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第07讲 因式分解的意义与提公因式法
（2知识点+4大核心考点+过关测）
内容导航——预习三步曲
第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练题型 强知识：4大核心考点精准练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1：因式分解的意义
1、因式分解：将多个项的整式化为几个次数更低的整式的积，叫作把这个整式因式分解．
2、因式分解与整式乘法互为逆变形：
式中可以代表单项式，也可以代表多个项的整式，它是整式中各项都含有的因式，称为公因式．
知识点2：提公因式法
1、公因式：一个多个项的整式中每一项都含有的因式叫做这个整式的公因式．
2、提取公因式法：一个多个项的整式各项都含有公因式，可把公因式提到外面，
将一个多个项的整式写成与的乘积形式，此法叫做提取公因式法．
3、提取公因式的步骤：
（1）找出整式各项的公因式．
（2）提出公因式．
（3）写成与的乘积形式．
4、提取公因式法的几个技巧和注意点：
（1）一次提净；
（2）视“多”为“一”；
（3）切勿漏1；
（4）注意符号：在提出的公因式为负的时候，注意各项符号的改变；
（5）化“分”为整：在分解过程中如出现分数，可先提出分数单位后再进行分解 ；
（6）仔细观察：当各项看似无关的时候，仔细观察其中微妙的联系，转化后再分解．
【题型1 判断是否是因式分解】
【例1】
（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）
1．下列等式从左到右是因式分解，且结果正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】
（24-25七年级上·上海普陀·期末）
2．下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】
（23-24七年级上·上海浦东新·期中）
3．下列等式中，从左往右的变形为因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3】
（24-25七年级上·上海青浦·期末）
4．下列变形属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-4】
（24-25七年级上·上海松江·期中）
5．下列各式从左到右的变形，是因式分解的有（ ）
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【题型2已知因式分解的结果求参数】
【例2】
（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）
6．若，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．8
【变式2-1】
（24-25七年级上·上海·期中）
7．若，且a b为整数，则的值不可能是（ ）
A．14 B．2 C．16 D．
【变式2-2】
（24-25七年级上·上海闵行·期末）
8．一个整式可因式分解为，那么这个整式是 ．
【变式2-3】
（24-25七年级上·上海普陀·期末）
9．已知整式可以因式分解为，如果、、都为整数，那么的值为 ．
【变式2-4】
（22-23七年级上·上海青浦·期中）
10．若整式含有一个因式，则m的值是 ．
【题型3 公因式】
【例3】
（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）
11．整式中各项的公因式是 ．
【变式3-1】
12．下列各组中，没有公因式的一组是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【变式3-2】
（24-25七年级上·上海·期中）
13．整式的公因式是 ．
【变式3-3】
（24-25七年级上·上海·阶段练习）
14．整式各项的公因式是 ．
【变式3-4】
（23-24七年级上·上海长宁·期中）
15．和的最大公因式是 ．
【题型4 提公因式法分解因式】
【例4-1】
（24-25七年级上·上海·阶段练习）
16．因式分解： ．
【例4-2】
（24-25七年级上·上海·期末）
17．因式分解：
【例4-3】
18．分解因式：
(1)；
(2)；
(3)．
【例4-4】
19．先化简，再求值：，其中，
【变式4-1】
（24-25七年级上·上海宝山·期末）
20．因式分解： ．
【变式4-2】
（24-25七年级上·上海·期末）
21．因式分解： ．
【变式4-3】
（24-25七年级上·上海·期中）
22．因式分解：．
【变式4-4】
23．分解因式：．
【变式4-5】
24．把下列各式分解因式：
(1)；
(2)；
(3)．
【变式4-6】
25．把下列各式分解因式：
(1) ；
(2)；
(3)；
(4) ．
【变式4-7】
26．把下列各式分解因式：
(1)；
(2)．
【变式4-8】
27．分解因式：．
【变式4-9】
28．分解因式：．
【变式4-10】
29．已知，求的值．
【变式4-11】
30．试说明：一个三位数字，百位数字与个位数字交换位置后，则得到的新数与原数之差能被11整除．
【变式4-12】
31．已知：，求的值．
【变式4-13】
32．化简下列多项式：．
一、单选题
（22-23七年级上·上海青浦·期中）
33．单项式与单项式的公因式是（ ）
A． B． C． D．
34．因式分解，其中m、n都为整数，则m的值是（ ）
A． B． C． D．4
（24-25七年级上·上海·期末）
35．把因式分解时，提出公因式后，另一个因式是（）
A． B．
C． D．
（24-25七年级上·上海闵行·期末）
36．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
