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(共32张PPT)
1.2.3 绝对值
第1章 有理数
【2024新教材】湘教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
1.2.3 绝对值教案
一、教学目标
（一）知识与技能目标
学生能够准确理解绝对值的概念，熟练掌握有理数绝对值的求法，能正确表示一个数的绝对值。
深入理解绝对值的几何意义和代数意义，掌握绝对值的性质，包括非负性，以及绝对值相等的两个数的关系，并能运用这些性质进行简单的计算和推理。
学会利用绝对值比较两个负数的大小，能正确解决与绝对值相关的实际问题和数学问题。
（二）过程与方法目标
通过观察数轴上点到原点的距离，引导学生经历从具体实例抽象出绝对值概念的过程，培养学生的抽象概括能力和数学思维能力。
在探究绝对值性质和比较负数大小的过程中，培养学生的逻辑推理能力和归纳总结能力，让学生体会数形结合的数学思想方法。
（三）情感态度与价值观目标
让学生感受数学知识与生活实际的紧密联系，体会数学的应用价值，激发学生学习数学的兴趣和热情。
通过小组合作学习和交流讨论，培养学生的团队合作精神和勇于探索、敢于创新的精神，增强学生学习数学的自信心和成就感。
二、教学重难点
（一）教学重点
深刻理解绝对值的概念和性质，熟练掌握求一个数绝对值的方法。
掌握利用绝对值比较两个负数大小的方法，并能正确运用解决相关问题。
（二）教学难点
理解绝对值的几何意义与代数意义的内在联系，从数形结合的角度深入理解绝对值的性质。
灵活运用绝对值的性质解决综合性问题，如绝对值方程、绝对值不等式等初步问题（可根据学生实际情况适当拓展）。
三、教学方法
讲授法、直观演示法、小组合作探究法、练习法相结合
四、教学过程
（一）情境导入（5 分钟）
生活实例引入：同学们，我们来思考这样一个问题。小明和小红分别从学校出发，小明向东走了 5 千米到达 A 地，小红向西走了 5 千米到达 B 地。他们行走的方向不同，但如果我们只考虑他们离开学校的距离，会发现什么呢？（展示简单的路线图）在数学中，我们用绝对值来表示这种不考虑方向，只关注距离的量。今天我们就一起来学习绝对值。（板书课题：1.2.3 绝对值）
（二）新课讲授（20 分钟）
绝对值的概念
几何意义讲解：借助数轴，在数轴上分别标出表示\(3\)、\(-3\)、\(5\)、\(-5\)的点，引导学生观察这些点到原点的距离。像数轴上表示数\(3\)的点与原点的距离是\(3\)，我们就说\(3\)的绝对值是\(3\)，记作\(\vert 3\vert = 3\)；表示数\(-3\)的点与原点的距离也是\(3\)，所以\(-3\)的绝对值是\(3\)，记作\(\vert -3\vert = 3\) 。一般地，数轴上表示数\(a\)的点与原点的距离叫做数\(a\)的绝对值，记作\(\vert a\vert\)。
代数意义剖析：分情况讨论，当\(a\)是正数时，比如\(a = 5\)，\(\vert 5\vert = 5\)，即正数的绝对值是它本身；当\(a = 0\)时，\(\vert 0\vert = 0\)；当\(a\)是负数时，如\(a = -2\)，\(\vert -2\vert = 2\)，也就是负数的绝对值是它的相反数。总结为：\(\vert a\vert=\begin{cases}a, (a > 0) \\ 0, (a = 0) \\ -a, (a < 0)\end{cases}\) 。
学生练习：让学生说出下列各数的绝对值：\(8\)，\(-10\)，\(0\)，\(\frac{3}{4}\)，\(-\frac{2}{3}\)。教师及时点评，纠正学生可能出现的错误。
绝对值的性质
