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1.5.2 有理数的除法
第1章 有理数
【2024新教材】湘教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
1.5.2 有理数的除法教案
一、教学目标
（一）知识与技能目标
学生能准确理解有理数除法的意义，熟练掌握有理数除法法则，包括将除法转化为乘法的方法，即除以一个不等于\(0\)的数，等于乘这个数的倒数。
能够正确、熟练地运用有理数除法法则进行有理数的除法运算，以及有理数的乘除混合运算，准确处理运算中的符号和数值计算，提高运算能力。
（二）过程与方法目标
通过类比有理数乘法的学习过程，引导学生经历有理数除法法则的探究过程，培养学生的类比推理能力和知识迁移能力，提升数学思维的灵活性。
在解决有理数除法相关问题的过程中，培养学生分析问题、解决问题的能力，强化学生对数学转化思想的理解与应用。
（三）情感态度与价值观目标
让学生感受数学知识之间的内在联系和系统性，体会数学的逻辑性和严谨性，激发学生学习数学的兴趣和热情。
通过自主探索与合作交流，培养学生的团队合作精神和勇于挑战、敢于创新的精神，增强学生学习数学的自信心和成就感。
二、教学重难点
（一）教学重点
深入理解有理数除法法则，熟练掌握有理数除法运算转化为乘法运算的方法。
能够准确运用有理数除法法则进行有理数的除法及乘除混合运算，正确处理运算中的符号问题。
（二）教学难点
理解有理数除法法则的合理性，特别是负数参与除法运算时结果符号的确定。
在有理数乘除混合运算中，正确把握运算顺序，灵活运用运算律进行简便运算。
三、教学方法
讲授法、类比法、探究法、练习法相结合
四、教学过程
（一）复习回顾，情境导入（5 分钟）
知识回顾：同学们，之前我们学习了有理数的乘法及乘法运算律。谁能说一说有理数乘法法则？（两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与\(0\)相乘，都得\(0\)）乘法交换律、结合律、分配律的表达式分别是什么？（交换律\(a b = b a\)，结合律\((a b) c = a (b c)\)，分配律\(a (b + c)=a b + a c\)）快速计算\(( - 3) 4\)，\(( - 2) ( - 5)\) 。（学生计算后，教师点评并核对答案）
情境导入：老师这里有一个问题，小明有\(-12\)元钱，他想平均分给\(3\)个同学，每个同学能得到多少钱呢？这个问题就需要用到有理数的除法运算，今天我们就一起来学习有理数的除法。（板书课题：1.5.2 有理数的除法）
（二）新课讲授（20 分钟）
有理数除法的意义
回顾整数除法意义：在小学我们学过整数除法，它是乘法的逆运算，比如\(6 ·3 = 2\)，是因为\(2 3 = 6\)。在有理数范围内，除法同样是乘法的逆运算。
结合实例理解：以刚才小明分钱的例子来说，\(( - 12) ·3\)，我们要找一个数乘以\(3\)等于\(-12\)，因为\(( - 4) 3 = - 12\)，所以\(( - 12) ·3 = - 4\) 。这表明有理数除法是已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
有理数除法法则的推导
探究正数与负数相除：计算\(8 ·( - 4)\)，思考哪个数乘以\(-4\)等于\(8\)，因为\(( - 2) ( - 4)=8\)，所以\(8 ·( - 4)= - 2\) 。
探究负数与正数相除：计算\(( - 8) ·4\)，由于\(( - 2) 4 = - 8\)，所以\(( - 8) ·4 = - 2\) 。
探究负数与负数相除：计算\(( - 8) ·( - 4)\)，因为\(2 ( - 4)= - 8\)，所以\(( - 8) ·( - 4)=2\) 。
探究\(0\)参与的除法：\(0 ·5 = 0\)，因为\(0 5 = 0\)；而\(5 ·0\)没有意义，因为找不到一个数乘以\(0\)等于\(5\)，同样\(0 ·0\)也没有意义。
归纳法则：引导学生观察以上各种情况，小组讨论并归纳有理数除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。\(0\)除以任何一个不等于\(0\)的数，都得\(0\) 。同时，我们还可以将除法转化为乘法，除以一个不等于\(0\)的数，等于乘这个数的倒数，用式子表示为\(a ·b = a \frac{1}{b}(b 0)\) 。
有理数除法法则的应用
讲解例题：计算（1）\(( - 15) ·( - 3)\)；（2）\(( - 12) ·\frac{1}{3}\)；（3）\(0 ·( - 7)\) 。
解：（1）根据有理数除法法则，两数相除，同号得正，并把绝对值相除，\(( - 15) ·( - 3)=+(15 ·3)=5\)；
（2）将除法转化为乘法，\(( - 12) ·\frac{1}{3}=( - 12) 3 = - 36\)；
（3）\(0\)除以任何一个不等于\(0\)的数，都得\(0\)，所以\(0 ·( - 7)=0\) 。
