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1.5.1.1 有理数的乘法
第1章 有理数
【2024新教材】湘教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
有理数的乘法教案
一、教学目标
（一）知识与技能目标
学生能够深入理解有理数乘法的意义，熟练掌握有理数乘法法则，准确判断有理数乘法运算结果的符号，正确计算有理数的乘法。
掌握多个有理数相乘时积的符号确定方法，能够灵活运用乘法运算律（交换律、结合律、分配律）进行有理数乘法的简便运算，提高运算的速度和准确性。
（二）过程与方法目标
通过创设实际问题情境，引导学生经历有理数乘法法则的探索过程，培养学生从具体问题中抽象出数学模型的能力，提升数学抽象和逻辑推理素养。
在探究有理数乘法运算律及其应用的过程中，培养学生的观察、分析、归纳和类比能力，体会类比、转化等数学思想方法在数学学习中的应用。
（三）情感态度与价值观目标
让学生感受数学与生活的紧密联系，体会数学知识的系统性和逻辑性，激发学生学习数学的兴趣和热情，增强学生学习数学的自信心。
通过小组合作学习和交流讨论，培养学生的团队合作精神和勇于探索、敢于创新的精神，营造积极向上的学习氛围。
二、教学重难点
（一）教学重点
深刻理解并熟练运用有理数乘法法则进行有理数的乘法运算。
掌握乘法运算律在有理数乘法中的应用，能够运用运算律简化计算。
（二）教学难点
理解有理数乘法法则中负数与负数相乘结果为正的算理。
在复杂的有理数乘法运算中，灵活选择合适的运算律进行简便运算，并正确处理运算过程中的符号问题。
三、教学方法
讲授法、情境教学法、探究法、小组合作法相结合
四、教学过程
（一）情境导入（5 分钟）
创设情境：同学们，我们一起来看一个有趣的问题。在一条东西向的马路上，小明以每分钟 2 米的速度向东行走，3 分钟后他在什么位置？如果小明向西行走，速度不变，3 分钟后他又在什么位置呢？我们可以规定向东为正方向，向西为负方向，这个问题就涉及到有理数的乘法运算，今天我们就来学习有理数的乘法。（板书课题：有理数的乘法）
（二）新课讲授（20 分钟）
有理数乘法法则的探索
正数与正数相乘：对于刚才小明向东行走的情况，速度是 +2 米 / 分钟（向东为正），时间是 3 分钟，根据路程 = 速度 × 时间，那么他行走的路程是\(( + 2) 3 = 2 3 = 6\)米，这表示小明在出发点东边 6 米处，也就是正数与正数相乘，结果为正，积的绝对值是两个因数绝对值的积。
负数与正数相乘：如果小明向西行走，速度是 -2 米 / 分钟（向西为负），时间是 3 分钟，那么他行走的路程是\(( - 2) 3\) 。我们可以这样理解，小明每分钟向西走 2 米，走了 3 分钟，就是一共向西走了 6 米，所以\(( - 2) 3 = - 6\)米，这说明负数与正数相乘，结果为负，积的绝对值同样是两个因数绝对值的积。
正数与负数相乘：根据乘法交换律，\(3 ( - 2) = ( - 2) 3 = - 6\)，即正数与负数相乘，结果也是负，积的绝对值为两因数绝对值的积 。
负数与负数相乘：提出问题，如果小明向西行走，时间是 -3 分钟，这里的 -3 分钟可以理解为是 3 分钟前，那么\(( - 2) ( - 3)\)表示什么呢？我们可以从相反意义来思考，小明向西走，3 分钟前他的位置应该在出发点东边 6 米处，所以\(( - 2) ( - 3)=6\)，即负数与负数相乘，结果为正，积的绝对值是两个因数绝对值的积。
归纳法则：引导学生观察以上各种情况，小组讨论并归纳有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与 0 相乘，都得 0。
多个有理数相乘
举例分析：计算\(( - 2) 3 ( - 4)\)，先计算\(( - 2) 3 = - 6\)，再计算\(( - 6) ( - 4)=24\) ；计算\(( - 2) ( - 3) ( - 4)\)，先算\(( - 2) ( - 3)=6\)，再算\(6 ( - 4)= - 24\) 。
