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第08讲 公式法因式分解（2知识点＋5大核心考点＋过关测）
内容导航——预习三步曲
第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练题型 强知识：5大核心考点精准练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点01平方差公式
①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反；
②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；
③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积．
知识点02完全平方公式
①左边相当于一个二次三项式；
②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式；
③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；
④右边是这两个数或式的和（或差）的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定．
【题型1 平方差公式分解因式】
【例1－1】（2024七年级上·上海·专题练习）
1．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【例1－2】（24－25七年级上·上海普陀·阶段练习）
2．因式分解： ．
【例1－3】（2024七年级上·上海·专题练习）
3．分解因式：．
【变式1－1】（24－25七年级上·上海·期末）
4．已知，．则 ．
【把1－2】（24－25七年级上·上海嘉定·期中）
5．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，8是一个智慧优数，若将智慧优数从小到大排列，第2024个智慧优数是 ．
【变式1－3】（24－25七年级上·上海·期中）
6．已知数、、、满足，，求的值．
【题型2完全平方公式分解因式】
【例2－1】（24－25七年级上·上海·阶段练习）
7．下列多项式：（1）；（2）；（3）；（4）其中能用完全平方公式进行因式分解的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例2－2】（24－25七年级上·上海闵行·阶段练习）
8．因式分解： ．
【例2－3】（24－25七年级上·上海普陀·阶段练习）
9．已知正方形的面积是，则正方形的边长为 ．
【变式2－1】（24－25七年级上·上海·期末）
10．如果，那么的值为 ．
【变式2－2】（24－25七年级上·上海·阶段练习）
11．已知：，求的值 ．
【变式2－3】（24－25七年级上·上海·期中）
12．若与互为相反数，把多项式因式分解．
【变式2－4】（2024七年级上·上海·专题练习）
13．已知整式因式分解的结果是，求、的值．
【题型3 综合运用公式法分解因式】
【例3－1】（23－24七年级上·上海长宁·期中）
14．在有理数范围内因式分解： ．
【例3－2】
15．因式分解： ．
【例3－2】（24－25七年级上·上海徐汇·期末）
16．因式分解：．
【变式3－1】（24－25七年级上·上海普陀·阶段练习）
17．因式分解：
【变式3－2】（24－25七年级上·上海嘉定·期末）
18．因式分解：．
【变式3－3】（24－25七年级上·上海闵行·阶段练习）
19．分解因式：
【题型4 综合提公因式和公式法分解因式】
【例4－1】（24－25七年级上·上海杨浦·期末）
20．因式分解： ．
【例4－2】（24－25七年级上·上海·期中）
21．因式分解： ．
【例4－3】（23－24七年级上·上海浦东新·期中）
22．因式分解：．
【变式4－1】（24－25七年级上·上海静安·期末）
23．因式分解： ．
【变式4－2】（24－25七年级上·上海·期末）
24．因式分解： ．
【变式4－3】（24－25七年级上·上海奉贤·期中）
25．分解因式：
【题型5 因式分解在有理数简算中的应用】
【例5】（23－24七年级上·上海青浦·期中）
26．利用平方差公式计算：= ．
【变式5－1】
27．计算： ．
【变式5－2】（23－24七年级上·上海闵行·期中）
28．简便计算：
【变式5－3】（22－23七年级上·上海青浦·期末）
29．计算：
一、单选题
（24－25七年级上·上海松江·期末）
30．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
（24－25七年级上·上海杨浦·阶段练习）
31．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
（24－25七年级上·上海·期中）
32．有一个因式分解的等式，则式子中的，对应的一组数字可以是（ ）
A．16，2 B．16， C．， D．，2
二、填空题
（24－25七年级上·上海闵行·阶段练习）
33．分解因式： ．
（24－25七年级上·上海·期中）
34．因式分解： ．
（24－25七年级上·上海·期中）
35．因式分解：
（24－25七年级上·上海·阶段练习）
36．因式分解：
（23－24七年级上·上海闵行·期末）
37．因式分解： ．
（24－25七年级上·上海·期中）
38．已知：，则 ．
（24－25七年级上·上海·期中）
39．因式分解：
（24－25七年级上·上海嘉定·期中）
40．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个“智慧优数”，可以利用进行研究．若将“智慧优数”从小到大排列，第4个“智慧优数”是 ．
三、解答题
（24－25七年级上·上海·期末）
41．因式分解：
（24－25七年级上·上海·期末）
42．因式分解：
（24－25七年级上·上海·期末）
43．因式分解：．
（24－25七年级上·上海青浦·期末）
44．因式分解：
（24－25七年级上·上海闵行·阶段练习）
45．因式分解：．
（24－25七年级上·上海宝山·期中）
46．（1）填空：
第一行：________；
第二行：________；
第三行：________；
第四行：________．
（2）找出规律，写出第n行的等式：________；
（3）请说明第行等式成立的理由．
47．如图，从边长为a的正方形纸片中剪掉一个边长为b的正方形纸片，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
