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(共30张PPT)
1.2.1 数轴
第1章 有理数
【2024新教材】湘教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
1.2.1 数轴教案
一、教学目标
（一）知识与技能目标
学生能够精准理解数轴的概念，清晰掌握数轴的三要素（原点、正方向、单位长度），并能准确阐述其含义与作用。
熟练掌握数轴的画法，能根据给定的有理数在数轴上准确找到对应的点，同时也能说出数轴上的点所表示的有理数，实现数与形的初步结合。
理解所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，初步感受数轴上点与数的对应关系，为后续学习实数与数轴的关系奠定基础。
（二）过程与方法目标
通过观察温度计、刻度尺等生活实例，引导学生经历从实际问题中抽象出数轴概念的过程，有效提升学生的数学抽象能力和建模能力。
在探索有理数与数轴上点的对应关系过程中，培养学生的观察、分析和归纳能力，强化数形结合思想的运用，提高学生运用数学方法解决问题的能力。
（三）情感态度与价值观目标
让学生充分体会数学与生活的紧密联系，感受数学知识的趣味性和实用性，激发学生学习数学的浓厚兴趣和积极性。
在自主探索与合作交流的学习过程中，培养学生勇于探索、敢于创新的精神，增强学生学习数学的自信心和团队协作意识。
二、教学重难点
（一）教学重点
深入理解数轴的概念，熟练掌握数轴的三要素及其重要性。
准确掌握有理数在数轴上的表示方法，理解数轴上点与有理数之间的对应关系。
（二）教学难点
理解数轴上的点与有理数之间并非一一对应（后续会学习无理数，完善数与点的对应关系），体会数与形之间的辩证关系。
能够在实际问题中灵活运用数轴解决问题，特别是利用数轴比较有理数的大小（后续重点学习，但在本节需初步渗透）。
三、教学方法
讲授法、直观演示法、小组合作探究法、练习法相结合
四、教学过程
（一）情境导入（5 分钟）
生活实例引入：同学们，在日常生活中，我们经常会用到温度计来测量温度，温度计上的刻度可以清晰地显示出温度的高低；还有刻度尺，它能帮助我们测量物体的长度。（展示温度计和刻度尺的图片）大家思考一下，温度计上的刻度和刻度尺上的刻度排列有什么共同特点呢？
提出问题引导思考：如果我们把温度计横放，能不能像温度计表示温度、刻度尺表示长度一样，用一条直线上的点来表示有理数呢？今天我们就来学习一种新的数学工具 —— 数轴，看看它是如何实现这一功能的。（板书课题：1.2.1 数轴）
（二）新课讲授（20 分钟）
数轴的概念与三要素
概念讲解：（展示画好的数轴）像这样，规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。原点是数轴的基准点，通常用点\(O\)表示；正方向一般规定向右为正方向，用箭头表示；单位长度则是根据实际需要选取适当的长度作为单位长度，比如\(1\)厘米、\(1\)分米等，在数轴上，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次表示\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(\cdots\)；从原点向左每隔一个单位长度取一点，依次表示\(-1\)，\(-2\)，\(-3\)，\(\cdots\) 。
深入剖析三要素：组织学生小组讨论数轴三要素的作用，每个小组派代表发言。教师总结强调：原点是确定数的位置的基准，没有原点就无法确定数的起始位置；正方向决定了数的排列顺序，规定了正方向才能明确数的增大或减小方向；单位长度是衡量数的大小的标准，不同的单位长度会影响数轴上点的疏密程度，但不影响数的本质。只有同时具备这三个要素，才能构成数轴。
数轴的画法
分步演示：教师在黑板上分步示范画数轴的过程。
画一条水平的直线（一般画水平直线，也可根据需要画竖直或其他方向的直线）。
在直线上选取一点作为原点，并用点\(O\)表示。
确定正方向，通常规定向右为正方向，在直线的右端画一个箭头表示正方向。
根据实际情况选取适当的长度作为单位长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(\cdots\)；从原点向左每隔一个单位长度取一点，依次标上\(-1\)，\(-2\)，\(-3\)，\(\cdots\) 。
学生实践：让学生在练习本上自己画一条数轴，教师巡视指导，及时纠正学生在画图过程中出现的问题，如直线不直、单位长度不统一、正方向标注错误等。
有理数在数轴上的表示
举例讲解：以表示\(2\)，\(-3\)，\(0\)为例，讲解如何在数轴上找到有理数对应的点。\(0\)在原点处；表示\(2\)时，从原点向右数\(2\)个单位长度，对应的点就是\(2\)的位置；表示\(-3\)时，从原点向左数\(3\)个单位长度，对应的点就是\(-3\)的位置。
