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2024-2025学年上海市静安区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：（本大题共6题，满分18分）
1．（3分）一次函数的图象在轴上的截距是　　
A．1 B． C． D．
2．（3分）经过点且平行于的直线不经过　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（3分）下列事件中，是随机事件的是　　
A．13个人中至少有两个人的生日是同一个月份
B．标准大气压下温度低于摄氏度，纯净水结成了冰
C．袋中装有8个黄球，3个绿球，2个白球，从中任取一球，然后放回袋中，混合均匀，再取一球．如此反复4次，4次全部取到绿球
D．将长度分别为、、的三根小木条作为三条边，能围成一个三角形
4．（3分）如果关于的一元二次方程无实数根，那么实数、可以满足的条件是　　
A． B． C． D．
5．（3分）已知向量、满足，则　　
A． B． C． D．以上都有可能
6．（3分）双曲线与直线且在一、三象限分别相交于、两点，与直线在一、三象限分别相交于、两点，那么四边形的形状一定是　　
A．矩形
B．菱形
C．正方形
D．非矩形和菱形的任意平行四边形
二、填空题：（本大题共12题，满分36分）
7．（3分）方程的根是　　 ．
8．（3分）方程的根是　　 ．
9．（3分）方程的根是　　 ．
10．（3分）已知方程，如果设，那么原方程变形为关于的整式方程是　　 ．
11．（3分）计算：　　．
12．（3分）如图，地板砖的一部分是由若干四边形和各边相等且各角也相等的六边形镶嵌而成的，那么四边形中的度数是　　 度．
13．（3分）某商品购买价100元，第一年使用后折旧，第二、三年折旧率相同．在第三年末它折旧后的价值是20元，求该商品第二、三年折旧率为 　　 ．
14．（3分）如果，、，是函数图象上不同的两点，那么的计算结果　　 ．（填“”、“ ”、“ ”或“不能确定”
15．（3分）某博物馆有，，三个大门，其中，两门可进可出，门只进不出．上午小海随机选择一个大门进馆，参观结束后，随机选择一个可出的大门出馆，那么这次参观他在同一个大门出入的概率为　　 ．
16．（3分）如图，已知正方形边长为1，如果将边沿着过点的直线翻折后，边恰巧落在对角线上，折痕交边于点，那么的长是　　 ．
17．（3分）如图，△中，，，是边的中点，，，，那么的长是 　　 ．
18．（3分）如图，△中，，，将△绕点旋转到△（点与点对应），且使直线，直线交直线于点，那么的度数为　　 度．
三、解答题：（本大题共8题，满分66分）
19．（6分）解无理方程：．
20．（6分）解方程组：．
21．（6分）在平面直角坐标系中，已知直线分别交轴、轴于、两点（如图所示），直线交轴于点．
（1）点、的坐标，并求出直线位于轴上方所有点的横坐标的取值范围；
（2）现将直线平移，使其经过点，交轴于点，如果，求的值．
22．（8分）小王送外卖比送快递每单多赚2元钱．某段时间内，他送快递赚了1200元，送外卖赚了1500元．已知快递比外卖多送了100单，求送快递每单赚多少钱？
23．（8分）操作
现有两张完全相同的长方形纸条，它们的长为25厘米，宽为5厘米，将其交叠摆放（如图所示），使它们对角线的交点重合．现固定其中一张纸片，将另一张纸片绕对角线交点旋转一定角度，使它们的重叠部分始终形成四边形．
（1）重叠部分四边形是什么形状的四边形？请说明理由．
（2）重叠部分图形的最小面积和最大面积分别是多少？
请直接填写：最小面积　　，最大面积　　．
24．（10分）从火车站至人民广场，地铁列车在非高峰时段时），相邻班次之间的间隔时间均为6分钟；高峰时段时和时），相邻班次间隔时间（分钟）随时刻（时变化而变化，分别可以近似看成是关于的一次函数关系，已知每天9时和17时的地铁相邻班次间隔时间都是5分钟（图象如图所示）．