强调要点：在计算过程中，要先确定商的符号，再进行绝对值的运算；运用除法转化为乘法的方法时，要准确找到除数的倒数，同时注意符号问题。
（三）例题讲解（10 分钟）
例 1：计算\(( - \frac{3}{4}) ·( - \frac{9}{8})\)
解：将除法转化为乘法，\(( - \frac{3}{4}) ·( - \frac{9}{8})=( - \frac{3}{4}) ( - \frac{8}{9})\)，根据有理数乘法法则，同号得正，并把绝对值相乘，\(( - \frac{3}{4}) ( - \frac{8}{9})=\frac{3 8}{4 9}=\frac{2}{3}\) 。
例 2：计算\(( - 24) ·( - 2) ·( - \frac{3}{4})\)
解：按照从左到右的顺序进行计算，先算\(( - 24) ·( - 2)=12\)，再算\(12 ·( - \frac{3}{4})=12 ( - \frac{4}{3}) = - 16\) 。
通过这两个例题，详细展示有理数除法及乘除混合运算的步骤和方法，强调运算顺序和符号处理，规范解题格式，培养学生运用知识解决问题的能力。
（四）课堂练习（10 分钟）
计算下列各题
（1）\(24 ·( - 6)\)；（2）\(( - 0.75) ·0.25\)；（3）\(( - \frac{5}{6}) ·( - \frac{10}{3})\)；（4）\(0 ·( - 100)\) 。
计算\(( - 18) ·( - 3) ( - \frac{1}{3})\)，\(( - \frac{1}{2}) ·( - \frac{2}{3}) ·\frac{3}{4}\) 。
教师巡视学生练习情况，及时发现学生存在的问题，如符号错误、法则运用不熟练、运算顺序错误等，进行个别指导和集中讲解，帮助学生掌握有理数除法运算。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾本节课所学内容
有理数除法的意义：除法是乘法的逆运算。
有理数除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；\(0\)除以任何一个不等于\(0\)的数，都得\(0\)；除以一个不等于\(0\)的数，等于乘这个数的倒数。
有理数除法运算步骤：先确定商的符号，再进行绝对值运算，可将除法转化为乘法进行计算。
强调重点知识和易错点，如符号判断、倒数的计算、乘除混合运算的顺序等，帮助学生加深理解和记忆。
（六）作业布置（5 分钟）
书面作业：课本相关习题 [具体页码和题号]，要求学生认真书写，规范解题步骤，准确运用有理数除法法则进行计算。
实践作业：观察生活中涉及有理数除法的实际问题，如平均分物品的价值计算等，记录下来并尝试用所学知识解决，下节课进行分享。
五、教学反思
在教学过程中，关注学生对有理数除法法则的理解和运用情况，分析学生在计算中出现错误的原因，如符号混淆、倒数计算错误、运算顺序混乱等。思考在后续教学中如何通过更多实例、针对性练习和有效辅导，帮助学生更好地掌握有理数除法运算，提高学生的运算能力和数学应用能力。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
情境导入
你能很快说出下列算式的结果吗？
乘法 除法
2×3=6 6÷2=
6÷3=
0×3=0 0÷3=
3
2
0
在小学，我们就知道除法是乘法的逆运算，
即 a÷b=a× (b≠0 )
那它在有理数的运算中也满足吗？
探索新知
我们知道 2 × 3 = 6， 因此
6 ÷ 3 = 2. ①
那么如何计算(-6)÷ 3,6 ÷(-3),(-6)÷(-3)呢？
探 究
在有理数中，除法也是乘法的逆运算.
有理数的除法法则1
由于 （-2）×3 = -6 ，
因此， （-6）÷3 = -2 . ②
类似地，由于（-2）×（-3）= 6 ，
由于 2 ×（-3） = -6 ，
因此， 6÷（- 3）= -2 ， ③
因此， （-6）÷（-3）= 2 . ④
对于两个有理数a，b，其中 b不为0，如果有一个有理数c，使得 c b = a，那么规定 a ÷ b = c，且把 c 叫作 a 除以 b 的商.
抽 象
（-6）÷（-3）= 2 . ④
6 ÷ 3 = 2. ①
同号两数相除得正数，并把它们绝对值相除
（-6）÷3 = -2 . ②
6÷（- 3）= -2 ， ③
异号两数相除得负数，并把它们绝对值相除
0÷（- 3）= 0.
0除以任何不等于0的数都得0
同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，并把它们的绝对值相除；
0除以任何一个不等于0的数都得0.
（+）÷（+）→（+）
（-）÷（-）→（+）
（-）÷（+）→（-）
（+）÷（-）→（-）
计算：
（1）（-24）÷4 ； （2）（-18）÷（-9）；
（3） 10 ÷（-5）； （4） 0 ÷（-10）.
（1）（-24）÷4 = -(24÷4) = -6 .
（2）（-18）÷（-9）= 18÷9= 2 .
