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(共43张PPT)
1.5.1.2有理数的乘法运算律
第1章 有理数
【2024新教材】湘教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
有理数的乘法运算律教案
一、教学目标
（一）知识与技能目标
学生能清晰阐述有理数乘法交换律、结合律、分配律的内容，熟练掌握其字母表达式，即交换律\(a b = b a\)，结合律\((a b) c = a (b c)\)，分配律\(a (b + c)=a b + a c\)。
能够准确、灵活地运用有理数乘法运算律进行有理数乘法的简便运算，显著提升运算效率与准确性，能处理整数、分数、小数等多种形式的有理数乘法运算。
（二）过程与方法目标
通过对具体有理数乘法算式的观察、计算与分析，引导学生亲身经历有理数乘法运算律的探索过程，有效培养学生的观察能力、归纳能力和抽象概括能力，切实提高数学思维水平。
在运用运算律解决各类有理数乘法问题的过程中，强化学生的类比、转化思想，提升学生分析问题和解决问题的能力，使学生学会运用运算律优化运算过程。
（三）情感态度与价值观目标
让学生深切体会数学知识之间紧密的内在联系，充分感受数学的简洁美与逻辑美，极大激发学生对数学学习的浓厚兴趣和强烈的求知欲望。
通过小组合作探究、交流分享等活动，培养学生的团队协作精神和勇于探索创新的精神，增强学生学习数学的自信心和成就感，营造积极向上的学习氛围。
二、教学重难点
（一）教学重点
深入理解有理数乘法交换律、结合律、分配律的本质内涵，熟练掌握其推导过程和应用方法。
能够熟练运用乘法运算律进行有理数乘法的简便运算，尤其是在复杂的运算式子中准确选择合适的运算律。
（二）教学难点
在实际运算中，灵活运用乘法运算律，根据算式特点巧妙组合因数，合理拆分因数，以达到简便运算的目的。
正确区分乘法分配律与其他运算律，准确把握分配律在不同形式算式中的应用，避免运算律使用混乱。
三、教学方法
讲授法、探究发现法、小组合作法、练习法相结合
四、教学过程
（一）复习回顾，情境导入（5 分钟）
知识回顾：同学们，上节课我们学习了有理数的乘法法则，谁能快速说一说两数相乘以及多个有理数相乘的计算方法？（随机提问学生回答）现在，大家计算一下这几道题：\(( - 3) 5\)，\(( - 2) ( - 4) 3\) 。（学生计算后，快速核对答案）
情境导入：老师这里有两组算式，第一组\(2 3\)和\(3 2\)，第二组\((2 3) 4\)和\(2 (3 4)\) 。大家计算一下这两组算式的结果，看看有什么发现？其实，这背后隐藏着重要的有理数乘法运算律，今天我们就一起来深入探究有理数的乘法运算律。（板书课题：有理数的乘法运算律）
（二）新课讲授（20 分钟）
探究乘法交换律
计算观察：让学生计算\(4 ( - 5)\)与\(( - 5) 4\)，\(\frac{2}{3} ( - \frac{3}{4})\)与\(( - \frac{3}{4}) \frac{2}{3}\) ，观察每组算式的结果。
提出猜想：引导学生思考：从这些算式的计算结果中，你能发现什么规律？鼓励学生大胆提出猜想：两个有理数相乘，交换因数的位置，积不变。
举例验证：组织学生小组合作，每个小组列举多个不同类型的有理数乘法算式（涵盖正数、负数、分数、小数等），验证猜想是否成立。各小组汇报验证结果，共同确认猜想的正确性。
归纳总结：在学生充分验证的基础上，师生共同归纳出有理数乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变，用字母表示为\(a b = b a\)。同时说明交换律在乘法运算中可以使计算更方便，比如计算\(( - \frac{1}{8}) 16\)时，交换因数位置变为\(16 ( - \frac{1}{8})\)，能更快速得出结果\(-2\) 。
探究乘法结合律
计算对比：让学生计算\((3 4) ( - 5)\)与\(3 [4 ( - 5)]\)，\([( - 2) ( - 3)] ( - 4)\)与\(( - 2) [( - 3) ( - 4)]\) ，比较每组算式的结果。
引导猜想：引导学生观察结果，提出问题：这两组算式又有什么特点？你能由此猜想出一个规律吗？鼓励学生尝试归纳：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。
广泛验证：同样组织学生小组合作，通过大量不同的有理数乘法算式进行验证，确保猜想的普遍性。
得出结论：师生共同总结有理数乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变，用字母表示为\((a b) c = a (b c)\)。强调结合律在多个有理数相乘时，可通过改变运算顺序简化计算，如计算\(( - 25) 0.34 4\)，运用结合律\([( - 25) 4] 0.34\)，先算\(( - 25) 4 = - 100\)，再算\(( - 100) 0.34 = - 34\) 。
探究乘法分配律
