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第06讲 整式的除法（3知识点+7大核心考点+过关测）
内容导航——预习三步曲
第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练题型 强知识：7大核心考点精准练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点01：同底数幂的除法
1、同底数幂的除法
同底数幂相除，底数不变，指数相减．
（、是正整数，且，）
要点归纳：底数可以是数字、字母，也可以是单项式或多项式．
2、（）任何不等于零的数的零次幂都等于1
知识点02：单项式除以单项式
1、单项式除以单项式法则
两个单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
2、单项式除以单项式的步骤
把系数相除，所得的结果作为商的因式；
把同底数的幂分别相除，所得的结果作为商的一个因式；
只在被除式里含有的字母，连同其指数作为商的一个因式．
3、单项式混合运算法则
通常情况下，应先乘方，在乘除，最后做加减运算，如有括号，先算括号内的运算．
知识点03：整式除以单项式
整式除以单项式的法则
整式除以单项式，先把整式的每一项分别除以单项式，再把所得商相加，用式子表示就是：．
【题型1 同底数幂的除法运算】
【例1-1】
1．计算： ．
【例1-2】
2．若、满足，则 ．
【例1-3】
3．计算：
(1)；
(2)．
【例1-4】
4．计算：．
【变式1-1】（22-23七年级上·上海闵行·期中）
5．计算：结果用幂的形式表示 ．
【变式1-2】（23-24七年级上·上海宝山·期末）
6．如果，那么 ．
【变式1-3】（24-25七年级上·上海闵行·期末）
7．计算：
【变式1-4】（24-25七年级上·上海闵行·期中）
8．计算：．
【题型2同底数幂除法的逆用】
【例2-1】（24-25七年级上·上海嘉定·期末）
9．已知，，求的值为 ．
【例2-2】（24-25七年级上·上海·期中）
10．若，，则的值为 ．
【例2-3】（22-23七年级上·上海·期中）
11．已知，求的值．
【变式2-1】（24-25七年级上·上海杨浦·期中）
12．若，，则 ．
【变式2-2】（24-25七年级上·上海虹口·期中）
13．已知，，那么的值为 ．
【变式2-3】
14．若，，求的值．
【题型3 幂的混合运算】
【例3】（22-23七年级上·上海·期中）
15．计算： ．
【变式3-1】（24-25七年级上·上海杨浦·期中）
16．计算：．
【变式3-2】
17．计算：
(1)；
(2)．
【题型4 计算单项式除以单项式】
【例4-1】（24-25七年级上·上海·期中）
18．计算： ．
【例4-2】（24-25七年级上·上海宝山·期末）
19．如果，那么 ．
【例4-3】（24-25七年级上·上海·期末）
20．计算： ．
【变式4-1】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）
21． ．
【变式4-2】（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）
22．计算： ．
【变式4-3】（23-24七年级上·上海浦东新·期中）
23．计算：．
【变式4-4】（24-25七年级上·上海宝山·期末）
24．计算：．
【题型5 用科学记数法表示数的除法】
【例5-1】
25．火星的体积约为立方米，地球的体积约为立方米，地球体积约是火星体积的 倍．
【例5-2】
26．计算： ．
【变式5-1】
27．月球距离地球约为千米，一架飞机速度为千米/时，若坐飞机飞行这么远的距离需 小时．（结果用科学记数法表示）
【变式5-2】
28．光的速度每秒约米，地球和太阳的距离约是米，则太阳光从太阳射到地球需要 秒．
【题型6 整式除以单项式】
【例6】（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）
29．计算： ．
【变式6-1】
30．计算：．
【变式6-2】（24-25七年级上·上海·阶段练习）
31．计算： ．
【变式6-3】（24-25七年级上·上海·期中）
32．计算： ．
【题型7 整式四则混合运算】
【例7-1】（24-25七年级上·上海·期末）
33．计算：．
【例7-2】（22-23七年级上·上海闵行·期中）
34．先化简，再求值：，其中， ．
【变式7-1】（24-25七年级上·上海·期中）
35．计算：
【变式7-2】（24-25七年级上·上海青浦·期末）
36．计算：
【变式7-3】（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）
37．计算：．
【变式7-4】（23-24七年级上·上海青浦·期中）
38．计算：
【变式7-5】（24-25七年级上·上海·期中）
39．先化简再求值：，其中．
一、单选题
（24-25七年级上·上海奉贤·期中）
40．已知那么、的取值依次为（ ）
A．2，3 B．4，3 C．1，3 D．4，1
（24-25七年级上·上海青浦·期末）
41．下列运算结果正确的是（）
A． B． C． D．
（24-25七年级上·上海·期中）
42．下列计算的结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
（24-25七年级上·上海奉贤·期中）
43．计算： ．
（24-25七年级上·上海松江·期末）
44．计算： ．
（24-25七年级上·上海普陀·期末）
45．计算： ．
（24-25七年级上·上海·期中）