（3） 10 ÷（-5）= -（10÷5）= -2 .
解
（4） 0÷（-10）= 0 .
先定符号；
再计算绝对值.
思 考
分别计算 10÷(-5) 与10×(- ) ，它们的结果相等吗？
(-10) ÷(-5) 与(-10)×(- )的结果呢？
－2
－2
2
2
相等
相等
倒数
若两个有理数的乘积等于 1，则把其中一个数叫作另一个数的倒数，也称它们互为倒数.
0 没有倒数
原数 5 2 0 -1
倒数
说出下面各数的倒数：
无
有理数的除法法则2
⑤式表明，10 除以-5 等于10 乘-5 的倒数；
⑤
⑥
⑥式表明，-10 除以-5 等于-10 乘-5 的倒数.
填空：
1的倒数为________; －1的倒数为________;
的倒数为________; 的倒数为________;
0.25的倒数为________; 0的倒数________;
的倒数为________.
1
－1
3
4
不存在
注意：
1.求小数的倒数，先化成分数，再求倒数；
2.求带分数的倒数，先化成假分数，再求倒数；
3. 0没有倒数. 倒数是本身的数有±1.
一般地，有
除以一个不等于0的数等于乘这个数的倒数.
也可以表示为
除法变乘法
互为倒数
计算：
（1） ； （2） ；
（3） .
解
课堂练习
【课本P38 练习 第1题】
1. 计算：
（1）14÷(-7)； （2）(-36)÷(-3)；
（3）0÷(-0.618)； （4）(-48)÷12.
（4） （-48）÷ 12 = -（48÷12）= -4 .
（3） 0÷（-0.618）= 0 .
（1） 14÷(-7)= -(14÷7) = -2 .
（2）（-36）÷（-3）= 36÷3= 12 .
解
2.填空：
（1）因为 × = 1，所以 的倒数是 ；
（2） 的倒数是 ；-3 的倒数是 .
-6
-6
【课本P38 练习 第2题】
3. 计算：
（1） (-36)÷(-0.6) ； （2） ；
（3） ； （4） .
【课本P38 练习 第3题】
(1) (-36)÷(-0.6)＝36÷0.6＝ 60
解：
4. 已知 a，b，c 是有理数，当 a+b+c=0 ，abc<0 时，
的值为（ ）
A. 1 或 -3
B. 1 或 -1 或 -3
C. -1 或 3
D. 1 或 -1 或 3 或 -3
A
5.已知 a 与 b互为相反数，c与 d 互为倒数，m 的绝对值为6，求 的值.
解：由题意，得
因为a + b=0 ，cd =1 ，|m|=6
方法总结:解答此题的关键是先根据题意得出
a+b=0，cd=1及|m|=6，再代入所求代数式进行计算.
1. 下列各组数中，互为倒数的是( )
C
A. 0.5和5 B. 和
C. 5和 D. 和10
2. ［2025永州期末］ 的倒数的相反数是( )
D
A. B. C. D.
返回
3. 下列计算不正确的是( )
D
A. B.
C. D.
4. 下列化简：;; ;
; .其中正确的有( )
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
返回
5. 如图，要使的运算结果最小，则“ ”内应填入的运算
符号为( )
B
A. B. - C. × D.
【点拨】由数轴可知， ，
所以， ，
， .
因为 ，
所以“ ”内应填入的运算符号为“-”.
返回
6.点,表示的两个数在数轴上互为相反数，且点 向左平移
8个单位长度到达点,,表示的数互为倒数，则,, 三个
点所表示的数分别是___,____和____.
4
7.已知，，且，则 ____.
【点拨】因为，，且 ，
所以，或，，所以 .
返回
8.计算：
（1） ；
【解】
.
（2） .
.
返回
9.小溪在计算时，除号变乘号时，忘记把 改成它
的倒数，结果是54，则 的正确结果是__.
【点拨】由题意得，所以 ,所以
.
返回
10.小安和小何玩猜数的游戏，小安心里想好了一个数并描述
说：“这个数的绝对值等于它的相反数.”小何说：“我猜不到.”
小安继续说：“它的倒数等于它本身.”小何说“我知道了！”，
小安心里想的这个数是____.
11.规定，例如： ，则
的值为_ ___.
【点拨】由题意，得 ，
，故原式 .
返回
12.观察数列：1，2，4，8， 发现，从第二项起，每一项
与它前面的一项的比都是2.一般地，如果一列数从第二项起，
每一项与它前面的一项的比都等于同一个常数，我们就把这
样的一列数叫作等比数列.
（1）等比数列3，，27， 的第四项为_____；
（2）一个等比数列的第二项是5，第三项是 ，它的第一
项是____，第五项是_____.
返回
课堂小结
有理数的除法
法则一
法则二
同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，并把它们的绝对值相除.
除以一个数等于乘这个数的倒数.
0除以任何一个不等于0的数都得0.
谢谢观看！

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