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1.5.3 有理数的乘除
第1章 有理数
【2024新教材】湘教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
1.5.3 有理数的乘除教案
一、教学目标
（一）知识与技能目标
学生能熟练掌握有理数乘除混合运算的运算顺序，准确运用有理数乘、除法法则进行有理数的乘除混合运算，包括整数、分数、小数形式的混合运算。
学会运用运算律简化有理数乘除混合运算，提高运算的准确性和速度，能够正确处理运算过程中符号与数值的计算。
（二）过程与方法目标
通过对有理数乘除混合运算的探究，引导学生经历从具体算式到运算方法归纳的过程，培养学生的观察、分析、归纳和概括能力，提升数学思维的逻辑性。
在运用运算律解决问题的过程中，强化学生的转化思想和优化意识，增强学生运用数学知识解决实际问题的能力。
（三）情感态度与价值观目标
让学生感受数学知识的连贯性和系统性，体会数学在实际生活中的应用价值，激发学生学习数学的兴趣和热情。
通过自主探索与合作交流，培养学生的团队合作精神和勇于克服困难的意志品质，增强学生学习数学的自信心和成就感。
二、教学重难点
（一）教学重点
熟练掌握有理数乘除混合运算的顺序，准确运用有理数乘除法法则进行运算。
能够灵活运用运算律简化有理数乘除混合运算。
（二）教学难点
在复杂的有理数乘除混合运算中，正确处理运算符号和性质符号，合理选择运算律进行简便运算。
从实际问题中抽象出有理数乘除混合运算的数学模型，并运用所学知识解决问题。
三、教学方法
讲授法、探究法、练习法、小组合作法相结合
四、教学过程
（一）复习回顾，情境导入（5 分钟）
知识回顾：同学们，之前我们学习了有理数的乘法和除法运算。谁能快速说一说有理数乘法法则和除法法则？（学生回答后，教师总结：乘法法则为两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与\(0\)相乘，都得\(0\)。除法法则为两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，\(0\)除以任何一个不等于\(0\)的数，都得\(0\)，除以一个不等于\(0\)的数等于乘这个数的倒数）计算\(( - 2) 3\)，\(( - 12) ·( - 3)\) 。（学生计算后，教师点评并核对答案）
情境导入：在生活中，我们常常会遇到需要同时进行有理数乘法和除法的问题。比如，某工厂生产零件，每个零件的成本是\(-5\)元（成本为负表示支出），生产效率是每天生产\(8\)个，现在要计算\(6\)天的总成本是多少，这就涉及到有理数的乘除运算。今天我们就来学习有理数的乘除。（板书课题：1.5.3 有理数的乘除）
（二）新课讲授（20 分钟）
有理数乘除混合运算的顺序
回顾整数运算顺序迁移：在小学我们学习过整数的乘除混合运算，是按照从左到右的顺序进行计算的。在有理数范围内，乘除混合运算同样遵循从左到右的顺序。例如\(4 3 ·2\)，先算\(4 3 = 12\)，再算\(12 ·2 = 6\) 。
结合有理数运算特点：对于有理数乘除混合运算，如\(( - 2) 3 ·( - 4)\)，按照从左到右的顺序，先计算\(( - 2) 3 = - 6\)，再计算\(( - 6) ·( - 4)=\frac{3}{2}\) 。
有理数乘除混合运算的方法
将除法转化为乘法：根据有理数除法法则，把乘除混合运算中的除法都转化为乘法。例如\(6 ·( - 3) ( - 2)\)，可转化为\(6 ( - \frac{1}{3}) ( - 2)\) 。这样整个式子就变成了有理数的连乘运算，再按照乘法法则进行计算，\(6 ( - \frac{1}{3}) ( - 2)= - 2 ( - 2)=4\) 。
强调符号处理：在运算过程中，要特别注意符号的确定。先根据乘法法则确定积的符号，再进行绝对值的运算。多个有理数相乘时，负因数的个数为偶数时，积为正；负因数的个数为奇数时，积为负 。如\(( - 2) ( - 3) ·( - 4)=6 ·( - 4)= - \frac{3}{2}\) 。
运用运算律简化运算
回顾乘法运算律：我们学过有理数乘法的交换律\(a b = b a\)、结合律\((a b) c = a (b c)\)和分配律\(a (b + c)=a b + a c\) 。在有理数乘除混合运算中，合理运用这些运算律可以使计算更加简便。
