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第09讲 十字相乘与分组分解
（3知识点+3大核心考点+过关测）
内容导航——预习三步曲
第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练题型 强知识：3大核心考点精准练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点01：十字相乘法
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法
知识点02：分组分解法
1．分组分解法
对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法．即先对题目进行分组，然后再分解因式．
2．【方法规律】分组分解法分解因式常用的思路有：
方法 分类 分组方法 特点
分组分解法 四项 二项、二项 ①按字母分组②按系数分组③符合公式的两项分组
三项、一项 先完全平方公式后平方差公式
五项 三项、二项 各组之间有公因式
六项 三项、三项二项、二项、二项 各组之间有公因式
三项、二项、一项 可化为二次三项式
3．添、拆项法
把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解．要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形．
添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法．
知识点03：因式分解的一般步骤
因式分解的方法主要有： 提公因式法， 公式法， 分组分解法， 十字相乘法， 添、拆项法等．
因式分解步骤
（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；
（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；
（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解．
（4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．
【题型1 十字相乘法】
【例1】
（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）
1．分解因式：
【变式1-1】
（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）
2．因式分解：．
【变式1-2】
（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）
3．因式分解：
【变式1-3】
（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）
4．因式分解：
【变式1-4】
（23-24七年级上·上海浦东新·期中）
5．因式分解：．
【题型2分组分解法】
【例2】
（24-25七年级上·上海宝山·期末）
6．因式分解：．
【变式2-1】
（24-25七年级上·上海松江·期末）
7．因式分解：．
【变式2-2】
（24-25七年级上·上海嘉定·期末）
8．分解因式：．
【变式2-3】
（24-25七年级上·上海·期末）
9．因式分解：
【变式2-4】
（24-25七年级上·上海闵行·期末）
10．因式分解：．
【变式2-5】
（24-25七年级上·上海杨浦·期末）
11．因式分解：
【题型3 因式分解的应用】
【例3】
（24-25七年级上·上海·阶段练习）
12．试说明能被整除．
【变式3-1】
（24-25七年级上·上海·期中）
13．正数，，满足，求的值．
【变式3-2】
（2024七年级上·上海·专题练习）
14．若、、为非零实数，且，求证：．
【变式3-3】
（2024七年级上·上海·专题练习）
15．若为实数且满足，，求的最小值．
【变式3-4】
（2024七年级上·上海·专题练习）
16．已知，，是的三边，且满足，判断的形状并说明理由．
【变式3-5】
（24-25七年级上·上海徐汇·期中）
17．因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入多项式，发现能使多项式的值为0．
利用上述规律，回答下列问题：
(1)若是多项式的一个因式，求k的值．
(2)若和是多项式的两个因式，试求m、n的值，并将该多项式因式分解．
(3)分解因式：．
【变式3-6】
（24-25七年级上·上海·阶段练习）
18．阅读理解应用
待定系数法：设某一整式的全部或部分系数为未知数，利用当两个整式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值．
待定系数法可以应用到因式分解中，例如问题：因式分解，因为为三次整式，若能因式分解，则可以分解成一个一次整式和一个二次整式的乘积故我们可以猜想可以分解成展开等式右边得：，根据待定系数法原理，等式两边整式的同类项的对应系数相等，，，，
