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4 探索三角形相似的条件
一、单选题
1．（2024九上·虹口期中）下列四个命题中，真命题是（　　）
A．两个等腰三角形一定相似 B．两个等边三角形一定相似
C．两个直角三角形一定相似 D．两个钝角三角形一定相似
2．（2024九上·常州期中）如图，已知在中，P为上一点，连接，以下条件中不能判定的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024·无为模拟）如图是由8个小正方形组成的网格，则在，，，中，与相似的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2024九下·大庆期末）如图，下列条件不能判定的是（　　）
A． B．
C． D．
5．有以下命题：
①如果线段d是线段a，b，c的第四比例项，则有 ；
②如果点C是线段AB的中点，那么AC是AB、BC的比例中项；
③如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，那么AC是AB与BC的比例中项；
④如果点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，且AB=2，则AC= ﹣1．
其中正确的判断有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2021九上·揭东期末）如图，下列选项中不能判定△ACD∽△ABC的是（　　）
A．＝ B．＝
C．∠ACD＝∠B D．∠ADC＝∠ACB
7．（2021九上·历下期末）如图，在下列方格纸中的四个三角形，是相似三角形的是（　　）
A．①和② B．①和③ C．②和③ D．②和④
8．（2025·南山模拟）下列命题中，正确的是（　　）
A．顺次连接平行四边形四边的中点所得到的四边形是矩形
B．若甲、乙两组数据的方差，，则甲组数据比乙组数据稳定
C．线段的长度是2，点C是线段的黄金分割点且，则
D．二次函数的顶点在x轴
9．（2024·周村模拟）如图，在扇形中，，点C在弧上，连接，过C作的垂线交于点D，若，，则的半径为（　　）
A． B． C．4 D．
10．（2024·镇海区模拟） 如图，点E、F分别是正方形的边、上的点，将正方形沿折叠，使得点B的对应点恰好落在边上，则的周长等于（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2024九下·临渭模拟）叶脉绣是以树叶为载体，以传统刺绣衬托出叶脉美的刺绣工艺品，可谓自然之美与中国传统刺绣结合得相得益彰．实际上，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点是的黄金分割点，如果的长为，那么的长为　 　．
12．（2020九上·江都月考）在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比，已知这本书的长为20cm，则它的宽约为　 　cm.（精确到0.1cm）
13．（2024九上·宜兴月考）如图，在△ABC中，D在AB上，要说明△ACD∽△ABC相似，已经具备了条件　 　，还需添加的条件是　 　，或　 　．
14．如图，在△ABC中点D、E分别在边AB、AC上，请添加一个条件：　 　，使△ABC∽△AED．
15．（2024九上·兰州期中）如图，乐器上的一根琴弦，两个端点固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点是靠近点A的黄金分割点，则之间的距离为　 　．
16．（2025·临平模拟）菱形ABCD绕点A 旋转得到菱形AB'C'D'，点B'在 BC上，B'C'交CD于点E.若AB=2BB'=4，则CE的长为　 　.
三、计算题
17．（2024九上·历下月考）如图，2022年国际世界乒乓球锦标赛的吉祥物是一只大熊猫．这只大熊猫的头身比接近黄金比．小兰将熊猫的头画成，熊猫的身体画成，与的直径的比按照黄金比画就，若的直径为4，请计算的周长．
18．（2024·义乌模拟）如图，在中，点D，E，F分别在边，，上，连接，．已知四边形是平行四边形，．
（1）若，求线段的长．
（2）若的面积为2，求平行四边形的面积．
四、解答题
19．图中两个三角形是否相似？为什么？
20．（2024九上·曲阳期中）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点，分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点处，且，若，求的长（结果保留根号）．
21．（2024九上·山丹期末）如图，在矩形中，，点是射线上一点，连接，作于点．
（1）当点在的延长线上，且交于点，写出至少三个与相似的三角形；
（2）设，求出与之间的函数关系式，并直接写出当点在边（点不与点重合，可与点重合）上时，的取值范围．
22．（2023九上·罗湖月考）如图，在菱形ABCD中，P是它对角线上面的一个点，连接CP后并延长，交CD于点E，交BA的延长线于点F．
（1）求证：∠DCP＝∠DAP；
（2）如果PE＝4，EF＝7，求线段PC的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
2．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
3．【答案】B
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定
4．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
5．【答案】C
【知识点】黄金分割
6．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
7．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
8．【答案】D
【知识点】黄金分割；方差
9．【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
10．【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
11．【答案】
【知识点】黄金分割
12．【答案】12.4
【知识点】黄金分割
13．【答案】∠A=∠A，；∠ACD=∠B（答案不唯一），；∠ADC=∠ACB（答案不唯一）．
【知识点】相似三角形的判定
14．【答案】∠AEB=∠B（答案不唯一）
【知识点】相似三角形的判定
15．【答案】
【知识点】黄金分割
16．【答案】
【知识点】菱形的性质；旋转的性质；相似三角形的判定-AA
17．【答案】
【知识点】黄金分割
18．【答案】（1） 解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
可设，，
，
，
，
（2）解： 由（1）得，，
，
，
解得：，
，
解得：，
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA
19．【答案】解：相似.
理由如下：.
根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”得.
【知识点】相似三角形的判定
20．【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；黄金分割
21．【答案】（1）解：在矩形中，
，，，
，，
，
，
，，
，
，
，，
，
；
（2），
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定
22．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，BD平分∠ADC，
∴∠ADP＝∠CDP，
在△DAP与△DCP中，
，
∴△DAP＝△DCP（SAS），
∴∠DCP＝∠DAP；
（2）解：由（1）得：△DAP≌△DCP，
∴∠DCP＝∠DAP，
∵CD∥AB，
∴∠DCF＝∠DAP＝∠CFB，
又∵∠FPA＝∠FPA，
∴△APE∽△FPA，
∴，
∴PA2＝PE PF，
∵△ADP≌△CDP，
∴PA＝PC，
∴PC2＝PE PF，
∵PE＝4，EF＝7，
∴PF=PE+EF=4+7＝11，
∴PC2=PE PF=4×11=44，
∴．
【知识点】三角形全等的判定；菱形的性质；相似三角形的判定
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