非负性探究：引导学生观察刚才求出的绝对值，思考它们的取值范围。发现\(\vert 3\vert = 3\)，\(\vert -3\vert = 3\)，\(\vert 0\vert = 0\)，无论\(a\)取何值，\(\vert a\vert\)总是大于或等于\(0\)，即\(\vert a\vert\geq0\)，这就是绝对值的非负性。通过举例\(\vert x\vert + 2\)，当\(\vert x\vert = 0\)时，\(\vert x\vert + 2\)有最小值\(2\)，让学生进一步理解非负性的应用。
绝对值相等的数的关系：提出问题，\(\vert 5\vert = 5\)，\(\vert -5\vert = 5\)，绝对值等于\(5\)的数有几个？它们之间有什么关系？组织学生小组讨论，得出绝对值相等的两个数相等或互为相反数。即若\(\vert a\vert = \vert b\vert\)，则\(a = b\)或\(a = -b\)。
利用绝对值比较两个负数的大小
情境引导：我们知道在温度计上，温度越低，刻度越靠下。比如\(-2 \)比\(-5 \)温度高，在数轴上，\(-2\)在\(-5\)的右边。从绝对值角度看，\(\vert -2\vert = 2\)，\(\vert -5\vert = 5\)，\(2 < 5\)，由此引出规律：两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
举例讲解：比较\(-\frac{3}{4}\)和\(-\frac{2}{3}\)的大小。先分别求出它们的绝对值，\(\vert -\frac{3}{4}\vert = \frac{3}{4} = \frac{9}{12}\)，\(\vert -\frac{2}{3}\vert = \frac{2}{3} = \frac{8}{12}\)，因为\(\frac{9}{12} > \frac{8}{12}\)，所以\(-\frac{3}{4} < -\frac{2}{3}\) 。
（三）例题讲解（10 分钟）
例 1：求下列各数的绝对值：
（1）\(12\)；（2）\(-15\)；（3）\(0.8\)；（4）\(-\frac{5}{6}\)。
解：（1）\(\vert 12\vert = 12\)；
（2）\(\vert -15\vert = 15\)；
（3）\(\vert 0.8\vert = 0.8\)；
（4）\(\vert -\frac{5}{6}\vert = \frac{5}{6}\)。
例 2：比较下列每组数的大小：
（1）\(-3\)和\(-5\)；（2）\(-\frac{4}{5}\)和\(-\frac{3}{4}\)。
解：（1）\(\vert -3\vert = 3\)，\(\vert -5\vert = 5\)，因为\(3 < 5\)，所以\(-3 > -5\)；
（2）\(\vert -\frac{4}{5}\vert = \frac{4}{5} = \frac{16}{20}\)，\(\vert -\frac{3}{4}\vert = \frac{3}{4} = \frac{15}{20}\)，因为\(\frac{16}{20} > \frac{15}{20}\)，所以\(-\frac{4}{5} < -\frac{3}{4}\)。
通过这两个例题，进一步巩固求绝对值和利用绝对值比较负数大小的方法，强调计算过程的准确性和步骤的规范性。
（四）课堂练习（10 分钟）
填空题：
（1）\(\vert -7\vert = \)，\(\vert 0\vert = \)，\(\vert 1.5\vert = \)。
（2）绝对值等于\(4\)的数是。
比较下列各数的大小：
（1）\(-6\)和\(-8\)；（2）\(-\frac{2}{3}\)和\(-\frac{3}{4}\)。
已知\(\vert a\vert = 3\)，求\(a\)的值。
教师巡视学生练习情况，及时发现学生存在的问题，进行个别指导和集中讲解，针对学生易错点进行重点强调，确保学生掌握本节课的知识要点。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾本节课所学内容
绝对值的概念：数轴上表示数\(a\)的点与原点的距离叫做数\(a\)的绝对值。