46．某班教室墙上的“学习园地”是一块长方形区域，它的面积是，已知该长方形的宽为，它的长为 ．
（24-25七年级上·上海·期中）
47．已知，则 ．
（24-25七年级上·上海黄浦·期末）
48．计算： ．
（24-25七年级上·上海·期中）
49．计算： ．
（24-25七年级上·上海静安·期末）
50．计算： ．
三、解答题
（24-25七年级上·上海·期中）
51．计算：（n是正整数）．
（24-25七年级上·上海·期中）
52．计算：
（24-25七年级上·上海·期中）
53．计算：
（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）
54．计算：．
（24-25七年级上·上海松江·期中）
55．先化简后求值：，其中（是正整数）．
（24-25七年级上·上海静安·期末）
56．先化简，再求值：，其中．
（24-25七年级上·上海·期中）
57．先化简，再求值：（为正整数），其中．
（24-25七年级上·上海杨浦·期中）
58．如果．那么称为的劳格数，记为，由定义可知，和所表示的、两个量之间具有同一关系．
(1)根据定义，填空：______．
(2)劳格数有如下性质：，，根据运算性质。回答问题：
①______．（为正数）
②若．求、的值。
试卷第1页，共3页
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《第06讲 整式的除法（3知识点+7大核心考点+过关测）-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（沪教版2024）》参考答案：
1．
【分析】本题主要考查了同底数幂的除法运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据同底数幂的除法法则运算即可．
【详解】解： ．
故答案为： ．
2．
【分析】本题考查了整体带入的数学思想，还考查了同底数幂的除法，熟练掌握公式是解题的关键．已知，因为，整体代入求值即可．
【详解】解：，
，
故答案为：9．
3．(1)
(2)
【分析】（1）利用同底数幂的除法进行运算；
（2）先将底数均化为，再利用同底数幂的除法运算．
【详解】（1）解：；
（2）解：
．
【点睛】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握相关运算规则是解题的关键．
4．
【分析】本题主要考查了幂的乘方运算，同底数幂的乘法，同底数幂的除法等知识点，理清指数的变化是解题的关键．
先计算幂的乘方，然后计算同底数幂的乘法和同底数幂的除法，即可得出答案．
【详解】解：
．
5．
【分析】利用同底数幂的除法的法则进行运算即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查同底数幂的除法，解答的关键是对同底数幂除法法则的掌握．
6．2
【分析】本题考查同底数幂的除法、幂的乘方．同底数幂相除：底数不变，指数相减；幂的乘方：底数不变，指数相乘．由此列出关于k的一元一次方程，即可求出k的值．
【详解】解：，
，
解得，
故答案为：2．
7．
【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂相乘（除），合并同类项，根据幂的乘方等于底数不变，指数相乘计算，再根据同底数幂相乘（相除），底数不变，指数相加（减），最后合并同类项即可．
【详解】解：原式
．
8．
【分析】本题主要考查了积的乘方和幂的乘方计算，同底数幂乘除法计算，先计算积的乘方和幂的乘方，再计算同底数幂乘除法，最后合并同类项即可得到答案．
【详解】解：
．
9．
【分析】此题考查了同底数幂的除法、积的乘方和幂的乘方知识的逆运用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．逆运用同底数幂的除法、积的乘方和幂的乘方知识进行求解．
【详解】解：，，
，
故答案为：
10．
【分析】本题考查幂的乘方的逆运算，同底数幂的除法的逆运算，先利用幂的乘方的逆运算法则和同底数幂的除法的逆运算法则将化简为，代入，求出，再利用幂的乘方的逆运算法则得到，即可求解．
【详解】解：，，
，
，
．
故答案为：．
11．
【分析】先根据幂的乘方求出，再逆用同底数幂的除法计算即可．
【详解】∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了幂的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
12．
【分析】本题主要考查了同底数幂除法逆用，熟练掌握同底数幂除法运算法则，是解题的关键．根据同底数幂除法运算法则进行计算即可．
【详解】解：∵，，
∴．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查幂的混合运算，涉及幂的乘方的逆用和同底数幂的除法的逆用，运用相关公式的计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】逆用幂的乘方，除法法则计算即可．
【详解】，把，代入得．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘方与除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
15．
【分析】先计算积的乘方，再计算同底数幂乘法和单项式除以单项式，最后合并同类项即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了幂的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