可以求出，，所以
(1)若x取任意值，等式恒成立，则 ；
(2)已知整式有因式，请用待定系数法求出该整式的另一因式．
【变式3-7】
（24-25七年级上·上海·期中）
19．如图，将一张大长方形纸板分成9块，其中有2块是边长为cm的大正方形，2块是边长为cm的小正方形，且，5块是形状大小完全相同的小长方形．
(1)观察图形，可以写出一个因式分解的等式为 ；
(2)若图形中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为．
①求的值；
②求图中空白部分的面积．
一、单选题
（23-24七年级上·上海浦东新·期中）
20．把多项式分解成两个因式的积，那么k、m的值分别是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
（24-25七年级上·上海宝山·期中）
21．下列整式中不含有这个因式的是（ ）
A． B．
C． D．
（23-24七年级上·上海浦东新·期末）
22．已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为，乙与丙相乘的积为，则甲与丙相减的结果是( )
A． B．5 C．1 D．
二、填空题
（24-25七年级上·上海青浦·期末）
23．因式分解： ．
（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）
24．因式分解： ．
（24-25七年级上·上海·期中）
25．因式分解：
（24-25七年级上·上海·阶段练习）
26．因式分解： ．
（24-25七年级上·上海·阶段练习）
27．分解因式： ．
（24-25七年级上·上海·阶段练习）
28．因式分解： ．
（24-25七年级上·上海·阶段练习）
29．（ ）．
（24-25七年级上·上海·阶段练习）
30．若，则 ．
（24-25七年级上·上海·期中）
31．已知，，，那么
（24-25七年级上·上海嘉定·期中）
32．因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最小值是 ．
（24-25七年级上·上海徐汇·期中）
33．在括号内填入适当的单项式，使多项式能因式分解，共有 种填法．
三、解答题
（24-25七年级上·上海·阶段练习）
34．因式分解：．
（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）
35．分解因式：．
（24-25七年级上·上海松江·期末）
36．因式分解：．
（23-24七年级上·上海浦东新·期中）
37．因式分解：．
（24-25七年级上·上海·期中）
38．读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
(1)上述分解因式的方法是________，共应用了________次．
(2)若分解，则需应用上述方法________次，结果是________．
(3)分解因式（写出过程）：
（24-25七年级上·上海·期中）
39．下面是对整式因式分解的部分过程．
解：原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
_____．（第四步）
_____．（第五步）
阅读以上解题过程，解答下列问题：
(1)在上述的因式分解过程中，用到因式分解的方法有_____．（至少写出两种方法）
(2)在横线上继续完成对本题的因式分解．
(3)请你尝试用以上方法对整式进行因式分解．
试卷第1页，共3页
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《第09讲 十字相乘与分组分解（3知识点+3大核心考点+过关测）-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（沪教版2024）》参考答案：
1．
【分析】本题考查十字相乘法分解因式，先把当成一个整体进行分解，再逐个括号进行分解即可．
【详解】
．
2．
【分析】本题主要考查了十字相乘法分解因式，直接利用十字相乘法分解因式得出答案
【详解】解：
．
3．
【分析】此题考查了因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．先将看作整体，利用十字相乘法分解，再利用十字相乘法继续分解即可．
【详解】解：
．
4．
【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式a，再利用十字相乘法分解因式即可得到答案．
【详解】解：
．
5．
【分析】此题考查了因式分解，先用平方差公式，再用十字相乘法进行因式分解即可．
【详解】解：
故答案为：
6．
【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．用分组分解法分解即可．
【详解】解：
．
7．