（1）请分别将每天时三个时段，相邻班次的间隔时间（分钟）关于某一时刻（时的函数解析式填入表内．
时段 峰段 （分钟）关于（时的函数解析式
时 高峰段
时 非高峰段
时 高峰段
（2）游客从火车站赴人民广场附近某商场，可选择先乘地铁7分钟至人民广场站，假设地铁平均候车时间为相邻班次间隔时间的一半（即，然后再步行10分钟到达商场；游客也可选择乘出租车直接到达商场，高峰时段用时19分钟，非高峰时段用时14分钟．如果游客在上午时之间到达火车站（火车站到地铁站或出租点时间忽略不计），为了尽快抵达商场，请为游客选择出行方案，并分析说明理由．
25．（10分）平行四边形中，、分别在、上，联结、交于点，联结、交于点，四边形是矩形．
（1）如图1，联结，如果，求证：①；②；
（2）如图2，若，，且，又，用含、的代数式表示的长．请直接写出结果： 　　 ．
26．（12分）如图1，四边形中，，，且，．
（1）求证：四边形是等腰梯形；
（2）如图2，设、相交于点，点在上，，联结，求证：；
（3）如果，，，求关于的函数解析式，并写出定义域．
参考答案
一、选择题（共6题，满分18分）
1．（3分）一次函数的图象在轴上的截距是　　
A．1 B． C． D．
解：由题意，一次函数为，
令，则．
一次函数的图象在轴上的截距是．
故选：．
2．（3分）经过点且平行于的直线不经过　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：由题意，所求直线平行于，
可设所求直线为．
又所求直线过，
．
．
所求直线为．
该直线经过第二、三、四象限．
经过点且平行于的直线不经过第一象限．
故选：．
3．（3分）下列事件中，是随机事件的是　　
A．13个人中至少有两个人的生日是同一个月份
B．标准大气压下温度低于摄氏度，纯净水结成了冰
C．袋中装有8个黄球，3个绿球，2个白球，从中任取一球，然后放回袋中，混合均匀，再取一球．如此反复4次，4次全部取到绿球
D．将长度分别为、、的三根小木条作为三条边，能围成一个三角形
解：．选项事件是必然事件，不符合题意；
．选项事件是必然事件，不符合题意；
．选项事件是随机事件，符合题意；
．选项事件是不可能事件，不符合题意．
故选：．
4．（3分）如果关于的一元二次方程无实数根，那么实数、可以满足的条件是　　
A． B． C． D．
解：，方程为，
△，
一元二次方程无实数根，
，
在选项、、、中，仅选项符合上述条件．
故选：．
5．（3分）已知向量、满足，则　　
A． B． C． D．以上都有可能
解：若向量、满足，
可得：，或，或，
故选：．
6．（3分）双曲线与直线且在一、三象限分别相交于、两点，与直线在一、三象限分别相交于、两点，那么四边形的形状一定是　　
A．矩形
B．菱形
C．正方形
D．非矩形和菱形的任意平行四边形
解：双曲线与直线且在一、三象限分别相交于、两点，与直线在一、三象限分别相交于、两点，
，，
四边形是平行四边形，
由，解得，
，，，，
同理，，，，
，
，
四边形是矩形，
和过一、三象限，
与不会垂直，
四边形不会是菱形和正方形，
故选：．
二、填空题：（本大题共12题，满分36分）
7．（3分）方程的根是　　 ．
解：，
，
故答案为：．
8．（3分）方程的根是　　 ．
解：，
方程两边同时乘，得，
解得：，
经检验，是分式方程的增根，是分式方程的解．
故答案为：．
9．（3分）方程的根是　　 ．
解：两边平方得：，
解得或，
经检验，是原方程的增根，是原方程的解，
原方程的解为；
故答案为：．
10．（3分）已知方程，如果设，那么原方程变形为关于的整式方程是　　 ．
解：已知方程，
设，
则原方程化为，
整理得：，
故答案为：．
11．（3分）计算：　　．
解：．
故答案为．