(1)上述操作能验证的等式是 ．
(2)利用你从（1）中得出的等式，计算：
①已知，求的值．
②计算：．
试卷第1页，共3页
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《第08讲 公式法因式分解（2知识点+5大核心考点+过关测）-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（沪教版2024）》参考答案：
1．C
【分析】本题考查了公式法进行因式分解．根据平方差公式进行因式分解分别判断即可．
【详解】解：不能进行因式分解，故选项A不符合题意；
不能因式分解，故选项B不符合题意；
，故选项C符合题意；
不能因式分解，故选项D不符合题意，
故选：C．
2．
【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键．利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：．
故答案为：．
3．．
【分析】本题考查公式法分解因式．根据平方差公式进行计算即可．
【详解】解：
．
4．7
【分析】本题考查了平方差公式、解二元一次方程组，利用平方差公式因式分解是解题的关键．由变形得，结合可得，再利用二元一次方程组解得、的值，即可解答．
【详解】解：，
，
又，
，
，
解得：，
．
故答案为：7．
5．8100
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，数字类的规律探索，利用平方差公式求出，据此得到是从8开始且能被4整除的正整数，再把代入中，计算出对应的结果即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵m、n都是正整数，
∴是大于等于2的正整数，
∴是从8开始且能被4整除的正整数，
∴第2024个智慧优数是，
故答案为：．
6．．
【分析】本题考查了整式的乘法和因式分解．首先根据可得，又因为，可得，把分解因式可得：，把代入可得，利用多项式乘多项式的法则展开可得，再把和代入求值即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
．
7．B
【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，熟知完全平方公式是解题的关键：．
【详解】解：（1），符合题意；
（2）不能用完全平方公式分解因式，不符合题意；
（3）不能用完全平方公式分解因式，不符合题意；
（4），符合题意；
故选：B．
8．
【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．利用完全平方公式进行分解即可．
【详解】解：
故答案为：．
9．
【分析】本题考查因式分解的应用，涉及完全平方和公式因式分解，设正方形的边长为，由题意列出等式，因式分解求解即可得到答案．熟练掌握完全平方和公式因式分解是解决问题的关键．
【详解】解：设正方形的边长为，
由正方形的面积是可得，，
，
，则正方形的边长，
故答案为：．
10．##0.25
【分析】本题考查因式分解、非负数的性质、代数式求值，根据完全平方公式进行因式分解，再根据平方式的非负性求得x、y值，进而代值求解即可．
【详解】解：由得，
即，
∵，，
∴，，
解得，，
∴，
故答案为：．
11．
【分析】本题主要考查因式分解及偶次幂的非负性，熟练掌握完全平方公式是解题的关键；由题意等式可变形为，则有，然后代入进行求解即可．
【详解】解：由题意得：
∴，
∴，
∴；
故答案为．
12．
【分析】本题考查了公式法分解因式以及互为相反数的概念、绝对值和偶次幂的非负性的性质，灵活运用公式进行因式分解是解题的关键．根据互为相反数的两数和为0以及绝对值和偶次幂的非负性，求得的值，再利用公式法分解因式即可．
【详解】解：∵与互为相反数，
∴，
∴，，
解得：，．
∴
．
13．，．
【分析】本题考查了分解因式－公式法．先利用公式法去掉括号，再根据等式的性质得，．
【详解】解：，
∴，，
解得：，．
14．
【分析】本题考查了因式分解，先分组，然后根据完全平方公式与平方差公式进行因式分解，即可求解．
【详解】解：
故答案为：．
15．
【分析】将当作整体，对式子先进行配方，然后利用平方差公式求解即可．
【详解】解：原式．
故答案是：．
【点睛】此题考查了因式分解，涉及了平方差公式，解题的关键是掌握因式分解的方法，并将当作整体，得到平方差的形式．
16．
【详解】解：
17．
【分析】本题主要考查了分解因式，利用完全平方公式把后三项分解因式，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
．
18．
【分析】本题考查了因式分解：分组分解法、公式法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．先去括号，再分组，然后利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
．
19．
【分析】本题考查因式分解，先分组，然后根据完全平方公式与平方差公式因式分解，即可求解．
【详解】解：
20．
【分析】本题主要考查因式分解，合理的选择因式分解的方法是解题的关键．利用提取公因式法和公式法直接因式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
21．
【分析】本题考查了提取公因式法，公式法分解因式，掌握提取公因式公式法是关键．
根据题意，先提取公因式，再运用平方差公式计算即可．
【详解】解：
，
故答案为： ．
22．
【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解．先提取公因式4，再利用平方差公式进行分解，然后利用完全平方公式继续分解即可得答案．
【详解】解：
．
23．
【分析】本题考查了因式分解的知识点，解题的关键是熟练掌握提取公因式法与十字相乘法．
先提取多项式各项的公因式，再对提取公因式后剩余的多项式进行十字相乘法分解因式．
【详解】提取公因式：观察多项式，每一项都含有公因式，将其提取出来，得到，
十字相乘法分解因式：所以可以分解为，
．
故答案为：
24．
【分析】本题考查了因式分解，根据进行因式分解即可．
【详解】解：．
故答案为：．
25．
【分析】本题考查因式分解，积的乘方的逆用，解题的关键在于熟练掌握因式分解的方法．利用积的乘方的逆用将化为，再结合平方差公式进行因式分解，最后提公因式，即可解题．
【详解】解：
．
26．8016
【分析】本题考查利用平方差公式进行因式分解，先将原式利用平方差公式变形，再进行计算．
【详解】解：，
故答案为：8016．
27．
