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1.4.3 有理数的加减混合运算
第1章 有理数
【2024新教材】湘教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
1.4.3 有理数的加减混合运算教案
一、教学目标
（一）知识与技能目标
学生能够准确理解有理数加减混合运算的算理，熟练掌握有理数加减混合运算的顺序，能将有理数加减混合运算正确统一成加法运算。
熟练运用有理数加减法法则和运算律进行有理数的加减混合运算，包括整数、分数、小数形式的混合运算，提高运算的速度和准确性，能解决实际生活中的相关问题。
（二）过程与方法目标
通过对有理数加减混合运算的探究，引导学生经历从具体算式到运算方法归纳的过程，培养学生的观察、分析、归纳和概括能力，提升数学思维能力。
在运用运算律简化运算的过程中，强化学生的转化思想和优化意识，提高学生灵活运用数学知识解决问题的能力。
（三）情感态度与价值观目标
让学生感受数学知识的连贯性和系统性，体会数学在解决实际问题中的应用价值，激发学生学习数学的兴趣和热情。
通过自主探索与合作交流，培养学生的团队合作精神和勇于克服困难的意志品质，增强学生学习数学的自信心和成就感。
二、教学重难点
（一）教学重点
熟练掌握有理数加减混合运算统一成加法运算的方法，准确运用有理数加减法法则进行运算。
能够灵活运用加法交换律和结合律简化有理数加减混合运算。
（二）教学难点
在复杂的有理数加减混合运算中，正确处理运算符号和性质符号，合理选择运算律进行简便运算。
从实际问题中抽象出有理数加减混合运算的数学模型，并运用所学知识解决问题。
三、教学方法
讲授法、探究法、练习法、小组合作法相结合
四、教学过程
（一）复习回顾，情境导入（5 分钟）
知识回顾：同学们，之前我们学习了有理数的加法和减法运算。谁能说一说有理数加法法则和减法法则？（随机提问学生回答）快速计算下面几道题：\(( - 3)+5\)，\(7 - (- 4)\)，\(( - 2) - 6\) 。（学生计算后，教师点评并核对答案）
情境导入：在实际生活中，我们经常会遇到需要进行有理数加减混合运算的情况。比如，小明的妈妈去超市购物，买蔬菜花了 15 元，买水果花了 20 元，付款时使用了一张 10 元的优惠券，那么妈妈这次购物实际花费了多少钱呢？这个问题就需要用到有理数的加减混合运算，今天我们就来学习这部分内容。（板书课题：1.4.3 有理数的加减混合运算）
（二）新课讲授（20 分钟）
有理数加减混合运算的顺序
回顾小学知识迁移：在小学我们学习过整数的加减混合运算，是按照从左到右的顺序进行计算的。在有理数范围内，加减混合运算同样按照从左到右的顺序进行。例如\(3 + 5 - 2\)，先算\(3 + 5 = 8\)，再算\(8 - 2 = 6\) 。
结合有理数运算特点：对于有理数加减混合运算，如\(( - 2)+3 - ( - 5)\)，我们依然按照从左到右的顺序，先计算\(( - 2)+3 = 1\)，再计算\(1 - ( - 5)=1 + 5 = 6\) 。
将有理数加减混合运算统一成加法运算
提出问题引导思考：观察式子\(5 - 3 + 7 - 9\)，我们可以把减法转化为加法，根据有理数减法法则，减去一个数等于加上这个数的相反数，那么\(5 - 3 + 7 - 9 = 5 + ( - 3)+7 + ( - 9)\) 。这样就把加减混合运算统一成了加法运算。
强调符号变化：在转化过程中，要特别注意符号的变化。比如\(- 6 - 4 - 2\)转化为加法是\(( - 6)+( - 4)+( - 2)\)，每个减数都变成了它的相反数，同时把减号变成加号。
省略加号和括号的形式：为了书写简便，\(5 + ( - 3)+7 + ( - 9)\)可以写成省略加号和括号的形式\(5 - 3 + 7 - 9\)，读作 “正 5、负 3、正 7、负 9 的和”，也可以读作 “5 减 3 加 7 减 9” 。让学生练习将一些式子进行转化和读法训练，如\(( - 2) - 3 + ( - 4) - ( - 5)\)转化为\(( - 2)+( - 3)+( - 4)+5\)，再写成省略加号和括号的形式\(- 2 - 3 - 4 + 5\) 。
运用运算律简化运算
回顾加法运算律：我们学过有理数加法交换律\(a + b = b + a\)和结合律\((a + b) + c = a + (b + c)\)，在有理数加减混合运算统一成加法后，这些运算律依然适用。
举例讲解：计算\(( - 20)+( + 3)+5 + ( - 7)\)，我们可以运用加法交换律和结合律进行简便运算。\(
\begin{align*}
&( - 20)+( + 3)+5 + ( - 7)\\
=&[( - 20)+( - 7)]+[( + 3)+5]\\
=& - 27 + 8\\
=& - 19
\end{align*}
\)
通过将互为相反数或能凑整的数结合在一起，使计算更加简便。引导学生分析式子中数字的特点，如何选择合适的运算律进行简化。
（三）例题讲解（10 分钟）
例 1：计算\(\frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \frac{3}{4} + \frac{2}{3}\)