绝对值的几何意义和代数意义：几何意义是距离，代数意义分正数、\(0\)、负数三种情况。
绝对值的性质：非负性，以及绝对值相等的两个数的关系。
利用绝对值比较两个负数大小的方法：绝对值大的反而小。
强调重点知识和易错点，如绝对值的计算、比较负数大小时的步骤和符号判断等，帮助学生加深理解和记忆。
（六）作业布置（5 分钟）
书面作业：课本相关习题 [具体页码和题号]，要求学生认真书写，规范解题步骤，特别是在求绝对值和比较负数大小时要准确。
实践作业：让学生观察生活中与绝对值有关的现象，如汽车行驶的里程表（只记录行驶距离，不考虑方向），并思考如何用绝对值的知识来解释，下节课进行分享。
五、教学反思
在教学过程中，关注学生对绝对值概念的理解程度、性质的掌握情况以及比较负数大小的熟练程度。分析学生在练习中出现错误的原因，如对绝对值概念理解不透彻、性质运用不当、比较大小时逻辑混乱等。思考在后续教学中如何通过更多生动的实例、多样化的练习和针对性的辅导，帮助学生更好地掌握绝对值相关知识，提高学生运用知识解决问题的能力。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
探索新知
0
1
2
3
4
5
6
－1
－2
－3
－4
－5
A
B
点A 和点B 分别表示哪个有理数？点A、点B 到原点的距离分别是多少？
点A 表示－5，到原点的距离是5；点B表示5，到原点的距离是5.
探索新知
我们把一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，用“| |”表示.“|a|”表示一个数a的绝对值，读作“a的绝对值”.
0
1
2
3
4
5
6
－1
－2
－3
－4
－5
|5|=5
|－5|=5
|0|=0
5到原点的距离是5，所以5的绝对值是5.
5到原点的距离是5，所以5的绝对值是5.
0到原点的距离是0，所以0的绝对值是0.
求下列各数的绝对值： 0.36，12， ， -7.5 ， 0.
解
| 12 | = 12，
| -7.5 | = 7.5，
| 0 | = 0.
正数的绝对值是它本身.
负数的绝对值是它的相反数.
0 的绝对值是0.
| 0.36 | = 0.36，
与原点的距离 绝对值 记作
表示+7的点
表示2.8的点
表示0的点
表示－6的点
7个单位长度
7
|+7|
2.8个单位长度
2.8
|2.8|
0个单位长度
0
|0|
6个单位长度
6
|－6|
填一填：
如果 a 表示一个数，则 | a | 等于多少？
议一议
一般地，如果a表示一个数，则：
(1) 当a 是正数时，|a|=a；
(2) 当a =0 时，|a|=0；
(3) 当a 是负数时，|a|=－a.
即|a|=
a，a为非负数，
－a，a为负数.
|a|≥0，即a的绝对值为非负数.
a -2 -1 -0.5 -0.1 0 2 4 5 100
|a|
填一填：
2
1
0.5
0.1
0
2
4
5
100
a＜0
a＞0
|a|＞0
|a|＞0
1.任何一个有理数的绝对值一定( )
A.大于0
B.小于0
C.小于或等于0
D.大于或等于0
D
2.若|a|+|b－1|=0，则a=_____, b=______.
0
1
绝对值的非负性
做一做
画一条数轴，用数轴上的点表示 4，－4，2，－2，并求这些点与原点的距离.
0
1
2
3
4
－1
－2
－3
－4
O
4
4
2
2
A
B
C
D
点A，B与原点O的距离均为4，点C，D与原点O的距离均为2.
又|4|=4 ， |－4|=4， |2|=2，|－2|=2.
一个数的绝对值表示这个数在数轴上的对应点与原点之间的距离.
说一说
互为相反数的两个数的绝对值相等吗？
|+5|=____
5
|－5|=____
5
互为相反数的两个数的绝对值相等.
即 |a|=|－a|
若|a|=|b|，则a与b有什么关系？
a=b
或 a=－b
若|a|= 8.7,求 a.
解
因为绝对值等于 8.7 的有理数有 8.7 和 -8.7 两个，
所以 a = 8.7 或 a = -8.7.