总结规律：引导学生观察结果，总结多个有理数相乘时积的符号确定方法：几个不等于 0 的数相乘，负因数的个数为偶数时，积为正；负因数的个数为奇数时，积为负。有一个因数为 0，积就为 0。
有理数乘法运算律
回顾整数乘法运算律：我们在小学学过整数乘法的交换律、结合律和分配律，如\(2 3 = 3 2\)（交换律），\((2 3) 4 = 2 (3 4)\)（结合律），\(2 (3 + 4)=2 3 + 2 4\)（分配律） 。
探究在有理数乘法中的适用性：通过举例验证，如\(( - 2) ( - 3)=( - 3) ( - 2)\)，\([( - 2) ( - 3)] 4=( - 2) [( - 3) 4]\)，\(( - 2) [( - 3)+4]=( - 2) ( - 3)+( - 2) 4\) ，得出乘法运算律在有理数乘法中同样适用。
强调应用价值：运用乘法运算律可以使一些有理数乘法运算更加简便，比如计算\(( - \frac{1}{25}) 125 ( - 4)\)，运用乘法交换律和结合律可得\([( - \frac{1}{25}) ( - 4)] 125=\frac{4}{25} 125 = 20\) 。
（三）例题讲解（10 分钟）
例 1：计算
（1）\(( - 5) ( - 6)\)；（2）\(\frac{3}{4} ( - \frac{8}{9})\)；（3）\(0 ( - 7.8)\) 。
解：（1）根据有理数乘法法则，两数相乘，同号得正，并把绝对值相乘，\(( - 5) ( - 6)=+(5 6)=30\)；
（2）异号得负，并把绝对值相乘，\(\frac{3}{4} ( - \frac{8}{9})= - (\frac{3}{4} \frac{8}{9})= - \frac{2}{3}\)；
（3）任何数与 0 相乘，都得 0，所以\(0 ( - 7.8)=0\) 。
例 2：计算\(( - \frac{1}{4} + \frac{1}{6} - \frac{1}{8}) ( - 24)\)
解：运用乘法分配律，\(
\begin{align*}
&( - \frac{1}{4} + \frac{1}{6} - \frac{1}{8}) ( - 24)\\
=&( - \frac{1}{4}) ( - 24) + \frac{1}{6} ( - 24) - \frac{1}{8} ( - 24)\\
=&6 - 4 + 3\\
=&5
\end{align*}
\)
通过这两个例题，详细展示有理数乘法运算的步骤和方法，强调在计算过程中要准确运用乘法法则和运算律，规范解题格式，特别是注意符号的处理。
（四）课堂练习（10 分钟）
计算下列各题
（1）\(9 ( - 11)\)；（2）\(( - \frac{2}{3}) ( - \frac{9}{4})\)；（3）\(( - 3) ( - 4) ( - 5)\)；（4）\(( - \frac{1}{2}) ( - \frac{2}{3}) ( - \frac{3}{4}) ( - \frac{4}{5})\) 。
用简便方法计算
（1）\(( - 125) ( - 25) ( - 8) ( - 4)\)；（2）\((\frac{1}{4} - \frac{1}{2} - \frac{1}{8}) 16\) 。
教师巡视学生练习情况，及时发现学生存在的问题，如符号错误、乘法法则运用不熟练、运算律使用不当等，进行个别指导和集中讲解，帮助学生掌握有理数乘法运算。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾本节课所学内容
有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与 0 相乘，都得 0。
多个有理数相乘时积的符号确定方法：负因数个数为偶数，积为正；负因数个数为奇数，积为负；有一个因数为 0，积为 0。
有理数乘法运算律：交换律、结合律、分配律及其在简便运算中的应用。
强调重点知识和易错点，如乘法运算中符号的判断、运算律运用的时机和方法等，帮助学生加深理解和记忆。