创设情境：提出问题：学校要给每个班级购买 5 套文具，每套文具包含一支 2 元的铅笔和一本 3 元的笔记本，给一个班级购买文具需要多少钱？引导学生用两种方法计算，一种是先算一套文具的价格再乘以套数，即\((2 + 3) 5 = 5 5 = 25\)元；另一种是分别算铅笔和笔记本的总价再相加，即\(2 5 + 3 5 = 10 + 15 = 25\)元 。
抽象规律：将上述实际问题转化为数学式子，得到\((2 + 3) 5 = 2 5 + 3 5\)，引导学生观察式子特点，尝试归纳规律。
举例验证：让学生再列举多个有理数的类似算式进行验证，如\(( - 2 + 4) 3\)与\(( - 2) 3 + 4 3\) ，进一步确认规律。
总结归纳：师生共同总结有理数乘法分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加，用字母表示为\(a (b + c)=a b + a c\)。同时拓展到减法形式\(a (b - c)=a b - a c\)，并举例说明，如计算\(( - 5) (4 - 6)=( - 5) 4 - ( - 5) 6 = - 20 + 30 = 10\) 。
（三）例题讲解（10 分钟）
例 1：计算\(( - 8) ( - 25) ( - 0.125)\)
解：\(
\begin{align*}
&( - 8) ( - 25) ( - 0.125)\\
=&( - 8) ( - 0.125) ( - 25)\\
=&1 ( - 25)\\
=& - 25
\end{align*}
\)
（讲解时强调观察到\(-8\)与\(-0.125\)相乘可得整数\(1\)，运用乘法交换律改变因数位置进行简便运算）
例 2：计算\((\frac{1}{4} - \frac{1}{6} + \frac{1}{3}) ( - 12)\)
解：\(
\begin{align*}
&(\frac{1}{4} - \frac{1}{6} + \frac{1}{3}) ( - 12)\\
=&\frac{1}{4} ( - 12) - \frac{1}{6} ( - 12) + \frac{1}{3} ( - 12)\\
=& - 3 + 2 - 4\\
=& - 5
\end{align*}
\)
（引导学生分析式子符合乘法分配律形式，运用分配律将\(-12\)分别与括号内的数相乘，简化计算过程）
通过这两个例题，详细展示运用有理数乘法运算律进行简便运算的思路和步骤，强调观察算式特点、选择合适运算律的重要性，规范解题格式和书写步骤。
（四）课堂练习（10 分钟）
计算下列各题
（1）\(( - 5) 7 ( - 4)\)
（2）\(( - \frac{3}{4}) ( - 8 + \frac{2}{3} - \frac{4}{9})\)
（3）\(0.25 ( - 12) ( - 4)\)
（4）\(( - 19) ( - 25) 4 ( - 8)\)
用简便方法计算\(99\frac{15}{16} ( - 8)\)
教师巡视学生练习情况，及时发现学生在运用运算律过程中出现的问题，如运算律运用错误、符号处理不当、不会根据算式特点选择合适运算律等，进行个别指导和集中讲解，帮助学生熟练掌握运用运算律进行简便运算的方法。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾本节课所学内容
有理数乘法交换律：\(a b = b a\)，交换因数位置，积不变，可简化计算顺序。
有理数乘法结合律：\((a b) c = a (b c)\)，改变运算顺序，积不变，适用于多个数相乘的情况。
有理数乘法分配律：\(a (b + c)=a b + a c\)（包括减法形式\(a (b - c)=a b - a c\)），用于一个数与两个数的和或差相乘的运算。
运用运算律进行简便运算的关键：观察算式中数字的特点，合理选择运算律，灵活组合或拆分因数。
强调重点知识和易错点，如运算律运用过程中的符号处理，不同运算律适用的算式形式，提醒学生在计算时要认真观察、仔细思考，养成良好的运算习惯。
（六）作业布置（5 分钟）
书面作业：课本相关习题 [具体页码和题号]，要求学生认真书写，在解题过程中明确标注运用了哪些运算律，规范解题步骤。
实践作业：观察生活中涉及有理数乘法运算律应用的实际场景，如商场促销活动中的满减计算、团队采购物品的总价计算等，记录下来并分析其中运用的运算律，下节课进行分享。
五、教学反思
在教学过程中，密切关注学生对有理数乘法运算律的理解和运用情况，分析学生在练习中出现错误的原因，如对运算律形式记忆模糊、不能准确判断算式适用的运算律、运算过程中符号出错等。思考在后续教学中如何通过更多具有针对性的练习、多样化的实例和有效的辅导，帮助学生更好地掌握运算律，提高学生运用运算律进行简便运算的能力和数学应用素养。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
问题导入
在小学里，我们都知道，数的乘法满足交换律、结合律和分配律，例如
3×5＝5×3
(3×5)×2＝3×(5×2)
3×(5＋2) ＝3×5＋3×2
引入负数后，三种运算律是否还成立呢
探索新知
做一做
(1) 先填空，再判断下面三组算式的结果是否分别相等.