学生练习：给出一组有理数，如\(1.5\)，\(-2.5\)，\(4\)，\(-1\)，让学生在自己画好的数轴上表示出来。然后同桌之间互相检查，教师选取部分学生的练习进行展示和点评，强调在数轴上表示小数时，要根据单位长度合理估计位置。
（三）例题讲解（10 分钟）
例 1：画出数轴，并在数轴上表示下列各数：\(3\)，\(-\frac{3}{2}\)，\(0\)，\(2.5\)，\(-4\)。
解：（教师边讲解边在黑板上画图）
先画一条水平直线，确定原点\(O\)，规定向右为正方向，选取合适的单位长度（比如\(1\)厘米代表\(1\)个单位）。
表示\(3\)时，从原点\(O\)向右数\(3\)个单位长度，标记该点表示\(3\)；表示\(-\frac{3}{2}\)，因为\(-\frac{3}{2}=-1.5\)，所以从原点\(O\)向左数\(1.5\)个单位长度，标记该点表示\(-\frac{3}{2}\)；\(0\)就在原点处；表示\(2.5\)，从原点\(O\)向右数\(2.5\)个单位长度标记该点；表示\(-4\)，从原点\(O\)向左数\(4\)个单位长度标记该点。
例 2：指出数轴上\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(D\)各点分别表示什么数。（给出画好的数轴及\(A\)，\(B\)，\(C\)，\(D\)各点）
解：观察数轴，\(A\)点在原点右边\(2\)个单位长度处，所以\(A\)点表示\(2\)；\(B\)点在原点左边\(3.5\)个单位长度处，所以\(B\)点表示\(-3.5\)；\(C\)点在原点处，所以\(C\)点表示\(0\)；\(D\)点在原点右边\(5\)个单位长度处，所以\(D\)点表示\(5\)。
通过这两个例题，进一步巩固有理数在数轴上的表示方法以及根据数轴上的点确定有理数，强调数轴上点与数的对应关系。
（四）课堂练习（10 分钟）
下列图形中是数轴的是（ ）
A. 一条直线
B. 有原点、正方向的一条直线
C. 有单位长度的一条直线
D. 规定了原点、正方向、单位长度的直线
画出数轴，并在数轴上表示出下列各数：\(-2\)，\(0\)，\(\frac{5}{2}\)，\(-1.5\)，\(3\)。
数轴上表示\(-3\)的点在原点的______侧，距原点的距离是______个单位长度；表示\(4\)的点在原点的______侧，距原点的距离是______个单位长度。
教师巡视学生练习情况，及时发现学生存在的问题，进行个别指导和集中讲解，确保学生掌握本节课的重点知识。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾本节课所学内容
数轴的概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线。
数轴的三要素：原点、正方向、单位长度及其作用。
数轴的画法：一画直线、二定原点、三定正方向、四选单位长度并标注数。
有理数与数轴上点的对应关系：所有有理数都可以用数轴上的点来表示。
强调重点知识和易错点，如数轴三要素缺一不可，在数轴上表示数时要注意数的位置的准确性等。
（六）作业布置（5 分钟）
书面作业：课本相关习题 [具体页码和题号]，要求学生认真画图，规范书写，准确表示有理数。
实践作业：让学生观察生活中类似数轴的实例（如电梯楼层按钮排列、超市货架编号等），并思考如何用数轴的知识来理解它们，下节课进行分享。
五、教学反思
在教学过程中，密切关注学生对数轴概念的理解、数轴画法的掌握以及有理数与数轴上点对应关系的认知情况。分析学生在练习中出现的错误，如数轴三要素缺失、数的位置标注不准确等问题的原因。思考在后续教学中如何通过更多的实例和针对性练习，帮助学生更好地掌握数轴知识，深化对数形结合思想的理解，提高学生运用数轴解决问题的能力。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
小玲从点O 出发，沿一条笔直的东西向人行道行走，分别到达A，B，C，D四点处.其中点A在点O东边10 m处，点B在点O西边10 m处，点C在点О东边30 m处，点D在点О西边30 m处.小玲用下图的直线和点刻画出了她分别到达的四个位置.由图你能受到什么启发？
观 察
东边 10m
东边 30m
西边 10m
西边 30m
具有相反意义的量
画一条直线（通常把它水平放置），在直线上取一点 O，把点 O 叫作原点，用原点表示数 0.
由图可知,可用直线表示笔直的人行道,并将出发点O用数0表示，点O东边的点用正数表示,点O西边的点用负数表示，1个单位长度代表10 m长.
O
0
抽 象
通常把直线上从原点向右的方向规定为正方向，从原点向左的方向规定为负方向.
