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宝山区2024-2025学年第二学期高二年级数学期末
2025.6
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．抛物线的焦点坐标是 ．
2．等差数列中，2和8的等差中项为 ．
3．经过点且斜率为1的直线方程为 ．
4．已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是 ．
5．已知直线和互相垂直，则实数 ．
6．已知数列中，，则其前项和 ．
7．已知各项均为正数的等比数列满足，则 ．
8．若双曲线的渐近线与圆相切，则 ．
9．已知是抛物线上的一个动点，则到的距离与到准线的距离之和的最小值为 ．
10．在平面上有如下命题：＂若为直线外一点，则点在直线上的充要条件是：存在实数，满足，且．＂将该命题类比到空间中，并解决以下问题：正四面体的棱长为为底面内一点，且满足，其中为实数，则 ．
11．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线交的左支于两点．若（为坐标原点），且点到直线的距离为，则该双曲线的两条渐近线的夹角为 ．
12．数列满足，若，且，则的最大值为 ．
二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）.
13．已知平面的法向量为，则直线和平面的位置关系是（ ）.
A． B． C． D．与相交但不垂直
14．已知直线和曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
15．已知函数的对应关系如图所示，若数列满足，且对任意正整数均有，则的值为（ ）.
A．1 B．2 C．4 D．5
16．平面直角坐标系中，将直线绕着轴旋转一周后形成一个曲面，用一不过原点的平面截该曲面．设平面与轴所成的角为，若平面与曲面相截得到的平面曲线为椭圆，则的范围是（ ）.
A． B． C． D．
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）.
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知直线．
（1）证明：对任意实数，直线都经过一个定点；
（2）若直线在轴、轴上截距相等，求直线的方程．
18．（本题满分14分，第1小题满分5分，第2小题满分9分）
已知数列中，；数列为等差数列，且满足：.
（1）求证：数列为等比数列，并写出数列的通项公式；
（2）令，若数列为严格减数列，求实数的取值范围．
19．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题（1）满分5分，第2小题（2）满分7分）
如果与是不共面的向量，那么对于空间中任意一个向量，存在唯一的一组实数与，使得.其中的称为向量的一个基，系数称为向量在基下的坐标.
已知分别是空间中两两互相垂直的单位向量，向量在基下的坐标为，且是空间中的另一个基．
（1）求向量在基下的坐标；
（2）若向量在基下的坐标为，向量与共线，且．
①求向量在基下的坐标；
②若向量在基下的坐标为，且与的夹角为锐角，将的起点平移至同一点后，以为邻边的三角形区域绕旋转一周得到旋转体，求的体积.
20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分）
如图，棱长为2的正方体中，分别为的中点，点是平面上的点．
（1）若点是的中点，证明：与共面；
（2）求平面与平面所成的锐二面角的大小；
（3）若点满足，且点到平面的距离为，试确定点的位置，使得与平面所成的角取得最大值．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知椭圆经过点.
（1）若椭圆的焦距为，求椭圆的方程；
（2）为椭圆的右焦点，过点作轴的垂线与椭圆在第一象限交于点，点与点关于原点对称，连接，当取得最大值时，求椭圆的离心率；
（3）若椭圆经过点，点是椭圆上的动点，直线与椭圆交于两点，为的中点，且满足，则的面积是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由.
宝山区2024-2025学年第二学期高一年级数学期末
2025.6
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．抛物线的焦点坐标是 ．
【答案】
2．等差数列中，2和8的等差中项为 ．
【答案】
3．经过点且斜率为1的直线方程为 ．
【答案】
4．已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是 ．
【答案】
5．已知直线和互相垂直，则实数 ．
【答案】
6．已知数列中，，则其前项和 ．
【答案】
7．已知各项均为正数的等比数列满足，则 ．
【答案】
8．若双曲线的渐近线与圆相切，则 ．
【答案】
9．已知是抛物线上的一个动点，则到的距离与到准线的距离之和的最小值为 ．
【答案】
10．在平面上有如下命题：＂若为直线外一点，则点在直线上的充要条件是：存在实数，满足，且．＂将该命题类比到空间中，并解决以下问题：正四面体的棱长为为底面内一点，且满足，其中为实数，则 ．
【答案】
11．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线交的左支于两点．若（为坐标原点），且点到直线的距离为，则该双曲线的两条渐近线的夹角为 ．
【答案】
12．数列满足，若，且，则的最大值为 ．
【答案】
二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）.
13．已知平面的法向量为，则直线和平面的位置关系是（ ）.
A． B． C． D．与相交但不垂直
【答案】
14．已知直线和曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】
15．已知函数的对应关系如图所示，若数列满足，且对任意正整数均有，则的值为（ ）.