① (－6)×[4＋(－9)]＝(－6)×______＝______，
(－6)×4＋(－6)× (－9) ＝______＋______＝______；
② (－6)×[(－4) ＋9]＝(－6)×______＝______，
(－6)×(－4) ＋(－6)× 9 ＝______＋______＝______；
③ (－6)×[(－4) ＋(－9)]＝(－6)×______＝______，
(－6)×(－4) ＋(－6)× (－9) ＝______＋______＝______；
－5
30
－24
54
30
5
－30
24
－54
－30
－13
78
24
54
78
有理数的乘法运算律
做一做
(2) 将 (1)中的有理数换成其他有理数，各组算式的结果分别相等吗
相等
即一个有理数与两个有理数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加．
一般地，有理数的乘法满足乘法对加法的分配律：
a×(b＋c)=a × b＋a × c，
(b＋c) ×a=b × a＋c × a.
根据乘法对加法的分配律可推出：
即 一个有理数同几个有理数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加.
a×(b＋c＋d )=a × b＋a ×c＋a × d，
(b＋c ＋d ) ×a=b × a＋c × a＋d × a.
做一做
(1) 先填空，再判断下面两组算式的结果是否分别相等.
① (－3)× (－)＝______，
(－ )× (－3)＝______；
② [(－2) ×3] ×(－4)＝______ × (－4) ＝______，
(－2) ×[3×(－4) ] ＝(－2) ×______＝______.
2
2
－6
24
－12
24
(2) 将 (1)中的有理数换成其他有理数，各组算式的结果分别相等吗
相等
(3) 由(1)(2)你能发现什么？
1.乘法交换律：
a × b= b × a
三个有理数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变.
两个有理数相乘，交换因数的位置，积不变.
2.乘法结合律：
(a × b) ×c=a ×( b × c)
由有理数的乘法交换律、乘法结合律可知，三个或三个以上的有理数相乘，可以写成这些数的连乘式．对于连乘式，可以任意交换因数的位置，也可以先把其中的几个数相乘.
由于(－1)×a＋a＝(－1)×a＋1×a
＝[(－1) ＋1] ×a
＝0×a
＝0，
因此(－1)×a 与 a 互为相反数，即
(－1)×a＝－a
计算：
解：
解法有错吗？
错在哪儿？
计算：
解：
正确的解法：
特别提醒
1.不要漏掉符号；
2.不要漏乘.
计算：
(3) (-12.5)×(-2.5)×(-8)× 4 .
解：(1)
······乘法对加法的交换律
计算：
(3) (-12.5)×(-2.5)×(-8)× 4 .
(2)
计算：
(3) (-12.5)×(-2.5)×(-8)× 4 .
（3） (-12.5)×(-2.5)×(-8)× 4
= (-12.5)×(-8)×(-2.5)× 4
= (-12.5)×(-8)×[(-2.5)× 4]
= 100×(-10)
= -1000
······乘法交换律
······乘法结合律
多个有理数相乘
观察下列各式，它们的积是正还是负？
(1) (－1)×2×3×4
(2) (－1)×(－2)×3×4
(3) (－1)×(－2)×(－3)×4
(4) (－1)×(－2)×(－3)×(－4)
(5) (－1)×(－2)×(－3)×(－4)×0
思考：几个有理数相乘，因数都不为0时，积的符号和负因数的个数有什么关系？有一个因数为0，积是多少？
负
正
负
正
0
多个有理数相乘的法则:
（1）几个不等于 0 的数相乘，积的符号
由_____________决定的.
当有_____个负数时，积为负数；
当有_____个负数时，积为偶数.
（2）几个数相乘，如果其中有因数0，那么积等于0.
负因数的个数
奇数
偶数
奇负偶正
计算：
（1）(-8)×(-1) ×(-3)×4×(-5) ；
（2）
(-8)×(-1) ×(-3)×4×(-5)
＝8× 1× 3× 4× 5
＝480 .
=－32 .
解：(1)
(2)
先确定积的符号，再把所有因数的绝对值相乘.
填空：
(1) 已知a b c＞0，a＞0，ac＜0，则a、b、c的符号分别是__________；
(2) 已知a b c＞0，a＞c，ac＜0，则a、b、c的符号分别是__________.