（24-25七年级上·上海静安·期末）
37．关于等式和从左到右的变形，下列说法中（　　）
A．①和②都是因式分解
B．①和②都不是因式分解
C．①是因式分解，②不是因式分解
D．①不是因式分解，②是因式分解
二、填空题
（24-25七年级上·上海·期中）
38．因式分解： ．
（24-25七年级上·上海·期中）
39．因式分解： ．
（24-25七年级上·上海松江·期中）
40．因式分解： ．
（24-25七年级上·上海杨浦·期中）
41．分解因式： ．
（24-25七年级上·上海·阶段练习）
42．因式分解： ．
（24-25七年级上·上海·期中）
43．因式分解：
（24-25七年级上·上海·期中）
44．因式分解： ．
（24-25七年级上·上海·阶段练习）
45．因式分解：
46．，则
（24-25七年级上·上海宝山·期中）
47．已知，那么 ．
（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）
48．二次三项式在整数范围内可以分解成两个一次因式，则k的值的个数有 个．
三、解答题
（24-25七年级上·上海奉贤·期中）
49．分解因式：．
（24-25七年级上·上海黄浦·期中）
50．因式分解：
（24-25七年级上·上海·期中）
51．因式分解：．
52．分解因式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
53．分解因式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
试卷第1页，共3页
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《第07讲 因式分解的意义与提公因式法（2知识点+4大核心考点+过关测）-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（沪教版2024）》参考答案：
1．A
【分析】本题考查因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此逐项判断即可．
【详解】解：符合因式分解的定义，则A符合题意，
，则B不符合题意，
中等号右边不是积的形式，则C不符合题意，
是乘法运算，则D不符合题意，
故选：A．
2．C
【分析】本题考查因式分解的意义．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此逐项判断即可．
【详解】解：中等号左边是单项式，则A不符合题意；
是乘法运算，则B不符合题意；
符合因式分解的定义，则C符合题意；
中等号右边不是积的形式，则D不符合题意；
故选：C．
3．D
【分析】本题考查了因式分解，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．根据因式分解的定义依次判断即可．
【详解】解：A、24不是一个多项式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；
B、右边不是几个整式积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；
C、右边不是几个整式积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；
D、，符合因式分解的定义，故本选项符合题意；
故选：D．
4．D
【分析】本题考查了因式分解的定义及提公因式法分解因式，根据因式分解是指将几个单项式和的形式转化为几个单项式或多项式的积的形式，逐个判断即可，熟练掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解是解题的关键．
【详解】解：、，不属于因式分解，不符合题意；
、，是整式的乘法运算，不属于因式分解，不符合题意；
、，不属于因式分解，不符合题意；
、，属于因式分解，符合题意；
故选：．
5．B
【分析】本题主要考查因式分解，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可．
【详解】是单项式的变形，则①不是因式分解；
中等号右边不是积的形式，则②不是因式分解；
是乘法运算，则③不是因式分解；
符合因式分解的定义，则④是因式分解；
符合因式分解的定义，则⑤是因式分解；
中对象不是整式，则⑥不是因式分解；
综上所述，因式分解有2个．
故选：B
6．C
【分析】本题考查因式分解—十字相乘法等知识．等式右边利用多项式乘以多项式法则，将化简成形式即可解题．
【详解】解：
，
，，
故选：C．
7．C
【分析】本题考查了因式分解，多项式与多项式的乘法运算，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．根据多多项式的乘法法则把等号右边化简，可得、，然后对a、b的值讨论可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴、，
若、，则；
若、，则；
若、，则；
若、，则；
故选：C．
8．
【分析】本题考查了因式分解和多项式乘多项式，根据多项式乘多项式的法则计算即可得出答案．
【详解】解：
，
所以这个整式是，
故答案为：．
9．
【分析】本题考查因式分解的意义．由题意可得式，则，，根据m、p，q都为整数确定m的值即可．
【详解】解：由题意可得，
则，，
∵m、p，q都为整数，
∴，或，，
则或，
故答案为：．
10．
【分析】设，根据多项式的乘法得出，，即可求解．
【详解】解：设，
∵，
∴，，
解得：，则，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解与整式的乘法运算，熟练掌握因式分解以及整式的乘法的关系是解题的关键．
11．##
【分析】本题考查了寻找多项式中的各项的公因式.先找出公因式的系数，即各项系数的最大公约数，然后再提取出相同字母，最后找相同字母的最低次幂.
