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1.4.2 有理数的减法
第1章 有理数
【2024新教材】湘教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
1.4.2 有理数的减法教案
一、教学目标
（一）知识与技能目标
学生能透彻理解有理数减法的意义，清晰掌握有理数减法法则，即减去一个数，等于加上这个数的相反数，熟练将有理数减法运算准确转化为有理数加法运算。
能够正确、熟练地运用有理数减法法则进行有理数的减法运算，包括整数、分数、小数形式的有理数，以及有理数的加减混合运算，提高运算能力和准确性。
（二）过程与方法目标
通过创设实际问题情境，引导学生经历有理数减法法则的推导过程，培养学生从实际问题抽象出数学模型的能力，提升数学抽象和逻辑推理素养。
在探索有理数减法与加法关系及运用法则解题过程中，强化学生的转化思想，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养知识迁移能力。
（三）情感态度与价值观目标
让学生感受数学与生活的紧密联系，体会数学知识的实用性和系统性，激发学生学习数学的兴趣和热情，增强学习数学的自信心。
通过自主探索、合作交流，培养学生的团队协作精神和勇于探索创新的精神，营造积极向上的学习氛围。
二、教学重难点
（一）教学重点
深入理解有理数减法法则的内涵，熟练掌握有理数减法运算转化为加法运算的方法。
能够准确、熟练地运用有理数减法法则进行有理数的减法及加减混合运算。
（二）教学难点
深刻理解有理数减法法则的推导过程，理解有理数减法运算转化为加法运算的算理。
在有理数加减混合运算中，正确处理运算符号和性质符号，灵活运用运算律进行简便运算。
三、教学方法
讲授法、情境教学法、探究法、练习法相结合
四、教学过程
（一）情境导入（5 分钟）
创设情境：同学们，大家都关注过天气预报吧。某地某一天的最高气温是 3℃，最低气温是 -3℃，那你知道这天的温差（最高气温与最低气温的差）是多少吗？这个问题就涉及到有理数的减法运算，今天我们就一起来学习有理数的减法。（板书课题：1.4.2 有理数的减法）
（二）新课讲授（20 分钟）
有理数减法的意义
回顾旧知：我们先回顾一下小学学过的减法运算，减法是加法的逆运算，比如 5 - 3 = 2，是因为 2 + 3 = 5。在有理数范围内，减法同样是加法的逆运算。
结合实例：以温度计为例，从 3℃下降到 -3℃，下降了多少度？我们可以通过在数轴上表示这两个温度，观察它们之间的距离来理解。3℃与 -3℃之间相差 6 个单位长度，所以温差是 6℃，即 3 - (-3) = 6。
有理数减法法则的推导
提出问题：3 - (-3) 这个式子该如何计算呢？我们知道减法是加法的逆运算，那我们找一个数加上 -3 等于 3，因为 6 + (-3) = 3，所以 3 - (-3) = 6。又因为 3 + 3 = 6，我们发现 3 - (-3) = 3 + 3。
举例验证：再看几个例子，比如 0 - (-2)，找一个数加上 -2 等于 0，因为 2 + (-2) = 0，所以 0 - (-2) = 2，同时 0 + 2 = 2，即 0 - (-2) = 0 + 2；(-1) - (-3)，因为 2 + (-3) = -1，所以 (-1) - (-3) = 2，又因为 (-1) + 3 = 2，即 (-1) - (-3) = (-1) + 3 。
归纳法则：引导学生观察这些例子，小组讨论并归纳有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为 a - b = a + (-b) 。
有理数减法法则的应用
讲解例题：计算（1）(-3) - (-5)；（2）0 - 7；（3）7.2 - (-4.8)。
解：（1）根据有理数减法法则，(-3) - (-5) = (-3) + 5 = 2；（2）0 - 7 = 0 + (-7) = -7；（3）7.2 - (-4.8) = 7.2 + 4.8 = 12 。
强调要点：在计算过程中，要先将减法转化为加法，注意减数要变成它的相反数，同时正确处理符号。然后进行有理数的加法运算，按照有理数加法法则计算结果。
（三）例题讲解（10 分钟）
例 1：计算 (-12) - (+8) + (-6) - (-5)
解：先将减法转化为加法，原式 = (-12) + (-8) + (-6) + 5，然后按照有理数加法法则进行计算，(-12) + (-8) = -20，-20 + (-6) = -26，-26 + 5 = -21。
