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2024-2025学年上海市青浦区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【每题只有一个正确选项，在答题纸相应位置填涂】
1．（4分）下列函数中，函数值随的增大而减小的是　　
A． B． C． D．
2．（4分）下列方程中，有实数根的是　　
A． B． C． D．
3．（4分）如图，在梯形中，，过点作交于点，下列结论不正确的是　　
A． B． C． D．
4．（4分）下列事件属于必然事件的是　　
A．蜡烛在没有氧气的瓶中燃烧
B．任意选取两个非零实数，它们的积为正
C．10只鸟关在4个笼子里，至少有一个笼子关的鸟超过3只
D．从长度为、、、的4根小木条中，任取3根为边能拼成一个三角形
5．（4分）对于某个一次函数，根据下面两位同学的对话得出的结论，正确的是　　
A． B． C． D．
6．（4分）在四边形中，，、交于点，下列说法错误的是　　
A．如果，，那么四边形是矩形
B．如果，，那么四边形是矩形
C．如果，，那么四边形是菱形
D．如果，，那么四边形是菱形
二、填空题（本大题共12题，每小题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】
7．（4分）直线的截距是　　 ．
8．（4分）已知函数，如果函数值，那么的取值范围是　　 ．
9．（4分）一次函数，如果函数值随自变量的值增大而减小，那么的取值范围是　　 ．
10．（4分）关于的方程有无数解，则、满足的条件是 　　．
11．（4分）方程的根是　　 ．
12．（4分）用换元法解分式方程时，如果设，将原方程化为关于的整式方程，那么这个整式方程是　　 ．
13．（4分）化简：　 　．
14．（4分）已知点、、、分别为菱形四边、、、的中点，如果，，那么四边形的面积为　　 ．
15．（4分）在一个袋子中装有除颜色外其它完全相同的3个红球和2个白球，如果从中随机摸出两个球，那么摸到的两个球颜色相同的概率是　　 ．
16．（4分）一列火车到某站已经晚点6分钟，如果将速度每小时加快10千米，那么继续行驶20千米便可以在下一站正点到达．如果设列车原来行驶的速度为千米时，那么根据题意，列出的方程为　　 ．
17．（4分）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图象的“阶方点”．例如：点是函数图象的“阶方点”；点是函数图象的“2阶方点”．如果关于的一次函数图象的“2阶方点”有且只有一个，那么的值为　　 ．
18．（4分）将平行四边形（如图）绕点旋转后，点落在边上，点的对应点为点，且点、、在一直线上．如果，，那么△的周长为 　　 ．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）解方程：．
20．（10分）解方程组：．
21．（10分）如图，在边长为2的正方形中，点为边的中点，点在边上，垂直平分线段，垂足为点，求的长．
22．（10分）某超市购入一批进价为20元盒的绿色食品进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量（盒与销售单价（元是一次函数关系，如表是与的几组对应值．
销售单价（元 22 24 26 28 30
日销售量（盒 56 52 48 44 40
（1）求关于的函数解析式；
（2）如果销售该绿色食品的日利润为400元，那么销售单价定为多少元？
23．（12分）已知：如图，在平行四边形中，点、分别是边、的中点，、与对角线分别相交于点、，联结、．
（1）求证：；
（2）当时，求证：四边形是菱形．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）将直线向上平移后与反比例函数在第一象限内的图象相交于点，且△的面积为18，求平移后的直线的表达式；
（3）在（2）的条件下，点是坐标平面内一点，当四边形是等腰梯形时，请直接写出点的坐标．
25．（14分）在矩形中，，，点、分别在边、上，．将△沿直线翻折得△，联结．
（1）如图1，当时，求证：；
（2）如图2，当时，求△的面积；
（3）当△为等腰三角形时，求线段的长．
参考答案
一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）.
