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5 一元二次方程的根与系数的关系
一、单选题
1．（2024九上·滕州期中）若，是方程的两个根，则的值为（　　）
A． B． C． D．
2．（2024九上·河西期末）设，是方程的两个实数根，则的值为（　　）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
3．（2023八下·赤坎期末）一元二次方程的两个根分别为，则的值为（　　）
A． B．5 C． D．1
4．已知1是关于x的方程的一个根，则另一个根为 （　　）
A．3 B．2 C．-3 D．-2
5．已知方程x2-5x+2=0的两个解分别为x1、x2，则x1+x2-x1 x2的值为（　　）
A．-7　　 B．-3　 C．7　 D．3
6．（2022九上·汉阴月考）已知一元二次方程的两实数根分别为，，则的值为（　　）
A．－2 B．2 C． D．
7．（2020九上·麻城月考）已知a、b为一元二次方程 的两个根，那么 的值为（　　）
A．11 B．0 C．7 D．-7
8．（2022九上·鹤山期中）设一元二次方程的两根分别为、，则下列结论错误的是　　
A． B．
C． D．
9．（2018九上·阿荣旗月考）已知x1、x2是方程x2﹣5x﹣6＝0的两个根，则代数式x1+x2的值（　　）
A．5 B．﹣5 C．6 D．﹣6
10．（2024八下·安徽期末）若，是方程的两个实数根，则的值为
A．2015 B． C．2016 D．2019
二、填空题
11．（2023·榕城模拟）若m、n是方程的两个实数根，则m+n的值为　 　．
12．（2024九下·娄星模拟）关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为　 　．
13．（2025·成都模拟）若关于的一元二次方程两根为、，且，则的值为　 　．
14．（2020九上·江阴月考）若一元二次方程x2﹣3x+1=0的两根为x1和x2，则x1+x2=　 　．
15．（2024九上·高州月考）已知关于的一元二次方程的两个实根分别是，若，则的值为　 　．
16．（2018九上·福田月考）设a，b是方程x2+x-9=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为　 　．
三、计算题
17．（2024八下·杭州月考）已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）方程的两个实数根，满足，求实数的值．
18．（2020九上·武汉期中） 是关于 的一元二次方程 的两个实数根，求代数式 ， 的值.
19．（2025七上·成都期末）如图，在中，，已知，．
（1）求的面积；
（2）点M为的中点，P、Q分别为上的动点，求的最小值．
四、解答题
20．（2023九上·曾都期末）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，．
（1）求m的取值范围；
（2）当时，求另一个根的值．
21．（2024九上·连云港月考）已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3＝0．
（1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）设x1、x2是方程的两根，且（x1+x2）2﹣（x1+x2）﹣12＝0，求m的值．
22．（2024九上·泸县期中）已知关于x的一元二次方程．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为，且满足，求实数m的值
23．已知在关于 的分式方程 ① 和一元二次方程②中， 均为实数，方程①的根为非负数．
（1） 求 的取值范围．
（2） 当 为整数， 且 ， 方程②有两个整数解 时， 求方程②的整数解．
（3） 当方程②有两个实数解 ， 满足 ，且 为负整数时， 试判断 是否成立， 并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
6．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
7．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
9．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
10．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
11．【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
12．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
13．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
14．【答案】3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
15．【答案】3
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
16．【答案】8
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
17．【答案】（1）且
（2）
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
18．【答案】解∵ 是关于 的一元二次方程 的两个实数根
∴ ，
∴
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
19．【答案】（1）120
（2）
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；勾股定理；轴对称的性质
20．【答案】（1）
（2）
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
21．【答案】（1）m＞-2 （2）m=1
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
22．【答案】（1）
（2）1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
23．【答案】（1）解：关于 的分式方程 的根为非负数，
∴X≥0，且x≠1，即，且，解得k≥-1且k≠1.
∵一元二次方程中2-k≠0，
∴k≠2，
综上所述，k≥-1且k≠1，k≠2.
（2）解：把k=m+2，n=1代入方程②得- mx2+ 3mx+(1- m)=0，即mx2- 3mx+m-1=0.
∵，即，且m≠0，解得m＞0或m≤，
∵x1，x2是整数，k，m都是整数.
∴为整数，
∴m=1或-1.由（1）知k≠1，则m+2≠1，
∴.m≠-1，
∴m=1.把m=1代入方程mx2- 3mx+m-1=0，得x2- 3x+1-1=0，解得x1= 0， x2=3.
（3）解： 成立，理由如下，
由（1）知k≥-1，又∵k是负整数，
∴k= - 1.
∵（2- k）x2+ 3mx+（3- k）n= 0有两个实数解
整理得即
又
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
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