O
选取适当的长度为单位长度.从原点向右，距原点 1 个单位长度的点表示数 1，距原点 2 个单位长度的点表示数 2，…，从原点向左，距原点 1 个单位长度的点表示数 -1，距原点 2 个单位长度的点表示数 -2，….
O
0
1
2
3
-1
-2
-3
O
0
1
2
3
-1
-2
-3
像这样，规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.
数轴三要素
判断：下列哪些是数轴？哪些不是？不是请说明理由.
1
2
3
-1
-2
-3
0
O
0
1
2
3
-1
-2
-3
O
0
1
2
3
-1
-2
-3
O
0
1
2
3
-1
-2
-3
O
不是
不是
是
不是
不是
数轴三要素：
原点、正方向、单位长度，
三者缺一不可.
如图，有几滴墨水滴在数轴上，根据图中标出的数值，写出墨迹盖住的整数.
解：-7，-6，-5，-4，5，6，7，8.
数轴的画法
①画：即画一条水平直线；
②取：即在直线的适当位置取一点作为原点，并在这点处标上 O；
③定：即确定向右的方向为正方向，用箭头表示出来；
④标：即选取适当的长度作为单位长度.
O
3
1
2
0
－1
－ 2
－ 3
思考：
观察数轴，哪些数在原点的左边，哪些数在原点的右边，由此你发现了什么？
O
0
1
2
3
-1
-2
-3
在数轴上，原点右边的数是_____，原点左边的数是_____，原点表示的数是_____.
正数
负数
0
任何有理数都可以用数轴上唯一的一个点来表示，但是数轴上的点表示的数不一定是有理数.
O
0
1
2
3
-1
-2
-3
数轴上表示-2的点在原点的____侧，距原点的距离是____，表示 6 的点在原点的____侧，距原点的距离是____.
填空：
左
2
右
6
距离一定是非负数.
如图，数轴上的点 M，N，P，Q 分别表示哪个有理数？
解：点M ，N， P ，Q 分别表示 -3，1.3，-1，2.5.
M
P
O
N
Q
画一条数轴， 并标出表示下列各数的点：
解：所画数轴及各数在数轴上对应的点如图所示.
课堂练习
1. 把下列各数和数轴上对应的点用线连起来：
0
-2
3
-3.5
4.25
【课本P7 练习 第1题】
2. 如图，数轴上表示 a，b，c 三个有理数的点分别是 A，B，C，则下列结论中正确的是（ ）
A. a，b，c 三个数中有两个正数，一个负数
B. a，b，c 三个数中有两个负数，一个正数
C. a，b，c 三个数都是正数
D. a，b，c 三个数都是负数
A
3.填空：
（1） 数轴上在原点右边距原点3.7个单位长度
的点表示的数是__________;
（2） 数轴上在原点左边距原点 个单位长度
的点表示的数是_________;
（3） 数轴上距原点2个单位长度的点有 个，
它们分别表示数________.
3.7
2和-2
两
【课本P8 练习 第2题】
4. 画一条数轴，并标出表示下列各数的点：
-2， -0.8， 0.8， 2.
0
1
2
-1
-2
-0.8
0.8
【课本P8 练习 第3题】
1. ［2025湖南师大附中期末］下列数轴的画法，规范的是
( )
D
A. B.
C. D.
返回
2. 如图，数轴上点表示的数是，,则点 表示
的数是( )
B
A. 2 025 B. C. D.
返回
3. 在数轴上点表示的数为，将点 沿数轴向左平移3个单
位长度到点，则点 所表示的数为( )
A. 3 B. C. 5 D. 或3
B
返回
4. 母题教材P7例1 如图，数轴上，，， 各点表示的数
正确的是( )
C
A. 点表示 B. 点表示
C. 点表示 D. 点 表示1.25
返回
5.［2025衡阳月考］小明不慎将墨水滴在数轴上，根据图中
的数值，墨迹盖住部分的整数共有___个.
7
6.（1）数轴上到表示 的点的距离等于3的点所表示的数是
_______.
或1
返回
（2）数轴上点表示的数是，将点 向左平移2个单位长
度，再向右平移4个单位长度到达点，则点 表示的数为___.
1
返回
7. 画一条数轴，并在数轴上标出表示
下列各数的点.
,,,0, ,4.
【解】如图.
返回
课堂小结
数轴
定义
画法
应用
规定了_____、_______和_________的直线叫做数轴.
原点
正方向
单位长度
②取；
①画；
④标.
③定；
用数轴上的点表示给定的有理数
根据数轴上的点读出有理数
数形
结合
谢谢观看！

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