举例讲解：计算\(( - \frac{1}{4}) ( - 8) ·( - \frac{2}{3})\)，可以运用乘法交换律将式子变形为\(( - \frac{1}{4}) ·( - \frac{2}{3}) ( - 8)\)，先算\(( - \frac{1}{4}) ·( - \frac{2}{3})=( - \frac{1}{4}) ( - \frac{3}{2})=\frac{3}{8}\)，再算\(\frac{3}{8} ( - 8)= - 3\) ；又如计算\(( - 25) \frac{3}{4} ·( - 15) \frac{1}{3}\)，运用交换律和结合律可得\([( - 25) ·( - 15)] (\frac{3}{4} \frac{1}{3})=\frac{5}{3} \frac{1}{4}=\frac{5}{12}\) 。引导学生分析式子中数字的特点，如何选择合适的运算律进行简化。
（三）例题讲解（10 分钟）
例 1：计算\(( - 3) ( - \frac{4}{9}) ·( - \frac{2}{3})\)
解：先将除法转化为乘法，原式\(=( - 3) ( - \frac{4}{9}) ( - \frac{3}{2})\) 。
根据多个有理数相乘的符号法则，负因数有\(3\)个，积为负，再计算绝对值，\(3 \frac{4}{9} \frac{3}{2}=2\)，所以结果为\(-2\) 。
例 2：计算\(( - 12) ·( - 4) ( - \frac{1}{2}) 3\)
解：按照从左到右的顺序，先算\(( - 12) ·( - 4)=3\)，再算\(3 ( - \frac{1}{2}) 3=( - \frac{3}{2}) 3= - \frac{9}{2}\) 。
例 3：用简便方法计算\(( - \frac{3}{4}) (8 - \frac{4}{3} + \frac{2}{9})\)
解：运用乘法分配律，原式\(=( - \frac{3}{4}) 8 - ( - \frac{3}{4}) \frac{4}{3} + ( - \frac{3}{4}) \frac{2}{9}\)\(= - 6 + 1 - \frac{1}{6}= - 5 - \frac{1}{6}= - \frac{31}{6}\) 。
通过这三个例题，详细展示有理数乘除混合运算的步骤和方法，强调运算顺序、符号处理以及运算律的运用，规范解题格式，培养学生运用知识解决问题的能力。
（四）课堂练习（10 分钟）
计算下列各题
（1）\(( - 2) ( - 5) ·( - 2)\)；（2）\(( - \frac{3}{5}) ( - \frac{5}{6}) ·( - \frac{1}{2})\)；（3）\(18 ·( - 3) ( - 2) ·( - 6)\) 。
用简便方法计算
（1）\(( - \frac{5}{6} + \frac{3}{8}) ( - 24)\)；（2）\(( - 12) ( - \frac{3}{4}) ·( - 9) \frac{1}{2}\) 。
教师巡视学生练习情况，及时发现学生存在的问题，如运算顺序错误、符号处理不当、运算律运用不灵活等，进行个别指导和集中讲解，帮助学生掌握有理数乘除混合运算的方法。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾本节课所学内容
有理数乘除混合运算的顺序：从左到右依次计算。
有理数乘除混合运算的方法：将除法转化为乘法，按照有理数乘法法则进行计算，注意符号的确定。
运用运算律简化运算的方法：观察式子中数字特点，合理运用乘法交换律、结合律、分配律进行简便运算。
强调重点知识和易错点，如运算顺序、符号判断、运算律运用的时机等，帮助学生加深理解和记忆。
（六）作业布置（5 分钟）
书面作业：课本相关习题 [具体页码和题号]，要求学生认真书写，规范解题步骤，在计算过程中注明每一步运用的法则或运算律。
实践作业：观察生活中涉及有理数乘除混合运算的实际问题，如购物时多件商品打折后的总价计算等，记录下来并尝试用所学知识解决，下节课进行分享。
五、教学反思
在教学过程中，关注学生对有理数乘除混合运算的掌握情况，分析学生在计算中出现错误的原因，如运算顺序混淆、符号错误、运算律使用不当等。思考在后续教学中如何通过更多有针对性的练习、详细的例题讲解和有效的辅导，帮助学生熟练掌握有理数乘除混合运算，提高学生的运算能力和解决实际问题的能力。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
复习导入
填空：
同号两数相除得_____，异号两数相除得_____，并且把_______相除；
0除以任何一个_________的数都得0；
除以一个不等于0的数等于乘这个数的______；
有理数相乘，可以先确定____的符号，再确定________的大小.