解：先将式子统一成加法运算\(\frac{1}{2} + ( - \frac{1}{3})+( - \frac{3}{4})+\frac{2}{3}\)，再写成省略加号和括号的形式\(\frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \frac{3}{4} + \frac{2}{3}\) 。
然后运用加法交换律和结合律进行计算：\(
\begin{align*}
&\frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \frac{3}{4} + \frac{2}{3}\\
=&\frac{1}{2} - \frac{3}{4}+(\frac{2}{3} - \frac{1}{3})\\
=&\frac{2}{4} - \frac{3}{4}+\frac{1}{3}\\
=& - \frac{1}{4}+\frac{1}{3}\\
=& - \frac{3}{12}+\frac{4}{12}\\
=&\frac{1}{12}
\end{align*}
\)
例 2：某仓库一周内货物进出情况如下（运进为正，运出为负，单位：吨）：+10， - 5， + 8， - 6， - 3， + 12， - 10。求这一周仓库货物的总变化量。
解：将各数相加\(( + 10)+( - 5)+( + 8)+( - 6)+( - 3)+( + 12)+( - 10)\)，统一成加法并写成省略加号和括号的形式\(10 - 5 + 8 - 6 - 3 + 12 - 10\) 。\(
\begin{align*}
&10 - 5 + 8 - 6 - 3 + 12 - 10\\
=&(10 + 8 + 12)+( - 5 - 6 - 3 - 10)\\
=&30 - 24\\
=&6
\end{align*}
\)
所以这一周仓库货物总变化量是增加了 6 吨。
通过这两个例题，详细展示有理数加减混合运算的步骤和方法，强调在计算过程中要注意运算顺序、符号处理以及合理运用运算律，规范解题格式。
（四）课堂练习（10 分钟）
计算下列各题
（1）\(( - 2)+5 - 8\)；（2）\(\frac{3}{4} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{5}{6}\)；（3）\( - 1.5 + 2.3 - 0.5 - 2.3 + 1.5\)；（4）\(( - 20)+( + 3) - ( - 5) - ( + 7)\) 。
某汽车厂计划每月生产汽车 500 辆，实际 10 个月的产量分别为（超过计划产量为正，不足为负）： + 13， - 5， - 8， + 11， - 3， + 14， - 10， + 8， + 5， - 2。求这 10 个月实际共生产汽车多少辆？
教师巡视学生练习情况，及时发现学生存在的问题，如运算顺序错误、符号处理不当、运算律运用不灵活等，进行个别指导和集中讲解，帮助学生掌握有理数加减混合运算的方法。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾本节课所学内容
有理数加减混合运算的顺序：从左到右依次计算。
有理数加减混合运算统一成加法运算的方法：根据减法法则将减法转化为加法，可写成省略加号和括号的形式。
运用加法交换律和结合律简化运算的方法：观察式子中数字特点，将能凑整、互为相反数或同分母的数结合在一起进行计算。
强调重点知识和易错点，如运算符号和性质符号的处理、运算律运用的时机等，帮助学生加深理解和记忆。
（六）作业布置（5 分钟）
书面作业：课本相关习题 [具体页码和题号]，要求学生认真书写，规范解题步骤，在计算过程中注明每一步运用的法则或运算律。
实践作业：记录自己一周的零花钱收支情况（收入记为正，支出记为负），列出有理数加减混合运算式子并计算出一周零花钱的结余情况，下节课进行分享。
五、教学反思
在教学过程中，关注学生对有理数加减混合运算的掌握情况，分析学生在计算中出现错误的原因，如运算顺序混淆、符号错误、运算律使用不当等。思考在后续教学中如何通过更多有针对性的练习、详细的例题讲解和有效的辅导，帮助学生熟练掌握有理数加减混合运算，提高学生的运算能力和解决实际问题的能力。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
探索新知
计算： 8+(-5 )-(-3) + (-7 ) .
做一做
将 8+(-5 )-(-3) + (-7 )统一成加法运算的式子是什么？
仍为和式：
8+(-5 )+(+3)+(-7 )
8-5 +3-7
按性质符号读作：
按运算意义读作：
正八负五正三负七
八减五加三减七
各个加数的括号和它前面的加号省略
有理数的加减混合运算可以统一为加法运算.
即 a + b - c = a + b + ( -c )
把加减混合运算的算式转化为加法运算后，为书写简单，可以省略算式中的括号及它前面的加号.
8 +（-5）+ （+3） +（-7）可以写成：8–5+ 3–7
8+(-5 )-(-3) + (-7 )
=8+(-5 ) +3 + (-7 )
=(8+3)+[(-5 ) + (-7 )]
= 11+(-12 )
= -1
这一步有什么作用？
减法
加法
转化思想
计算： 8+(-5 )-(-3) + (-7 ) .