【详解】解：由题意可知：各项系数的最大公约数为2，相同的字母为和x，和x的最小指数都为1，
∴整式中各项的公因式是，
故答案为：.
12．B
【分析】将每一组因式分解，找公因式即可
【详解】A.，，有公因式，故不符合题意；
B.，，没有公因式，符合题意；
C.，，有公因式，故不符合题意；
D. 与有公因式，故不符合题意；
故选：B
【点睛】本题考查公因式，熟练掌握因式分解是解决问题的关键
13．##
【分析】本题主要考查了求公因式，公因式是指：数字的最大公约数，相同字母的最低次幂的乘积，据此求解即可．
【详解】解：整式的公因式是，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查多项式的公因式，解题的关键是掌握确定一个多项式的公因式，可归纳为“五看”：一看系数，若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；当多项式中各项系数是分数时，则公因式的系数是分数，而且分母取各项系数中分母的最小公倍数，分子取各项系数中分子的最大公因数；；二看字母，公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数，各相同字母的指数取指数最低的；四看整体，如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开；五看首项符号，若多项式中首项的符号为“”，则公因式的符号一般为负．据此解答即可．
【详解】解：各项的公因式是．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了公因式定义，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的找出公因式即可．
【详解】解：和的最大公因式是，
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式进行分解因式即可得到答案．
【详解】解；，
故答案为；．
17．
【分析】本题考查了因式分解，利用了提公因式法因式分解，首先进行分组，再利用提公因式法分解因式，可得答案
【详解】
18．(1)
(2)
(3)
【分析】根据提公因式法因式分解逐题求解即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
【点睛】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意公因式是指每一项中都含有的因式，取相同字母的最低次幂．
19．，-1
【分析】先根据单项式乘多项式及平方差公式展开，再合并同类项，最后代入求值即可．
【详解】
当，时，原式＝
【点睛】本题考查整式运算及化简求值，熟记平方差公式是解题的关键．
20．
【分析】本题考查的是因式分解，直接提取公因式即可分解因式．
【详解】解：；
故答案为：
21．
【分析】本题考查了提公因式法分解因式：系数，取各项系数的最大公因数，字母，取各项都含有的相同字母，并且相同字母的指数取次数最低的．准确的找出公因式是解题的关键．确定公因式即可即可求解．
【详解】
故答案为：
22．
【分析】本题考查了提公因式法分解因式，熟练掌握分解因式的步骤是解题的关键．直接利用提公因式法分解因式即可求解．
【详解】解：
．
故答案为：．
23．．
【分析】本题考查的是综合提公因式与公式法分解因式，熟记完全平方公式分解因式是解本题的关键．提取公因式分解因式即可．
【详解】解:．
24．(1)；
(2)；
(3)．
【分析】本题考查了提取公因式法分解因式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）提取公因式；
（2）提取公因式；
（3）提取公因式．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
25．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意（4）式要先对后两项提取负号，出现公因式之后，在进行分解因式．
（1）利用提公因式法解答，即可求解；
（2）利用提公因式法解答，即可求解；
（3）利用提公因式法解答，即可求解；
（4）利用提公因式法解答，即可求解．
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
26．(1)
(2)
【分析】（1）原式利用提公因式法解答；
（2）原式利用提公因式法解答．
【详解】（1）原式
；
（2）原式
．
【点睛】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意公因式是指每一项中都含有的因式，取相同字母的最低次幂．
27．
【分析】根据提公因式法因式分解直接求解即可得到答案
【详解】解：
．
【点睛】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意提取公因式后，剩余的项的项数与原来的项数相同，并且让系数变为整数．
28．．
【分析】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，注意准确找出公因式．直接提取公因式即可．
【详解】解：原式
．
29．0
【分析】本题主要考查了因式分解，整体代入思想．提出公因式，原式可变形为，即可求解．
【详解】解：∵，
∴
30．证明见解析
【分析】根据题意，分两种情况：①个位数字为；②个位数字不为，根据不同情况，利用提公因式法因式分解结合整除的概念列式求解即可得到答案．
【详解】解：这个数是三位数，
百位数字不能为，故分两种情况：①个位数字为；②个位数字不为；
①当个位数字为时，设这个三位数为，为0－9之间的整数，
交换百位数字与个位数字后可得新三位字为，
，
∵是整数，
∴能被11整除；
②当个位数字不为时，设这个三位数为，为0－9之间的整数，
交换百位数字与个位数字后可得新三位字为，
，
∵是整数，
∴能被11整除．
【点睛】本题考查利用提取公因式法分解因式，用整式表示三位数是解题的关键．
31．
【分析】本题考查利用提取公因式分解因式，代数式求值．先利用提公因式法分解代数式，再整体代入计算即可．
【详解】解：原式
；
∵，
∴，
∴原式．
32．
【分析】原式利用提公因式法逐步分解因式得出答案．
【详解】原式
．
【点睛】本题主要考查利用提取公因式法分解因式，掌握解答的方法是关键．
33．A
【分析】找到系数的最大公因数，再找到因式的公共部分即可．
【详解】解：由于3和9的公因数是3，和的公共部分为,
所以．和的公因式为.