12．（3分）如图，地板砖的一部分是由若干四边形和各边相等且各角也相等的六边形镶嵌而成的，那么四边形中的度数是　60　 度．
解：根据正六边形内角和定理可知，
，
，
故答案为：60．
13．（3分）某商品购买价100元，第一年使用后折旧，第二、三年折旧率相同．在第三年末它折旧后的价值是20元，求该商品第二、三年折旧率为 　　 ．
解：设该商品第二、三年折旧率为，
由题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
即该商品第二、三年折旧率为．
故答案为：．
14．（3分）如果，、，是函数图象上不同的两点，那么的计算结果　　 ．（填“”、“ ”、“ ”或“不能确定”
解：由题知，
因为一次函数解析式为，
则随的增大而减小．
当时，，
则；
当时，，
则；
综上所述，则．
故答案为：．
15．（3分）某博物馆有，，三个大门，其中，两门可进可出，门只进不出．上午小海随机选择一个大门进馆，参观结束后，随机选择一个可出的大门出馆，那么这次参观他在同一个大门出入的概率为　　 ．
解：列表如下：
共有6种等可能的结果，其中这次参观他在同一个大门出入的结果有2种，
这次参观他在同一个大门出入的概率为．
故答案为：．
16．（3分）如图，已知正方形边长为1，如果将边沿着过点的直线翻折后，边恰巧落在对角线上，折痕交边于点，那么的长是　　 ．
解：已知正方形边长为1，将边沿着过点的直线翻折后，边恰巧落在对角线上，设点的对应点为点，连接，如图，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
由折叠的性质得：，
，
，
，
故答案为：．
17．（3分）如图，△中，，，是边的中点，，，，那么的长是 　1　 ．
解：如图，延长，交于，
，
，
，，
，
在△和△中，
，
△△，
，，
，
，，
是△的中位线，
，
故答案为：1．
18．（3分）如图，△中，，，将△绕点旋转到△（点与点对应），且使直线，直线交直线于点，那么的度数为　15或105　 度．
解：将△绕点旋转到△（点与点对应），当点与点的左侧时，如图1，
，，，
，
，，
，
，，
，
，
，
；
将△绕点旋转到△（点与点对应），当点与点的右侧时，如图2，延长交于点，
，，，
，
，，
，
，，
，
，
，
；
综上所述，的度数为或．
故答案为：15或105．
三、解答题：（本大题共8题，满分66分）
19．（6分）解无理方程：．
解：移项得：，
两边平方得：，
解得或，
经检验，是原方程的增根，是原方程的解，
原方程的解为．
20．（6分）解方程组：．
解：由①得：③，
把③代入①得：，
，
或，
解得，，
当时，，
当时，；
原方程组的解为或．
21．（6分）在平面直角坐标系中，已知直线分别交轴、轴于、两点（如图所示），直线交轴于点．
（1）点、的坐标，并求出直线位于轴上方所有点的横坐标的取值范围；
（2）现将直线平移，使其经过点，交轴于点，如果，求的值．
解：（1）由题意，直线分别交轴、轴于、两点，
令，则，故为；令，则，故为．
又直线交轴于点，
当时，，则．
，
直线的图象从左到右逐渐上升．
直线位于轴上方所有点的横坐标的取值范围为．
（2）由题意，设平移后直线，
，且在轴上，
结合为，则为．
平移后经过、两点，
．
．
22．（8分）小王送外卖比送快递每单多赚2元钱．某段时间内，他送快递赚了1200元，送外卖赚了1500元．已知快递比外卖多送了100单，求送快递每单赚多少钱？
解：设送快递每单赚元钱，则送外卖每单赚元钱，
由题意得：，
解得：，，
经检验，，都是原方程的解，但不符合题意，舍去，
答：送快递每单赚3元钱．
23．（8分）操作
现有两张完全相同的长方形纸条，它们的长为25厘米，宽为5厘米，将其交叠摆放（如图所示），使它们对角线的交点重合．现固定其中一张纸片，将另一张纸片绕对角线交点旋转一定角度，使它们的重叠部分始终形成四边形．