例 2：某矿井下 A 处比地面低 174.8 米，B 处比 A 处低 12.4 米，求 B 处的高度。
解：以地面为基准，记为 0 米，A 处高度为 -174.8 米，B 处比 A 处低 12.4 米，即 B 处高度为 -174.8 - 12.4 = -174.8 + (-12.4) = -187.2 米。所以 B 处比地面低 187.2 米。
通过这两个例题，展示有理数减法在加减混合运算和实际问题中的应用，强调运算顺序和符号处理，规范解题步骤，培养学生运用知识解决问题的能力。
（四）课堂练习（10 分钟）
计算下列各题
（1）(-8) - 8；（2）(-8) - (-8)；（3）8 - (-8)；（4）8 - 8；（5）0 - 6；（6）0 - (-6)；（7）16 - 47；（8）28 - (-74)；（9）(-3.8) - (+7)；（10）(-5.9) - (-6.1) 。
某工厂第一季度盈利 25 万元，第二季度亏损 32 万元，问该工厂前两个季度总体是盈利还是亏损，盈利或亏损多少万元？
教师巡视学生练习情况，及时发现学生存在的问题，如符号错误、法则运用不熟练等，进行个别指导和集中讲解，帮助学生掌握有理数减法运算。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾本节课所学内容
有理数减法的意义：减法是加法的逆运算。
有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，用字母表示为 a - b = a + (-b) 。
有理数减法运算步骤：先将减法转化为加法，再进行有理数加法运算。
强调重点知识和易错点，如减法转化为加法时符号的变化，有理数加减混合运算中的符号处理等，帮助学生加深理解和记忆。
（六）作业布置（5 分钟）
书面作业：课本相关习题 [具体页码和题号]，要求学生认真书写，规范解题步骤，准确运用有理数减法法则进行计算。
实践作业：记录一周内每天的最高气温和最低气温，计算每天的温差，并用有理数减法运算表示出来，下节课进行分享。
五、教学反思
在教学过程中，关注学生对有理数减法法则的理解和运用情况，分析学生在计算中出现错误的原因，如符号混淆、法则运用错误等。思考在后续教学中如何通过更多实例、针对性练习和有效辅导，帮助学生更好地掌握有理数减法运算，提高学生的运算能力和数学应用能力。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
探索新知
某天北京市的最高气温是－1℃，最低气温是－9℃，这天北京市的气温日较差（最高气温-最低气温）是多少？
(-1)-(-9)
做一做
列式：
(-1)-(-9)=8
由右图的温度计可以看出，－1℃ 比－9℃ 高 8℃.
因此
有理数的减法法则
(－1) －(－9)= 8
(－1) ＋ 9 = 8
－1－ 2 =－3
－1＋(－2)=－3
不变
不变
“－”变“＋”
减数变成相反数
你发现了什么？
有理数减法运算可以转化成加法运算！
a－b=a+ (－b)
减去一个数，等于加上这个数的相反数.
有理数的减法法则：
即
减号变加号
减数变成相反数
转化的思想
议一议
下面每组算式结果相等吗？
(1) 4－(－3)与4＋3
(2) －5－(＋2)与－5＋ (－2)
相等
填空：
(1) (－21)－(－15) = (－21)＋( )；
(2) (－4)－ 3 = (－4)＋( )；
(3) 0－(－5) = 0＋( )；
(4) 2－(＋12)= 2＋( ).
15
5
－3
－12
算一算：
(1) 0－9=
(2) 0－(－15)=
(3) 10－0=
(4) (－3) －0=
－9
15
10
－3
总结：1.任何数减零仍得原数；
2.零减去一个数等于这个数的相反数.
计算：
（1）0-（-3.18）； （2） 5.3-（-2.7）；
（3）（-10）-（-6）； （4） .
（1）0-（-3.18）= 0 + 3.18 = 3.18
（2） 5.3-（-2.7）= 5.3 + 2.7 = 8
（3）（-10）-（-6）=（-10）+ 6 = -4
（4） =（-3.7）- 6.5 =（-3.7）+（-6.5）= -10.2
解：
月球表面的温度在白昼可升到127℃，在黑夜可降到－183℃.月球表面温度昼夜相差多少？
例 6
解：127－(－183)=127＋183=310 (℃)
答：月球表面温度昼夜相差310℃.