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是关键．利用分组分解法因式分解即可．
【详解】解：原式
8．
【分析】将前两项分组后两项分组，进而提取公因式再利用平方差公式分解因式．
此题主要考查了分组分解法因式分解，正确进行分组是解题关键．
【详解】解：
9．
【分析】本题考查因式分解，重新组合为是解答的关键．先将原式重新组合为，再利用平方差公式和提公因式分解因式即可．
【详解】解：
．
10．
【分析】本题主要考查因式分解，先把多项式的后三项分在一组构成完全平方式，再运用平方差公式进行分解即可．
【详解】解：
．
11．
【分析】本题主要考查了分解因式，先分组得到，再利用平方差公式和提公因式法分解因式即可．
【详解】解：
．
12．证明见解析
【分析】本题考查了因式分解的应用，把转化为底数是的幂，再根据幂的乘方进行运算，最后利用提公因式法进行因式分解即可求证，掌握整式的运算法则是解题的关键．
【详解】证明：
，
∴能被整除．
13．
【分析】本题考查因式分解的应用；能够将所给式子进行正确的因式分解是解题的关键．将式子因式分解为，求得，同理可得，，推出，再可化为，求出的值，即可求解．
【详解】解：，
，即，
，
，
，
，
同理求得：，，
，
可化为，
解得：或（不合题意，舍去），
，
．
14．见解析
【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，平方差公式，先分组再综合运用提取公因式法和公式法因式分解即可得到答案，理解分组分解因式的思想方法是解决问题的关键．
【详解】证明：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
15．
【分析】本题考查了因式分解，非负数的性质，先将利用分组分解法因式分解，再将已知条件整体代入，化为完全平方式，最后根据非负数的性质确定的最小值，掌握分组分解法和整体代入法是解题的关键．
【详解】解：由题得，，
∴
，
，
，
∴，，
∴，当且仅当时取等号，
经检验当时满足，
的最小值为．
16．等腰三角形，理由见解析
【分析】本题考查了因式分解的应用，能够灵活运用分组分解法进行因式分解是解题的关键,运用分组分解法判断出，进而得到结论．
【详解】解：，
，
，
，
或，
，，是的三边，
，
为等腰三角形．
17．(1)；
(2)m、n的值分别为和0；
(3)
【分析】本题主要考查了分解因式，解二元一次方程组：
（1）根据题意当时，，则，据此求解即可；
（2）根据题意可得当或时，，则可得关于m、n的方程组，解方程组求出m、n的值，进而把原多项式分解因式即可；
（3）先分组得到，再利用提公因式法和十字相乘法分解因式即可．
【详解】（1）解：当时，，
∵是多项式的一个因式，
∴当时，，
∴，
∴
（2）解：∵和是多项式的两个因式，
∴当或时，，
∴或时，，
∴，
解得，
∴原多项式为；
（3）解：
．
18．(1)1
(2)
【分析】此题考查多项式乘以多项式法则、因式分解的实际运用，理解题意，掌握待定系数法分解因式的方法与步骤是解决问题的关键．
（1）直接对比系数得出答案即可；
（2）根据题意设，进一步展开对比系数得出答案即可．
【详解】（1）∵恒成立，
∴
∴；
（2）设，
∴，
∴，
多项式的另一因式是．
19．(1)
(2)空白部分的面积为．
【分析】本题考查了因式分解的应用、完全平方公式等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键
（1）先用两种方式图形的面积，然后写成等式即可解答．
（2）①先根据长方形的周长公式列出关于的方程，然后整体求解即可；②由图可得空白部分的面积是，几何第一步中求出的的值以及阴影部分的面积，即可求得空白部分的面积．
【详解】（1）解：通过观察图形可以得出图形的面积是：，
长方形的长是，宽是，
由此可得：，
故答案为：；
（2）解：①根据长方形的周长为，可得：
，整列得：
，解得：．
答：的值为5；
②由图形可知：空白部分的面积为，
根据②得：，
∵阴影部分的面积为，且阴影部分的面积表示为，
∴，
∵，
∴，解：，
∴．
答：空白部分的面积为．
20．C
【分析】本题主要考查整式的乘法运算和因式分解．先将展开，再合并同类项，根据同类项系数相等即可求解．
【详解】解：，
由于多项式跟上式是同一个式子，所以同类项的系数相等，
可得：，，
解得：，，
故选：C．
21．B
【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．先对每个选项进行因式分解，然后再进行判断即可．
【详解】解：；
；
；
；
综上分析可知：整式中不含有这个因式的是，故B符合题意．
故选：B．
22．D
【分析】此题考查了十字相乘法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．把题中的积分解因式后，确定出各自的整式，相减即可．
【详解】解：∵甲与乙相乘的积为，乙与丙相乘的积为，甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数，