如果a表示有理数，那么|a|有什么含义？
|a|表示a的绝对值；
|a|表示数轴上数a对应点与原点的距离.
判断下列说法是否正确:
(1) 一个数的绝对值是4，则这个数一定是－4.
(2) |3|>0.
(3) |－1.3|>0.
(4) 有理数的绝对值一定是正数.
(5) 若a=－b，则|a|=|b|.
(6) 若a=b，则|a|=|b|.
(7) 若|a|=|b|，则a=b.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
×
√
√
×
√
√
×
|2|=_______， |－2|=_______.
若|x|=4，则x=_______.
若|x|=0，则x=_______.
|－3|的相反数是_______.
+6的相反数的绝对值是_______.
填空：
2
2
4或－4
0
－3
6
课堂练习
1.分别求3，3.14， ，-2.8的绝对值.
解
| 3 |=3；
| 3.14 |=3.14；
；
| -2.8 |=2.8 .
【课本P11 练习第1题】
2. 填空：
（1）-|-2010|= ；
（2）| -4.8 | = ；
（3） = .
-2010
4.8
【课本P11 练习第2题】
3. 画一条数轴，并分别标出表示绝对值等于 2，3.5 的数的点.
【课本P11 练习第3题】
4.若 | x-3 | + | y-2 | ＝ 0，求 x + y 的值
解：由绝对值的非负性，得
x - 3 = 0，y - 2 = 0.
所以 x = 3，y = 2.
所以 x + y = 3 + 2 = 5.
【归纳】几个非负数的和为0，则这几个数都为0
5.已知 a，b，c 为有理数，且它们在数轴上的对应点的
位置如图所示：
（1）试判断 a，b，c 的正负性.
（2）在数轴上表示 a，b，c 的相反数.
（3）根据数轴化简：
①| a | =______;②| b | =______;③| c | =_____.
a是负数，b，c 是正数.
-a
b
c
-a
-b
-c
1. ［2024宜宾］2的绝对值是( )
A
A. 2 B. C. D.
2. 母题教材P12习题T7 若，则 的值为( )
B
A. B. 或 C. D.
返回
3. ［2025衡阳月考］如图，四个有理数在数轴上分别对应点
，，，，若点， 表示的数互为相反数，则表示绝
对值最大的数的点是( )
D
A. 点 B. 点
C. 点 D. 点
返回
4. 若为有理数，且满足 ，则( )
A. B.
C. D.
D
返回
5. 下列各组数中，互为相反数的是( )
C
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
6. 有理数 在数轴上的位置如图所示，则
化简 的结果是( )
B
A. B.
C. D.
返回
7. 小梦在实验室检测A,B,C,D四个物理电学元
件的质量单位： ，超过标准质量的克数记为正数，不足标
准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的元件是
( )
D
A. B.
C. D.
返回
8.母题教材P11例6
（1）若,则 ____;
（2）若,且,则 ____;
（3）若,则___0（填“ ”“ ”“ ”“ ”或“ ”）.
（4）若,则 _______.
2 025
返回
9.计算：
（1） ;
【解】原式 .
（2） ;
【解】原式 .
（3） .
【解】原式 .
返回
10. 已知，是有理数，且，， ，用数
轴上的点来表示， 正确的是( )
A
A.
B.
C.
D.
【点拨】因为，，所以， .又因为
，所以表示 的点距离原点较远.
返回
11. 若,且 ,
则下列说法中可能成立的是( )
C
A. 为正数，为负数 B. 为正数， 为负数
C. 为正数，为负数 D. 为负数， 为负数
课堂小结
绝对值
定义
应用
求一个数的绝对值
由绝对值求数
利用绝对值解决实际问题
代数意义
几何意义
在数轴上，表示数 a 到原点的距离.
|a|=a， (a≥0)
|a|=－a， (a＜0)
谢谢观看！

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