故选A．
【点睛】本题主要考查公因式，熟练掌握如何去找公因式是解题的关键．
34．C
【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系，根据多项式乘法把等式右边展开得到，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
35．D
【分析】此题主要考查了提公因式法分解因式，解题的关键是正确找出公因式．直接提取公因式即可分解．
【详解】解：，
故选：D．
36．C
【分析】本题考查因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此逐项判断即可．
【详解】解：A. ，原选项不是因式分解，则A不符合题意；
B. 是乘法运算，则B不符合题意；
C. 符合因式分解的定义，则C符合题意；
D. 等号右边不是积的形式，则D不符合题意；
故选：C．
37．A
【分析】本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义是关键．
把一个多项式化成几个整式的乘积形式叫做因式分解，据此逐一判断即可．
【详解】解：①，属于因式分解；
②，属于因式分解；
所以①和②都是因式分解．
故选：A．
38．
【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．提出公因式即可得出答案．
【详解】解：．
故答案为：．
39．
【分析】本题主要考查了因式分解，直接提取公因式分解因式即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
40．
【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式进行分解因式即可．
【详解】解：，
故答案为：．
41．
【分析】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．直接提取公因式，进而分解因式得出答案．
【详解】解：原式．
故答案为：．
42．
【分析】本题考查了提公因式法分解因式，寻找正确的公因式是解题的关键．
通过观察发现，公因式为，然后分解因式即可．
【详解】解：，
故答案为：．
43．
【分析】本题考查因式分解，提取公因式即可．
【详解】解：，
故答案为：．
44．
【分析】本题考查了因式分解-分组分解法，提取公因式法，根据题意，先把分组得，然后再提取公因式，得出，最后再提取公因式即可得出答案．
【详解】解：
、
．
故答案为：．
45．
【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；因此此题可根据提公因式进行因式分解．
【详解】解：原式；
故答案为．
46．9
【分析】利用多项式乘多项式，展开，再根据等式的性质列式求得m、n的值，即可求解
【详解】解：∵，
∴，
∴9+n=8，m=9n，
∴n=-1，m=-9，
∴mn=-9×(-1)=9．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了因式分解，多项式乘多项式，等式的性质，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
47．
【分析】本题考查了代数式的求值，根据已知条件得到，再把代数式变形得到，然后利用整体代入的方法计算即可求解，利用整体代入是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴
，
，
故答案为：．
48．无数
【分析】本题考查了整式的因式分解，掌握整式和因式分解的关系是解决本题的关键．先设分解的两个因式为（a，b都是整数），根据因式分解与整式的关系得与间关系，判断满足条件的a、b得结论．
【详解】解：在整数范围内可以分解成两个一次因式，
设分解的两个因式为（a，b都是整数），
，
在整数范围内，满足两个整数的和为的a、b有无数对，
满足条件的k有无数个．
故答案为：无数．
49．．
【分析】本题考查了分解因式．先分组，提取公因式即可求解．
【详解】解：
．
50．
【分析】本题考查了因式分解，提公因式，即可求解．
【详解】解：
51．
【分析】本题考查因式分解，利用提公因式法进行因式分解即可．
【详解】解：
，
，
，
．
52．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了用提公因式法因式分解，注意因式分解要彻底，直到不能分解为止．
（1）原式提取公因式分解即可；
（2）原式提取公因式分解即可；
（3）原式提取公因式分解即可；
（4）原式提取公因式分解即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式；
（4）解：原式．
53．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查利用提取公因式法进行因式分解，注意分解因式一定要彻底．
（1）原式变形为，提取公因式分解即可；
（2）原式提取公因式分解即可；
（3）原式变形为，再提公因式分解即可．
（4）原式提取公因式分解，整理后再提取公因式分解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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