正、负、负
正、负、负
课堂练习
【课本P35 练习 第1题】
1.计算:
解：
课堂练习
【课本P35 练习 第1题】
1.计算:
2.计算:
(1) (－2)×17×(－5)；
(2) (－15)×(－3)×(－4)×2 .
【课本P35 练习 第2题】
解：
(1) (－2)×17×(－5)
＝ 2 ×17× 5
＝ 170
(2) (－15)×(－3)×(－4)×2
＝－ (15×3×4×2)
＝－ 360
3.直接判断下列各式计算结果的符号:
(1) (－2)×7×8；
(2) (－3)×5×(－) ；
(3) × (－2.1)×(－6) ×(－3)；
(4) (－3.6)×(－5)×(－4)×(－) ；
【课本P35 练习 第3题】
(5) 4× (－8.1)×(－11)×(－14)×(－) ×(－ ) ；
负
正
负
正
负
4.计算:
(3) (－1.5)× (－6)× (－4)；
(2) (－0.125)× 9× (－8)；
【课本P35 练习 第4题】
解：
(2) (－0.125)× 9× (－8)
＝[(－0.125)× (－8)] ×9
＝1×9
＝9
4.计算:
(3) (－1.5)× (－6)× (－4)；
(2) (－0.125)× 9× (－8)；
【课本P35 练习 第4题】
(3) (－1.5)× (－6)× (－4)
＝－ (1.5×6×4)
＝－ 36
5.计算：
解法1：
= -3168 + (-30)= -3198
解法2：
= -3200 + 2= -3198
1. 母题教材P35T3下列式子中，积为负的是( )
B
A.
B.
C.
D.
返回
2. 观察算式 ，在解题过程中，能使
运算变得简便的运算律是( )
C
A. 乘法交换律 B. 乘法结合律
C. 乘法交换律、结合律 D. 分配律
返回
3. 如图所示的计算过程可以解释的运算规
律为( )
D
A. 加法结合律 B. 乘法结合律
C. 乘法交换律 D. 分配律的逆用
返回
4. ［2025杭州余杭区月考］在简便运算时，把
变形成最合适的形式是( )
A
A. B.
C. D.
返回
5. 若的值记为，则 的值可表
示为( )
C
A. B.
C. D.
【点拨】因为的值记为，所以 .
返回
6. 2 025个有理数相乘，如果积为0，那么在2 025个有理数
中( )
C
A. 全部为0 B. 只有一个数为0
C. 至少有一个数为0 D. 有两个数互为相反数
返回
7. 小阳在计算 时，不小心将
一滴墨水滴在了本子上，盖住了其中一个数，导致他无法计
算，在求助老师时，老师告诉他：“被盖住的数是4，7，10，
11中的一个，并且这道题直接用乘法结合律来计算会非常简
便”，则被盖住的数最可能是( )
B
A. 4 B. 7 C. 10 D. 11
返回
8.计算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） ；
原式 .
（3） .
原式 .
返回
9. 若有理数,, 在数轴上对应点的位置如图所示，则必有
( )
B
A. B.
C. D.
返回
10. 如果，， ，那么这四个数中
负数有( )
D
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【点拨】因为，所以，互为相反数，即， 异
号.因为，所以，中至少有一个正数，即， 中
最多有1个负数.所以，，， 中至少有2个正数.因为
，所以负因数的个数是1个或3个.所以这四个数中负
数有1个.故选D.
返回
11. 在整数， ，0，6，2中，若选取两个整数分
别填入“”的和 中，并使等式成立，则选取
后填入“ ”的数字有( )
D
A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种
【点拨】从5个数中选出使等式成立的组合有 ，
，乘法满足交换律，故有4种选择.此题易忽略乘
法交换律而漏解.
返回
12.［2025北京海淀区月考］四个互不相等的整数，， ，
，使，则
___ .
4
【点拨】因为 ，四个互不相等的整数
，，，，使 ，所以不
妨设，，， ，解得
，，， ，所以
.
返回
13. 如图，有6张写着不同数的卡片，若从
中抽取3张.
（1）使这3张卡片上的数的积最小，应该如何抽？积是多少？
【解】应抽取写着，， 的3张卡片，
它们的积是 .
（2）使这3张卡片上的数的积最大，应该如何抽？积是多少？
应抽取写着，， 的3张卡片，
它们的积是 .
返回
课堂小结
有理数的乘法运算律
有理数的乘法运算律
多个有理数相乘
乘法对加法的分配律
乘法交换律
乘法结合律
（1）几个不等于 0 的数相乘，当有偶数个负数时，积为正数，当有奇数个负数时，积为负数.
（2）几个数相乘，如果其中有因数0，那么积等于0.
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