∴甲为，乙为，丙为，
则甲与丙相减的差为：；
故选：D
23．
【分析】本题考查了因式分解—分组分解法，先把原式中一二两项分成一组，三四两项分成一组，每组分别提取公因式，最后组与组之间提取公因式即可．
【详解】解∶原式
，
故答案为∶ ．
24．
【分析】本题考查了用分组分解法进行因式分解．当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解，后三项可以利用完全平方公式分解因式，且与第一项可以继续利用平方差公式分解因式，所以应考虑为一组．
【详解】解：
．
故答案为：．
25．
【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用十字相乘法分解因式即可求解．
【详解】解：
，
故答案为：．
26．
【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；因此此题可根据十字相乘法可进行分解因式．
【详解】解：原式；
故答案为．
27．
【分析】本题考查了分解因式，能提取公因式的先提取公因式，再利用平方差或完全平方公式进行分解即可，熟练掌握平方差公式是解此题的关键．
先用十字相乘法分解，再运用平方差公式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
28．
【分析】本题考查因式分解，将原式展开再分组为，再根据平方差公式和提公因式法进行分解即可．掌握公式法和提公因式法分解因式是解题的关键．
【详解】解：
．
故答案为：．
29．
【分析】此题考查了立方差公式．由即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：
30．或或
【分析】本题考查了因式分解的应用，有理数的乘法运算，把右式移到左边，再进行因式分解，可得，进而可得或，据此解答即可求解，利用因式分解把方程转化为的形式是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴或，
∴或或，
故答案为：或或．
31．
【分析】本题考查了利用因式分解进行简便计算，解题关键是要将因式分解．先将因式分解为，再将其值代入计算即可．
【详解】解：，，，
故答案为：．
32．
【分析】本题考查因式分解，将等式右边的式子利用多项式乘以多项式的法则展开，根据恒等式，得到对应项相同，得到，根据最小，得到的绝对值相差最大，且负数大于正数，即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∴异号，
∵最小，
∴为负，的绝对值差值最大，且负数大于正数，
∵，
∴的最小值为：；
故答案为：．
33．5
【分析】本题主要考查了分解因式，由于和都可以分解因式，那么添加单项式消去或者都符合题意，由于，那么添加符合题意；根据平方差公式的特点可添加一个单项式让构成一个完全平方式也满足题意，据此可得答案．
【详解】解：当填入时，原式；
当填入时，原式；
当填入时，原式；
当填入时，原式；
当填入时，原式；
故答案为：5．
34．
【分析】本题考查了因式分解．先分组，再提公因式，然后利用平方差公式继续分解即可．
【详解】解：
．
35．
【分析】本题考查了分解因式．先分组，再提公因式，然后利用平方差公式继续分解即可．
【详解】解：
．
36．
【分析】本题考查的是因式分解，先计算整式的乘法，再合并同类项，最后利用十字乘法分解因式即可．
【详解】解：
．
37．
【分析】本题主要考查了分解因式．先利用十字相乘法分解因式，再利用完全平方公式十字相乘法继续分解因式即可．
【详解】解；
．
38．(1)提公因式法，2
(2)2024，
(3)
【分析】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是掌握因式分解法．
（1）根据阅读因式分解的过程即可得结论；
（2）根据阅读材料的计算过程进行解答即可；
（3）根据阅读材料的计算过程进行解答即可；
【详解】（1）解：阅读因式分解的过程可知：上述分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次，
故答案为：提公因式法，2；
（2）解：
，
则需应用上述方法2024次，结果是，
故答案为：2024，；
（3）解：
．
39．(1)提公因式法，公式法，分组分解法；
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．
（1）根据所给因式分解过程即可得到答案；
（2）先利用平方差公式把第二次式子分解因式，再利用提公因式法分解因式即可；
（3）先把原式变形为，再分组得到，据此分解因式即可．
【详解】（1）解：第二步用了分组分解法，第三步用了提公因式法，第四步运用公式法；
（2）解：原式（第四步）
（第五步）
（3）解：
．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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