16．
【分析】本题主要考查了幂的混合运算，解题的关键是熟练掌握幂的乘方，积的乘方，同底数幂乘法运算法则．根据幂的乘方，积的乘方，同底数幂乘法运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查幂的混合运算、同底数幂相乘、同底数幂的除法运算，解题的关键是掌握 ，，（，m，n都是正整数），注意负数的奇次幂还是负数．
（1）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的除法；
（2）先计算同底数幂的乘法、乘方，再计算同底数幂的乘法与除法．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．
【分析】本题考查的是单项式除以单项式的知识．根据单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．进行计算即可．
根据单项式除以单项式的除法的运算法则计算即可．
【详解】解：
，
．
故答案为：．
19．
【分析】本题考查单项式除以单项式，积的乘方，代入求值，先根据积的乘方运算除数，然后根据单项式除以单项式法则得到，，求出a，b的值，然后代入解题即可．
【详解】∵，
∴，，
解得：，，
∴，
故答案为：．
20．
【分析】本题考查的是整式的混合运算，解答本题的关键是熟练掌握积的乘方法则：先把各个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．先根据积的乘方法则计算，再算单项式的除法即可得到结果．
【详解】
故答案为：
21．##
【分析】本题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
先计算积的乘方，再利用单项式除以单项式法则计算即可得到答案．
【详解】解：原式，
故答案为： ．
22．
【分析】本题考查了积的乘方，单项式除以单项式，准确熟练地进行计算是解题的关键．先算积的乘方，再算除法，即可解答．
【详解】解：
，
故答案为：．
23．
【分析】根据单项式除以单项式的运算法则即可求解，本题主要考查整式的除法运算，掌握其运算法则是解题的关键．
【详解】解：
．
24．
【分析】本题考查的是同底数幂的乘法运算，积的乘方运算，单项式除以单项式，根据相应的运算法则先计算同底数幂的乘法，再计算积的乘方，再计算单项式除以单项式即可．
【详解】解：
；
25．8
【分析】根据整式除法法则进行计算即可．
【详解】解：．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了整式的除法，掌握整式的除法法则是解题关键．
26．
【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案，最后结果用科学记数法表示．
【详解】，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了整式的除法，正确运用整式的除法运算法则是解题关键．
27．
【分析】根据时间路程速度，即可求解．
【详解】解：由题意得：
飞机飞行时间为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了单项式除法的应用，掌握相关运算法则是解题关键．
28．
【分析】根据时间=路程速度，列式计算即可．
【详解】解：秒．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查科学记数法的实际应用，同底数幂的除法，解题的关键是根据题意列出算式．
29．
【分析】本题主要考查了多项式除以单项式的计算，直接根据多项式除以单项式的计算法则求解即可．
【详解】解：
，
故答案为；．
30．
【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，根据多项式除以单项式的计算法则求解即可．
【详解】解：
．
31．
【分析】本题主要考查了多项式除以单项式的计算，直接根据多项式除以单项式的计算法则求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
32．
【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，直接根据多项式除以单项式的计算法则求解即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
33．
【分析】本题主要考查了整式的混合运算，根据积的乘方和同底数幂的乘除法可以解答本题．
【详解】解：
．
34．
【分析】先根据整式的乘除运算法则进行化简，再代入即可求解．
【详解】解：原式＝
＝
＝，
当，时，
原式＝
．
【点睛】此题主要考是查整式的化简求值，解题的关键熟知整式的乘除运算法则．
35．2
【分析】本题考查了整式的混合运算的应用，先算乘方，再算乘法，最后算除法即可．
【详解】解：
．
36．
【分析】本题主要考查了整式的运算，根据多项式除以单项式，然后合并同类项即可．
【详解】解：原式
37．
【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握整式的混合运算法则是关键．
根据整式的混合运算法则计算即可．
【详解】解：
．
38．
【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方、整式的混合运算，熟练掌握各运算法则是解题关键．先计算积的乘方与幂的乘方、单项式乘单项式、单项式除以单项式，再计算整式的加减法即可得．