（六）作业布置（5 分钟）
书面作业：课本相关习题 [具体页码和题号]，要求学生认真书写，规范解题步骤，在计算过程中注明每一步运用的法则或运算律。
实践作业：观察生活中涉及有理数乘法的实际问题，如商品打折后的价格计算等，记录下来并尝试用所学知识解决，下节课进行分享。
五、教学反思
在教学过程中，关注学生对有理数乘法法则和运算律的理解与运用情况，分析学生在计算中出现错误的原因，如符号混淆、法则运用错误、运算律选择不当等。思考在后续教学中如何通过更多实例、针对性练习和有效辅导，帮助学生更好地掌握有理数乘法运算，提高学生的运算能力和数学应用能力。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
新课导入
5×6＝______
5×0＝______
正数×正数＝正数
正数×0 ＝0
0
30
5×(－6)＝？
(－5)×0＝？
(－5)×(－6)＝？
正数×负数＝？
负数×0 ＝？
负数×负数＝？
在小学学过乘法对加法的分配律，并且知道利用分配律进行计算.你还记得分配律的公式？
a×(b + c)=ab + ac
现在规定有理数的乘法法则，目的就是让有理数的乘法也满足乘法对加法的分配律.
探索新知
探 究
3×(－5)应当规定为多少？
2×(－5)＝ ________
(－5)+(－5)＝________
(－5)+(－5)+(－5)＝________
根据上面的值，猜猜一下的值：
3×(－5)＝ ________
－10
－15
－10
－15
3×(－5)应当规定为多少？
3×(－5)＋3×5＝3×[(－5)＋5]＝3×0＝0 .
3×(－5)与3×5 互为相反数.
3×(－5)＝ － (3×5)
为了满足有理数的乘法对加法的分配律，则有
思考： 为了满足有理数的乘法对加法的分配律， (－5)×3该怎样规定？
(－5)×3＝ － (5×3)
正数与负数相乘得负数，并把绝对值相乘.
为了满足有理数的乘法对加法的分配律，就必须规定:
2×0＝ ________
0×(－5)＝ ________
(－5) ×0＝ ________
0×2 ＝ ________
计算：
0
0
0
0
0与负数相乘得0.
思考：任何数与0相乘，得数是多少？
探 究
(2) (－5)×(－3)应当规定为多少
(－5)×(－3)＋(－5)×3＝(－5)×[(－3)＋3]＝(－5)×0＝0 .
(－5)×(－3)与(－5)×3互为相反数.
(－5)×(－3)＝－[(－5)×3]＝－[－(5×3)]＝5×3
为了满足有理数的乘法对加法的分配律，则有
负数与负数相乘得正数，并把绝对值相乘.
为了满足有理数的乘法对加法的分配律，就必须规定:
有理数的乘法法则：
同号两数相乘得正数，异号两数相乘得负数，并把绝对值相乘；
0乘任何数都得0 .
计算：
（1）3 ×(-2)； （2） (-8) ×5 ；
（3）0 ×(-6.18) ； （4） ；
（5） ； （6） ；
（7） .
解：
(1) 3 ×(-2)＝- (3 ×2) ＝- 6 .
(2) (-8) ×5 ＝- (8 ×5) ＝- 40 .
(3) 0×(-6.18)＝0 .
(＋)×(＋)→( )
(－)×(－)→( )
(－)×(＋)→( )
(＋)×(－)→( )
＋
＋
－
－
乘积为1的两个数互为倒数.
填空：
若a＜0，b＞0，则ab______0 ;
若a＜0，b＜0，则ab______0 ;
若ab＞0，则a、b应满足__________;
若ab＜0，则a、b应满足__________；
若ab＝0，则a、b应满足_________________.
＜
＞
a、b同号
a、b异号
a、b至少有一个为0
两数的符号特征 积的符号 积的绝对值
同号
异号 一个因数为 0 ＋
－
绝对值相乘
得 0
先定符号，再定绝对值
有理数的乘法法则：
课堂练习
【课本P32 练习 第1题】
1.计算
(1) 13×(－7)；
(2) (－15)×(－16)；
(3) (－9.8) × 0；
(4) 0×(－18) .