1．（4分）下列函数中，函数值随的增大而减小的是　　
A． B． C． D．
解：、反比例函数中，，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内随的增大而减小，不符合题意；
、一次函数中，，函数值随的增大而减小，符合题意；
、二次函数中，，函数值随的增大而增大，不符合题意；
、中，的值是不变的，不符合题意．
故选：．
2．（4分）下列方程中，有实数根的是　　
A． B． C． D．
解：由去分母得：，
经检验，是原方程的解，故符合题意；
根的判别式△，
无实数解，故不符合题意；
，
，
无实数解，故不符合题意；
，
，
无实数解，故不符合题意；
故选：．
3．（4分）如图，在梯形中，，过点作交于点，下列结论不正确的是　　
A． B． C． D．
解：如图，连接，，
，，
四边形是平行四边形，
又是对角线，
，故选项正确；
，
故选项正确；
四边形是平行四边形，
，
，
故选项正确；
由已知无法得出选项中结论，
故选项错误；
故选：．
4．（4分）下列事件属于必然事件的是　　
A．蜡烛在没有氧气的瓶中燃烧
B．任意选取两个非零实数，它们的积为正
C．10只鸟关在4个笼子里，至少有一个笼子关的鸟超过3只
D．从长度为、、、的4根小木条中，任取3根为边能拼成一个三角形
解：、蜡烛在没有氧气的瓶中燃烧是不可能事件，故该项不正确，不符合题意；
、任意选取两个非零实数，它们的积为正是随机事件，故该项不正确，不符合题意；
、10只鸟关在4个笼子里，至少有一个笼子关的鸟超过3只是随机事件，故该项不正确，不符合题意；
、从长度为、、、的4根小木条中，任取3根为边能拼成一个三角形是必然事件，故该项正确，符合题意；
故选：．
5．（4分）对于某个一次函数，根据下面两位同学的对话得出的结论，正确的是　　
A． B． C． D．
解：由两位同学的对话可知，一次函数的大致图象如图所示，
由函数图象可知，
随的增大而减小，
所以．
故选项不符合题意．
因为一次函数与轴交于负半轴，
所以，
所以．
故选项不符合题意．
当时，函数值小于零，
所以．
故选项符合题意．
将点代入一次函数解析式得，
，
所以．
故选项不符合题意．
故选：．
6．（4分）在四边形中，，、交于点，下列说法错误的是　　
A．如果，，那么四边形是矩形
B．如果，，那么四边形是矩形
C．如果，，那么四边形是菱形
D．如果，，那么四边形是菱形
解：、，，
，
，
，
，
四边形是矩形，不符合题意；
、，，，那么四边形不一定是矩形，也可以是等腰梯形，错误，符合题意；
、，，，那么四边形是菱形，正确，不符合题意；
、，，，那么四边形是菱形，正确，不符合题意．
故选：．
二、填空题（本大题共12题，每小题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】
7．（4分）直线的截距是　　 ．
解：当时，，
直线的截距是．
故答案为：．
8．（4分）已知函数，如果函数值，那么的取值范围是　　 ．
解：当时，，
解得：，
的取值范围是．
故答案为：．
9．（4分）一次函数，如果函数值随自变量的值增大而减小，那么的取值范围是　　 ．
解：一次函数，函数值随自变量的值增大而减小，
，
解得．
故答案为：．
10．（4分）关于的方程有无数解，则、满足的条件是 　　．
解：当时，方程有唯一解；当，时，方程无解；当时，方程有无数解；
故关于的方程有无数解，则、满足的条件是；
故答案为：．
11．（4分）方程的根是　　 ．
解：两边平方得：，
，
解得或，
经检验，是原方程的解，是原方程的增根，
原方程的解为，
故答案为：．
12．（4分）用换元法解分式方程时，如果设，将原方程化为关于的整式方程，那么这个整式方程是　　 ．
解：设，则，
原方程可变为：，
两边都乘以得，，
故答案为：．
13．（4分）化简：　　．
解：．
故答案为：．
14．（4分）已知点、、、分别为菱形四边、、、的中点，如果，，那么四边形的面积为　　 ．
解：四边形是菱形，，，
，，，，
，，
，，
点、、、分别为菱形四边、、、的中点，
，，，，
四边形是平行四边形，，
，
四边形是矩形，
四边形的面积，
故答案为：．
15．（4分）在一个袋子中装有除颜色外其它完全相同的3个红球和2个白球，如果从中随机摸出两个球，那么摸到的两个球颜色相同的概率是　　 ．
解：画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中摸出的两个球颜色相同的结果有种，
随机摸出两个球，两个球颜色相同的概率为．
故答案为：．
16．（4分）一列火车到某站已经晚点6分钟，如果将速度每小时加快10千米，那么继续行驶20千米便可以在下一站正点到达．如果设列车原来行驶的速度为千米时，那么根据题意，列出的方程为　　 ．
解：设火车原来行驶的速度是千米小时，
根据题意得：，
故答案为：．
17．（4分）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图象的“阶方点”．例如：点是函数图象的“阶方点”；点是函数图象的“2阶方点”．如果关于的一次函数图象的“2阶方点”有且只有一个，那么的值为　或　 ．