【详解】解：原式
．
39．；
【分析】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的运算法则和完全平方公式是解题关键．
先计算括号内的完全平方公式、多项式乘多项式，再计算括号内的整式加减法，然后计算整式的除法，最后根据偶次方的非负性求出 ， 的值，代入计算即可得．
【详解】解：
，
∵，
∴，即，
∴，，解得，，
∴原式
．
40．B
【分析】本题考查了整式的除法．依据整式的除法法则得到，，即可求出m，n．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，
解方程组得，．
故选：B．
41．C
【分析】本题考查幂的运算，根据合并同类项法则、积的乘方法则、同底数幂相除法则逐项判断即可．
【详解】解∶A．，故原计算错误，不符合题意；
B．与不是同类项，不可以合并，故原计算错误，不符合题意；
C．，故原计算正确，符合题意；
D． ，故原计算错误，不符合题意；
故选：C．
42．C
【分析】本题考查同底数幂的除法，零指数幂，同底数幂相除时，底数不变、指数相减；任何一个非零的数的零次幂等于1．由此逐项判断可得答案．
【详解】解：A. ，原计算错误，故此选项不符合题意；
B. ，原计算错误，故此选项不符合题意；
C. ，原计算正确，故此选项符合题意；
D. ，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：C．
43．##
【分析】本题考查了多项式除以单项式，用多项式的每一项除以单项式，即可求解；掌握多项式除以单项式法则是解题的关键．
【详解】解：原式；
故答案为：．
44．
【分析】本题考查了分式的乘除、同底数幂的除法，掌握相关法则是解题的关键．
根据分式的除法法则进行计算即可．
【详解】解：．
故答案为： ．
45．
【分析】本题主要考查多项式除以单项式，根据多项式除以单项式运算法则进行计算即可得出答案．
【详解】解：，
故答案为：．
46．##
【分析】本题考查整式的除法，利用长方形的面积公式和多项式除以单项式的运算法则求解即可．
【详解】解：，
∴该长方形的长为，
故答案为：．
47．8
【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘除法，掌握计算公式是解题的关键．
先根据幂的乘方运算将化为，再根据同底数幂的乘除法化简计算，最后代入求值．
【详解】解：，
故答案为：8．
48．
【分析】本题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据多项式除以单项式的法则计算即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
49．
【分析】本题主要考查多项式除以单项式，熟练掌握多项式除以单项式是解题的关键．
根据多项式除以单项式法则可直接进行求解．
【详解】解：原式．
故答案为：．
50．
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，除法等知识点，解题的关键是准确掌握并运用幂的运算法则．
先根据同底数幂的乘法法则计算，再根据同底数幂的除法法则计算整个式子．
【详解】解：
故答案为：．
51．
【分析】本题考查的是同底数幂的除法，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则；
把看作一个整体，根据同底数幂的除法法则即可得到结果．
【详解】解：
52．
【分析】本题考查的是多项式除以单项式，把多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的和相加即可．
【详解】解：
；
53．
【分析】本题考查了整式的混合运算法，熟练掌握整式运算法则是解题的关键；
根据整式混合运算运算顺序计算即可.
【详解】解：
54．
【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握整式的混合运算法则是关键．
根据整式的混合运算法则计算即可．
【详解】解：
．
55．，
【分析】此题考查了多项式除以单项式的化简求值，解题的关键是掌握以上运算法则．
首先计算多项式除以单项式，然后将代入求解即可．
【详解】
∵
∴原式．
56．，3
【分析】本题主要考查整式的化简求值，解题的关键是掌握以上运算法则．
首先计算括号内单项式除以单项式和括号外积的乘方，然后计算单项式乘以多项式，然后利用平方和绝对值的非负性求出x，y的值，然后将x，y的值代入化简后的式子中即可求解．
【详解】
∵
∴，
∴，
∴原式．
57．，
【分析】本题考查整式化简求值，解题的关键是掌握整式相关的运算法则，把所求式子化简．先根据多项式除单项式和单项式除单项式法则算除法，再合并同类项，化简后将代入计算即可．
【详解】解：
，
当时，
原式．
58．(1)1
(2)①2；②；
【分析】（1）根据新定义可知，和所表示的b、n两个量之间具有同一关系，再计算即可．
（2）①根据，，据此求出算式的值是多少即可．
②首先根据，，求出的值是多少；根据计算即可．
【详解】（1）解：由新定义可得，，
∴；
（2）解：① ；
②∵，
∴；
由题意得，
．
【点睛】此题主要考查了幂的定义，同底数幂的乘法和除法．解答此题的关键还要明确劳格数的含义和应用，要熟练掌握．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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