有理数减法的实际应用
两个有理数相减，将减号变加号，减数变成它的相反数. 当然，较大的正数减去较小的正数或0，仍按小学所学的方法进行运算．
提示
将实际问题抽象为有理数减法模型，关键要紧扣问题中的关键性词语，如“温差”“大多少”“低多少”等等，这些都是列出减法算式的关键.
课堂练习
【课本P24 练习 第1题】
1.计算:
（1） 7-（-4）； （2）（-3）-（-5）；
（3）（-3）-0； （4） 0-（-7）.
（1） 7-（-4）= 7 + 4 = 11
解
（2）（-3）-（-5）= -3 + 5 = 2
（3）（-3）- 0 = -3-0 = -3
（4） 0 -（-7）= 0 + 7 = 7
2. 计算:
（1）2.53-（-2.47）； （2）（-1.7）-（-2.5）；
（3） ； （4） .
（1） 2.53 -（-2.47）= 2.53 + 2.47 = 5
解
（2）（-1.7）-（-2.5）= -1.7 + 2.5 = 0.8
（3）
（4）
【课本P24 练习 第2题】
3. 若 | a | = 3，| b | = 4 且 a > b，则 a-b 的值为( )
A. 7 B. -1 C. 7 或 1 D. 7 或 -7
C
4.在标准大气压下，酒精凝固的温度约－117℃，水银凝固的温度约－39 ℃.酒精凝固的温度比水银凝固的温度低多少
解：－39－(－117)=－39＋117=78 (℃)
答：酒精凝固的温度比水银凝固的温
度低78℃.
【课本P24 练习 第3题】
5.根据图中数轴提供的信息，回答下列问题：
（1）A，B 两点之间的距离是多少？
（2）B，C 两点之间的距离是多少？
6.已知|x|=7，|y|=4，试求x－y的值.
解：因为|x|=7，|y|=4
所以x=±7，y=±4
所以x－y=7－4=3
或x－y=7－(－4) =11
或x－y=－7－4=－11
或x－y=－7－(－4) =－3
答：x－y的值为±3或±11.
1. ［2024天津］计算： 的结果等于( )
D
A. B. 0 C. 3 D. 6
2. “玉兔号”是我国首辆月球车，它和
着陆器共同组成“嫦娥三号”探测器.“玉兔号”月球车能够耐受
月球表面的最低温度是、最高温度是 ，则它能
够耐受的温差是( )
D
A. B.
C. D.
返回
3. 若,，则 的值为
( )
C
A. 或 B. 或1
C. 3或1 D. 3或
返回
4. 关于有理数的减法，下列说法正确的是( )
D
A. 两个有理数相减，差一定小于被减数
B. 两个负数的差一定小于0
C. 两个负数相减，等于它们的绝对值相减
D. 两个有理数的差是正数，则被减数一定大于减数
【点拨】A.,差 被减数，故A错误；B.
,差 ，故B错误；C.两个负数相减，等于它
们的绝对值相减的相反数，故C错误；D正确.
返回
5.如果的相反数是最小的正整数， 是绝对值最小的数，那
么 ___.
1
返回
6.对于有理数,,,,若,则称和关于
的“相对距离”为.例如, ,则2和3关于1的
“相对距离”为3.
（1） 和4关于1的“相对距离”为___.
7
（2）若和5关于2的“相对距离”为6,求 的值.
【解】由题意得,所以 ,所
以,所以,所以或 .
返回
7. 下列结论不正确的是( )
C
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，且，则
返回
8.嘉淇在计算 |时，由于不小心，减数被墨水污染.她误
将后面的“-”看成了“”，算得结果为 ，则正确结果是
______.
【点拨】由题意得被墨水污染的数为
.所以正确结果是
.
返回
9.设表示不超过的最大整数，例如： ，
，.令，则 的值
为___.
【点拨】
.
返回
课堂小结
有理数的减法
一般法则
特殊法则
应用
a－b=a＋(－b)
0－b=－b；b－0=b
转化
谢谢观看！

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