（1）重叠部分四边形是什么形状的四边形？请说明理由．
（2）重叠部分图形的最小面积和最大面积分别是多少？
请直接填写：最小面积　25　 ，最大面积　　．
解：（1）四边形是菱形，
理由：过点作于，于，
两条纸条宽度相同，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
又，
，
四边形是菱形；
（2）宽为5厘米，
厘米，
设厘米，
菱形的面积，
，
菱形的面积随的增大而增大，
长为25厘米，
，
当时，菱形的面积最小为（平方厘米），
当时，菱形的面积最大为（平方厘米），
故答案为：25，125．
24．（10分）从火车站至人民广场，地铁列车在非高峰时段时），相邻班次之间的间隔时间均为6分钟；高峰时段时和时），相邻班次间隔时间（分钟）随时刻（时变化而变化，分别可以近似看成是关于的一次函数关系，已知每天9时和17时的地铁相邻班次间隔时间都是5分钟（图象如图所示）．
（1）请分别将每天时三个时段，相邻班次的间隔时间（分钟）关于某一时刻（时的函数解析式填入表内．
时段 峰段 （分钟）关于（时的函数解析式
时 高峰段
时 非高峰段
时 高峰段
（2）游客从火车站赴人民广场附近某商场，可选择先乘地铁7分钟至人民广场站，假设地铁平均候车时间为相邻班次间隔时间的一半（即，然后再步行10分钟到达商场；游客也可选择乘出租车直接到达商场，高峰时段用时19分钟，非高峰时段用时14分钟．如果游客在上午时之间到达火车站（火车站到地铁站或出租点时间忽略不计），为了尽快抵达商场，请为游客选择出行方案，并分析说明理由．
解：（1）时，设，
，
解得：，
；
时，；
时设，
，
解得：，
，
故答案为：，，；
（2）①游客在上午时之间到达火车站．
乘地铁到商场需要时间为：，
Ⅰ，
，
当时，，
时，选择出租车能尽快抵达商场；
Ⅱ，
，
当时，，
时，选择地铁和出租车抵达商场用时相同；
Ⅲ，
，
当时，，
时，选择地铁能尽快抵达商场；
②游客在上午时之间到达火车站．
乘地铁到商场需要时间为：（分，
乘出租车直接到达商场用时14分，
，
选择出租车能尽快抵达商场．
综上：时，选择地铁能尽快抵达商场；
时，选择地铁和出租车抵达商场用时相同；
时，选择出租车能尽快抵达商场．
25．（10分）平行四边形中，、分别在、上，联结、交于点，联结、交于点，四边形是矩形．
（1）如图1，联结，如果，求证：①；②；
（2）如图2，若，，且，又，用含、的代数式表示的长．请直接写出结果： 　　 ．
【解答】（1）证明：①连接，如图1所示：
四边形是矩形，
，，
即，，
又，
，，
四边形及都是平行四边形，
，，
；
②由①得，为中点，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
同理可得为中点，
，
，
四边形为平行四边形，
四边形是矩形，
，即，
四边形是菱形，
，
；
（2）解：如图所示：过点作于点，于点，
则，
中，
四边形为平行四边形，
，
，
△△，
，
，
△△，
，，
，
，即，
矩形中，
，
△与△为等腰直角三角形，
，，
，，
．
故答案为：．
26．（12分）如图1，四边形中，，，且，．
（1）求证：四边形是等腰梯形；
（2）如图2，设、相交于点，点在上，，联结，求证：；
（3）如果，，，求关于的函数解析式，并写出定义域．
【解答】（1）证明：在上取点，使，连接，
，
．
，
，
又，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
四边形是等腰梯形．
（2）证明：，
，
，
，
，
，
，
，
又四边形是等腰梯形，
，
，
，
又，
，
△△，
，
，
．
（3）解：在上取点，使，
，，
，
作，得，
设，
在△和△中，
由得，，，
，定义域为．

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