∠ABC+∠ACB，∠ABC=∠ACB，
∴∠EAD=∠ABC，
∴AD∥BC，
∴①正确；
∵∠ACF=2∠DCF，∠ACF=∠BAC+∠ABC，∠ABC=2∠DBC，∠DCF=∠DBC+∠BDC，
∴∠BAC=2∠BDC，
∠BDC＝∠BAC,
∴②正确；
在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，
∵CD平分△ABC的外角∠ACF，
∴∠ACD=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，∠CAD=∠ACB
∴∠ACD=∠ADC，∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD，
∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°，
∴∠ADC+∠ABD=90°
∴∠ADC=90°-∠ABD，
故③正确；
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵∠ADB=∠DBC，∠ADC=90°-∠ABC，
∴∠ADB不等于∠CDB，
∴④不正确；
即正确的有3个，
故选C．
9．【答案】60
【分析】先求出，再根据三角形的内角和定理即可得．
【详解】解：∵，
∴，
∵在中，，
∴.
10．【答案】12
【分析】先求解，，，再进一步求解即可.
【详解】解：在中，，，
∴，
∵，
∴．
在中，，
∵平分，
∴，
∴．
11．【答案】22
【分析】首先根据三角形内角和定理求出，然后根据直角三角形两锐角互余求解即可．
【详解】解：∵，，
∴
∵
∴
∴．
12．【答案】/40度
【分析】连接，可得，再根据三角形外角性质得，则，然后根据三角形内角和定理有，即，再解方程即可．
【详解】解：连接，如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
13．【答案】；
【分析】先利用直角三角形两个锐角互余，得出，再根据角平分线的意义，得出，，结合平角的意义，可求得，再利用角平分线的意义和三角形外角的性质，可求得，从而可利用邻补角的意义求得，再利用直角三角形两个锐角互余，求得．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∵，的平分线，
∴，，
∴
，
∵是的平分线，
∴，
，
∵，
∴，解得：，
又，
，
，解得：.
14．【答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据三角形外角的性质求出的度数，然后根据角平分线定义求解即可；
（2）根据三角形外角的性质求出的度数，然后根据平行线的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
又平分，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
又，
∴．
15．【答案】（1）
（2）见详解
【分析】（1）先利用角平分线的意义求出，再利用三角形内角和求出，进而求出，然后利用三角形内角和求出；
（2）先求出，再利用三角形内角和求出即可．
【详解】（1）解：∵平分，，
∴，
，
，
，
，
，
∴；
（2），，
，
，
，
．
16．【答案】（1）
（2）6
（3），理由见详解；
（4）
【分析】（1）由三角形内角和定理可得，进而可求解；
（2）根据“8字形”的定义即可求解；
（3）由，，和平分和，可得，即可求解；
（4）由（3）中关系式即可求解；
【详解】（1）解：由三角形内角和定理可知，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）与与与与与与，共六个；
故答案为：6；
（3）∵，
∴，
∵，
∴，
∵和平分和，
∴、，
∴，
∴．
（4）∵，
由（3）知，
∴．
17．【答案】（1）①30，45；②，见详解；（2）；（3）
【分析】（1）①根据角平分线的定义得到，再由三角形外角的性质得到，，由此即可解答；②由①即可解答；
（2）根据角平分线的定义，根据三角形外角的性质得到，利用四边形内角和定理得到，则，由此即可求出；
（3）同理可得，，利用三角形内角和定理得到，再由三角形外角的性质得到，即可得到，由此即可得到结论．
【详解】解：（1）①∵平分平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
若，则；
若，则.
②由①得.
（2）的平分线及一个外角的平分线相交于点，
，．
，
．
，
．
，
．
．
；
（3），理由如下：
同（1）可得，
∵平分平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
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