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】
16．平面直角坐标系中，将直线绕着轴旋转一周后形成一个曲面，用一不过原点的平面截该曲面．设平面与轴所成的角为，若平面与曲面相截得到的平面曲线为椭圆，则的范围是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）.
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知直线．
（1）证明：对任意实数，直线都经过一个定点；
（2）若直线在轴、轴上截距相等，求直线的方程．
【答案】（1）证明见解析 （2）或
【解析】（1）将直线
整理得对任意实数都成立，（3分）
所以，解得，所以对任意实数，直线都经过一个定点（6分）
（2）由已知条件可知，求得直线与轴、轴的交点分别为,（8分）
则有，化简得
当时，直线的方程为，（11分）
当时，直线的方程为，（14分）
所以直线的方程为或．
18．（本题满分14分，第1小题满分5分，第2小题满分9分）
已知数列中，；数列为等差数列，且满足：.
（1）求证：数列为等比数列，并写出数列的通项公式；
（2）令，若数列为严格减数列，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】（1）数列中当时，由得：，又，
从而为等比数列，公比为2，首项（3分）
得到．所以数列的通项公式为 （5分）
（2）数列中，，则解得，（7分）
所以的通项公式为（9分）
.（11分）
已知数列为严格减数列，则对任意正整数都成立
即．
化简得对任意正整数都成立（13分），所以（14分）.
19．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题（1）满分5分，第2小题（2）满分7分）
如果与是不共面的向量，那么对于空间中任意一个向量，存在唯一的一组实数与，使得.其中的称为向量的一个基，系数称为向量在基下的坐标.
已知分别是空间中两两互相垂直的单位向量，向量在基下的坐标为，且是空间中的另一个基．
（1）求向量在基下的坐标；
（2）若向量在基下的坐标为，向量与共线，且．
①求向量在基下的坐标；
②若向量在基下的坐标为，且与的夹角为锐角，将的起点平移至同一点后，以为邻边的三角形区域绕旋转一周得到旋转体，求的体积.
【答案】（1） （2）①或 ②
【解析】（1）设向量在基下的坐标为，
则
因为可得方程组，解得，（3分）
所以向量在基下的坐标为（4分）
（2）①向量在基下的坐标为，
即（5分），则（6分）
因为向量与共线，可设，
，解得．
所以在基下的坐标为或（9分）
（2），
因为与的夹角为锐角，从而，所以（10分），
在上的投影大小为（12分），
以为邻边的三角形区域以为轴旋转一周得到的旋转体是两个同底的圆锥，
该圆锥的半径（14分）
两个圆锥的高为，所以旋转体的体积为（16分）
20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分）
如图，棱长为2的正方体中，分别为的中点，点是平面上的点．
（1）若点是的中点，证明：与共面；
（2）求平面与平面所成的锐二面角的大小；
（3）若点满足，且点到平面的距离为，试确定点的位置，使得与平面所成的角取得最大值．
【答案】（1）证明见解析 （2） （3）时，取得最大值．
【解析】（1）因为且
（2分）
所以（4分）
因此与共面．
（2）以点为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图空间直角坐标系，
则，
所以（5分）
设平面的一个法向量为，则，令，则，
所以平面的一个法向量为（7分），平面的一个法向量是
设平面与平面所成的二面角为，则（8分）
所以平面与平面所成的锐二面角的大小为（9分）
（3）
从而点G到平面的距离为，由
设与平面所成角为，
则（13分）
令，则，（当时取等号），所以，因为严格增，
所以当时，与平面所成的角取得最大值，（15分）
此时．即时，与平面所成的角取得最大值（16分）
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知椭圆经过点.
（1）若椭圆的焦距为，求椭圆的方程；
（2）为椭圆的右焦点，过点作轴的垂线与椭圆在第一象限交于点，点与点关于原点对称，连接，当取得最大值时，求椭圆的离心率；
（3）若椭圆经过点，点是椭圆上的动点，直线与椭圆交于两点，为的中点，且满足，则的面积是否为定值？若是，请求出该值；若不是，请说明理由.
【答案】（1） （2） （3）是，的面积为定值．
【解析】（1）由已知条件可知，从而（2分）
所以椭圆的方程为（2分）
（2）设，则，则
从而，设直线的倾斜角分别为，则
当且仅当即时取等号．（8分）
此时，即，所以，
从而解得（舍负）
所以当取得最大值时，椭圆的离心率为（10分）
（3）由已知椭圆经过点、可得
从而椭圆的方程，（11分）
①当直线与轴不垂直时，设，
联立方程组得，
由题意可知，
设，则，
所以
（13分）
由可知
设，则有
因为点，在椭圆上，
所以整理得上，
此时
点到直线的距离（16分）
所以的面积
（17分）
②当直线与轴垂直时，
，
综上可知，的面积为定值．

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