解：，
函数经过定点，
在以为中心，边长为4的正方形中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，
由图可知，，，
一次函数图象的“2阶方点”有且只有一个，
当直线经过点时，，
解得，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，
当直线经过点时，，
解得，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，
综上所述：的值为或．
故答案为：或．
18．（4分）将平行四边形（如图）绕点旋转后，点落在边上，点的对应点为点，且点、、在一直线上．如果，，那么△的周长为 　　 ．
解：如图，设的对应点为，过点作于点，
由题意可得：，，
点、、在一直线上，，，
，，
，
，
，
，，
，
，
△的周长为：，
故答案为：．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）解方程：．
解：原方程去分母得：，
整理得：，
解得：或，
经检验，是分式方程的增根，
故原方程的解为．
20．（10分）解方程组：．
解：由②得：，
或，
或，
把代入①得：，
解得，
，
；
把代入①得：，
解得，
，
；
原方程组的解为，．
21．（10分）如图，在边长为2的正方形中，点为边的中点，点在边上，垂直平分线段，垂足为点，求的长．
解：连接，，如图所示：
四边形是正方形，且边长为2，
，，
点是的中点，
，
设，则，
垂直平分线段，
，
在△中，由勾股定理得：，
在△中，由勾股定理得：，
，
，
解得：，
．
22．（10分）某超市购入一批进价为20元盒的绿色食品进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量（盒与销售单价（元是一次函数关系，如表是与的几组对应值．
销售单价（元 22 24 26 28 30
日销售量（盒 56 52 48 44 40
（1）求关于的函数解析式；
（2）如果销售该绿色食品的日利润为400元，那么销售单价定为多少元？
解：（1）设关于的函数解析式为，
将，代入得：，
解得：，
关于的函数解析式为；
（2）根据题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：销售单价定为30或40元．
23．（12分）已知：如图，在平行四边形中，点、分别是边、的中点，、与对角线分别相交于点、，联结、．
（1）求证：；
（2）当时，求证：四边形是菱形．
【解答】证明：（1）四边形是平行四边形，
，，
点、分别是边、的中点，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，，
，
，
，
△△，
，
；
（2）连接，
由（1）知，，，
四边形是平行四边形，
点、分别是边、的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是菱形．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）将直线向上平移后与反比例函数在第一象限内的图象相交于点，且△的面积为18，求平移后的直线的表达式；
（3）在（2）的条件下，点是坐标平面内一点，当四边形是等腰梯形时，请直接写出点的坐标．
解：（1）由条件可得：，
解得，
所以，
把点坐标代入得：，
所以反比例函数关系式是；
（2）过点作轴，交线段于点，
设平移后的直线的解析式是，
点在直线上，在直线上，
可设，则，则
，
，
，
解得：，
平移后的直线的函数关系式是；
（3）如图：当，时，
联立解得：舍去），
当时，
点点的坐标为：，
设，
，，
，
解得或，
或；
当，时，
，，
直线的解析式是，
，
直线的解析式是，
设点，
，
解得：，（舍去，此时四边形是平行四边形），
；
综上，的坐标为或或．
25．（14分）在矩形中，，，点、分别在边、上，．将△沿直线翻折得△，联结．
（1）如图1，当时，求证：；
（2）如图2，当时，求△的面积；
（3）当△为等腰三角形时，求线段的长．
【解答】（1）证明：四边形是矩形，
，
将△沿直线翻折得△，
，，，
又，，
，
，
，，
，
，
又，
△△，
，
；
（2）解：如图，过点作于点，
，，
，
又，，
△△，
，
由折叠可知，
同（1）可得△△，
，
；
（3）解：当△为等腰三角形时，分三种情况讨论，
①当时，如图，过点作于点，则四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
在上，
设，则，
折叠，
，
，
，
在△中，，
，
此方程无解，故此情形不存在；
②当时，设，则，
折叠，
，
在△中，，
即，
解得：；
③当时，过点作于点，
，
同（1）可得△△，
，
；
综上所述，当△为等腰三角形时，线段的长为或．

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