解：
(1) 13×(－7)＝－ (13×7) ＝－91；
(2) (－15)×(－16)＝15×16=240；
(3) (－9.8) × 0＝0；
(4) 0×(－18)＝0 .
2. 计算:
(1)
(2)
(3)
(4)
(－4.2)×1.3 ；
(5)
(－1.5)× (－6.4) .
(6)
【课本P32 练习 第2题】
解：
(1)
(2)
(3)
2. 计算:
(1)
(2)
(3)
(4)
(－4.2)×1.3 ；
(5)
(－1.5)× (－6.4) .
(6)
【课本P32 练习 第2题】
解：
(4)
(－4.2)×1.3＝－(4.2×1.3) ＝－5.46 ；
(5)
(－1.5)× (－6.4)＝1.5×6.4＝9.6 .
(6)
3.刘欣的妈妈每天早上要送新鲜蔬菜到菜市场去卖，下面是一周送出的 30 筐新鲜蔬菜的质量记录表（每筐以 25 kg 为标准质量）:
求这一周送出的 30 筐新鲜蔬菜的总质量.
解： 25×30+4×(-0.8)+6×(+0.6)+3×(-0.5)+4×(+0.4)+
4×(+0.5)+4×(-0.3)+5×(+0.3)
= 750+(-3.2)+3.6+(-1.5)+1.6+2+(-1.2)+1.5
= 752.8 ( kg )
答：这一周送出的 30 筐新鲜蔬菜的总质量是 752.8 kg.
1. 母题教材P31例1 下列计算正确的是( )
A
A.
B.
C.
D.
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2. ［2025永州月考］下列说法中正确的是( )
C
A. 两数相乘，积比每一个因数都大
B. 两数相乘，如果积为0，那么这两个因数异号
C. 两数相乘，如果积为0，那么这两个因数中至少有一个为0
D. 两数相乘，如果积为负数，那么这两个因数都为正数
3. ［2025长沙明德集团期末］若，且 ，则下
列说法正确的是( )
B
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
返回
4. 已知数轴上的点,分别表示数, ，其
中,.若,数在数轴上用点 表示，
则点,, 在数轴上的位置可能是( )
B
A. B.
C. D.
【点拨】因为,,所以 ,即
.所以点应在 和0之间.故选B.
返回
5. 在化学实验中，常采用水冷却、真空冷却等
方式将物体温度降下来.现采用真空冷却的方式将某种标本的
温度稳定下降，每分钟的变化量是 摄氏度.假设现在标本
的温度是5摄氏度，则4分钟后这种标本的温度是____摄氏度.
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6.在计算 时，小明是这样做的：
原式 （第一步）
（第二步）
.（第三步）
他的计算对吗？如果不对，是从哪一步开始出错的？把它改
正过来.
【解】不对，是从第二步开始出错的.
改正：原式 .
返回
7. 有理数，，， 在数轴上的对应点的位置如图所示，
则在下列选项中，正确的是( )
B
①若，则；②若，则 ；
③若，则；④若，则 .
A. ①③ B. ①④
C. ② D. ②④
返回
8.已知排好顺序的一组数：4，，0，，， ，7，
.若从这组数中任取两个不同的数和，则 的值中共
有____个不同的负数.
12
返回
9. 数学运算奇妙无穷，小明在学习有理数
时发现，存在两个有理数之和等于这两个有理数之积，如：
.请你再找两个满足以上规律且不相等的有理数，
这两个有理数可以是____________________（一组即可）.
和4（答案不唯一）
返回
10. 按如图程序计算，如果输入的数是 ，
那么输出的数是______.
课堂小结
有理数的乘法
法则
步骤
先确定积的符号
再求绝对值的积
同号两数相乘得正数，异号两数相乘得负数，并把绝对值相乘.
0乘任何数都得0.
谢谢观看！

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