议一议
上述计算过程用到了哪些运算律？与同学交流你的结果.
加法的交换律
加法的结合律
有理数加减混合运算的步骤：
（1）将减法转化为加法；
（2）根据需要省略括号和加号；
（3）运用加法交换律和结合律简化运算；
（4）按有理数加法的运算法则计算.
运用加法运算律时
同号的加数结合
同分母的加数结合
便于通分的加数结合
能凑成整数的加数结合
互为相反数的加数结合
都可以使运算简化
计算：
解：
还有其他计算方法吗？
比一比，哪个快？
例 7
计算：
例 7
解：
方法二
计算：
例 8
解：
时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日
水位变化/m ＋0.48 －0.32 －0.43 －0.37 ＋0.22 ＋0.25 ＋0.15
某条河上某处设有水文站，在汛期监测到该河一周内水位的变化情况如下表所示，其中上升为正，下降少负，符号后面数据为每天中午12时的水位相较于前一天12时水位的变化量.
例 9
请说明本周日与上周日相比，该水文站处该河水位上升(或下降)了多少米.
+0.48+(-0.32)+(-0.43)+(-0.37)+(+0.22)+(+0.25)+(+0.15)
解
=0.48+0.22+0.25+0.15+［(-0.32)+ (-0.43)+ (-0.37)］
= 1.10+(-1.12)
=- 0.02 (m)
答:本周日与上周日相比，该水文站处该河水位下降了0.02 m.
时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日
水位变化/m ＋0.48 －0.32 －0.43 －0.37 ＋0.22 ＋0.25 ＋0.15
课堂练习
【课本P26 练习 第1题】
1.计算:
(1) -6-(-4)-3+(-5)； (2) (-10.5)+(-8.6)-(-9.6)+10；
（3）
解：(1)
-6-(-4)-3+(-5)
＝-6+4+(-3)+(-5)
＝4+[-6+(-3)+(-5)]
＝4+(-14)
＝-10
【课本P26 练习 第1题】
1.计算:
(1) -6-(-4)-3+(-5)； (2) (-10.5)+(-8.6)-(-9.6)+10；
（3）
(2)
(-10.5)+(-8.6)-(-9.6)+10
＝(-10.5)+(-8.6) + 9.6 +10
＝[(-10.5)+(-8.6)] + (9.6 +10)
＝-19.1+ 19.6
＝ 0.5
【课本P26 练习 第1题】
1.计算:
(1) -6-(-4)-3+(-5)； (2) (-10.5)+(-8.6)-(-9.6)+10；
（3）
(3)
2. 计算:
(1) ； (2) .
【课本P26 练习 第2题】
解：(1)
(2)
3.一架飞机做特技表演，起飞后在某一时段内其高度变化情况如下:
上升450 m，下降320 m，上升110m,下降140 m.
该飞机在这一时段内高度上升(或下降)多少米
答：该飞机在这一时段内高度上升100米.
解：
+450+(－320)+110+(－140) =100 (m)
【课本P27 练习 第3题】
4.某汽车厂计划半年内每月生产汽车 20 辆，由于另有任务，每月上班人数不一定相等，实际每月生产量与计划量相比情况如下表（增加为正，减少为负）:
半年内的总产量是多少？ 比计划多还是少？ 增或减多少？
+3+（-2）+（-1）+（+4）+（+2）+（-5）
=（3+4）+[（-1）+（-5）]+[（-2）+（+2）]
= 7+（-6）
= 1
半年内总产量是 20×6 + 1＝121（辆）.
【课本P27 练习 第4题】
5.计算：
解：
1. 把 统一成加法运算，下列变形正
确的是( )
C
A.
B.
C.
D.
返回
2. ［2025郴州模拟］将 写成省略
加号的和的形式是( )
B
A. B.
C. D.
3. 下列式子可读作“负1、负3、正6、负8的和”的是( )
B
A.
B.
C.
D.
返回
4. 如图是小明妈妈在某平台
的连续四笔交易记录，已知在
此之前小明妈妈在该平台账户
的余额为1 470元，则四笔交
易后余额为( )
A
A. 1 535元 B. 1 525元
C. 1 515元 D. 1 505元
返回
5. 按如图所示的程序运算，若最后输
出的数是0，则开始输入的数是____.
返回
6. 下面是王林同学做的一道数学题的解题
过程:
解：
（第一步）
（第二步）
（第三步）
.（第四步）
他从第____步开始出现错误，正确的计算结果是___.
三
3
返回
7.计算：
（1） ;
【解】原式
.
（2） .
原式
.
返回
8. 已知，， ，下列四个算式中运算结
果最大的是( )
A
A. B.
C. D.
【点拨】因为， ，
，
所以 ，
课堂小结
有理数加减混合运算的步骤：
（1）将减法转化为加法；
（2）根据需要省略括号和加号；
（3）运用加法交换律和结合律简化运算；
（4）按有理数加法的运算法则计算.
谢谢观看！

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