【分析】本题考查数字的变化规律问题，平方差公式，先将原式用平方差公式变形，可以得到，再分组计算即可求解．
【详解】解：
．
故答案为：．
28．16
【分析】本题考查了平方差公式因式分解；根据平方差公式去括号化简即可．
【详解】解：原式
．
29．80
【分析】提公因式，再利用平方差公式分解，进行简便计算即可求解．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了利用因式分解简便计算，掌握因式分解的方法是解题的关键．
30．D
【分析】本题考查了用公式法进行因式分解，熟记能用公式法进行因式分解的式子的特点是解题的关键．
根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A：不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故此选项不符合题意；
B：不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故此选项不符合题意；
C：不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故此选项不符合题意；
D：，故此选项符合题意．
故选：D ．
31．D
【分析】本题考查了平方差公式分解因式，熟记平方差公式结构是解题的关键．根据能用平方差公式分解因式的式子必须是两项平方项的差即可判断．
【详解】解：A、不能用平方差公式分解因式，不符合题意；
B、不能用平方差公式分解因式，不符合题意；
C、不能用平方差公式分解因式，不符合题意；
D、是y与x的平方的差，能用平方差公式分解因式，符合题意；
故选：D．
32．B
【分析】本题考查用平方差公式分解因式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
可以看出此题是用平方差公式分解因式，可以根据整式乘法与因式分解是互逆运算变形得出．平方差公式：．
【详解】解：由，得出，
则，则．
故选：B．
33．
【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
34．
【分析】本题主要考查了因式分解，灵活运用平方差公式进行因式分解成为解题的关键．
直接运用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：．
故答案为．
35．
【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
故答案为：．
36．
【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键；因此此题可根据完全平方公式和平方差公式进行因式分解．
【详解】解：原式；
故答案为．
37．
【分析】本题考查的是分解因式．后三项用完全平方公式分解后，再用平方差公式分解即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
38．
【分析】本题考查了运用公式法分解因式、解二元一次方程序组、求代数式的值．首先把拆成和两项，可以得到，然后用完全平方公式分解因式得到，根据平方的非负性可以得到二元一次方程组解方程组可以求出，然后代入求值即可．
【详解】解：，
，
，
，，
解方程组，
得：，
．
故答案为： ．
39．
【分析】此题考查了因式分解．
连续两次利用平方差公式进行分解即可．
【详解】解：
故答案为：
40．16
【分析】本题考查了因式分解的应用，根据，均为正整数，得出，，，，…，从而得出，，，，…，把平方差公式中的换成和相关的式子，得到新的式子，然后将，，，…一次代入计算即可，理解题意，熟练掌握平方差公式是解此题的关键．
【详解】解：∵两个正整数m，n满足，
∴或或或或，…，
当时，则，
∴，
得到的“智慧优数”为8，12，16，…；
当时，则，
∴，
得到的“智慧优数”为15，21，27，…；
当时，则，
∴，
得到的“智慧优数”为24，32，…；
当时，则，
∴，
得到的“智慧优数”为35，45，…；
当时，则，
∴，
得到的“智慧优数”为48，60，…；
…，
把这些“智慧优数”从小到大排列为8，12，15，16，21，24，27，32，35，45，48，60，…，
故第4个“智慧优数”是16，
故答案为：16．
41．
【分析】本题考查因式分解，熟记完全平方公式是解答的关键．先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：
．
42．
【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解．先提公因式，然后再利用平方差公式继续分解即可．
【详解】解：
．
43．
【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式分解因式是解题的关键．先展开并用完全平方公式和平方差公式因式分解即可求解．
【详解】
44．
【分析】本题考查了因式分解，先根据完全平方公式进行因式分解，然后根据平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解∶原式
45．
【分析】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．利用完全平方公式和平方差公式进行分解即可．
【详解】解：
．
46．（1）1；25；121；361（2）（3）见解析
【分析】本题考查了规律型:数字的变化类：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．
（1）根据有理数的乘法和加法可以计算出相应的结果；
（2）根据题目中式子的特点，可以写出第n行的等式；
（3）根据因式分解的方法可以说明第n行等式成立的理由．
【详解】解：（1）第一行：；
第二行：；
第三行：；
第四行：；
故答案为：1；25；121；361；
（2）第n行的等式是：，
故答案为：；
（3）证明：∵
∴
47．(1)
(2)①3；②
【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的特征是解题的关键．
（1）由图1，图2分别确定阴影部分面积，得．
（2）①根据平方差公式求解；②运用平方差公式写成两数和乘以两数差形式，求解即可．
【详解】（1）解：图1阴影部分的面积为：，
图2阴影部分的面积为：，
；
（2）解：①，，
；
②
．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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