正数
负数
绝对值
不等于0
倒数
积
绝对值
探索新知
在只有有理数的乘法和除法运算时，如果没有括号，则按照从左到右的顺序依次计算，并可以把除法转化为乘法，然后再按照乘法法则进行计算；如果有括号，就先做括号内的运算.
(6×7+10)+18÷3=_____
58
(1) (-5)×6÷(-3) ；
计算：
(2) (-56) ÷(-2)÷(-8) .
解：(1) (-5)×6÷(-3)
＝(-30) ÷(-3)
＝10 .
(2) (-56) ÷(-2)÷(-8)
＝28÷(-8)
＝- .
有理数的乘、除混合运算
只有乘除运算，从左到右运算.
计算：
(1) (-10)÷[(-5)×(-2)]；
(2) (-24)÷×(-) ；
(3) -÷(-) ÷(-) ；
(4) (-)×(-)÷ ×(-) .
解：(1) (-10)÷[(-5)×(-2)]＝(-10)÷10
＝-1 .
(2) (-24)÷×(-) ＝ (-24)×(-)
＝8 .
有括号，先算括号内的.
除法可以转化成乘法，再计算.
计算：
(1) (-10)÷[(-5)×(-2)]；
(2) (-24)÷×(-) ；
(3) -÷(-) ÷(-) ；
(4) (-)×(-)÷ ×(-) .
(3) (-)÷(-) ÷(-)
＝(-)×(-) ×(-)
＝-(××)
＝- .
计算：
(1) (-10)÷[(-5)×(-2)]；
(2) (-24)÷×(-) ；
(3) -÷(-) ÷(-) ；
(4) (-)×(-)÷ ×(-) .
(4) (-)×(-)÷ ×(-)
＝(-)×(-)× ×(-)
＝-(×××)
＝- .
乘除混合运算的步骤:
1.绝对值化简；
2.有括号，先算括号内的(可以先确定符号)；
3.同级运算从左往右依次进行(先乘除，后加减)；
4.含有除法运算的，利用倒数将除法转化为乘法.
有理数乘除混合运算往往先把除法化为乘法，然后确定积的符号，最后可以据乘法运算律简便计算。
下面是小楠同学做的一道计算题，他的计算是否正确？如果不正确，说说他错在哪里.
不正确，应该依次计算
议一议
有理数的乘、除混合运算要把握两个关键：
（1）运算顺序：在没有统一成乘法之前，必须遵循从左到右的顺序；统一成乘法后才可以运用乘法运算律改变运算顺序.
（2）约分：统一化成分数，计算便于约分.
课堂练习
【课本P40 练习 第1题】
1. 计算：
（1）24÷(-3)÷(-4) ； （2）(-6)÷(-2)÷3；
（3）2÷(-7)×(-4)； （4） 18÷6×(-2).
解：
（1）24÷(-3)÷(-4)= -8 ÷(-4)= 2 ；
（2）(-6)÷(-2)÷3 = 3÷3 = 1 ；
（3）2÷(-7)×(-4) = ×(-4) = ；
（4）18 ÷6×(-2) = 3×(-2)= -6 .
2.计算：
【课本P40 练习 第2题】
2.计算：
3. 计算：
3. 计算：
解：原式的值的倒数为
原式的值为 .
4. 根据试验测定:海拔每增加 1 km，气温大约降低 6 ℃. 某登山运动员在攀登某山峰的途中发出信息，报告他所在位置的气温为 －15 ℃，如果当时山脚气温为 3 ℃，那么此时该登山运动员所在位置比山脚高多少千米？
解： (-15-3)÷(-6)
= (-18)÷(-6)
= 3( km )
答：此时该登山运动员所在位置比山脚高 3 km.
1. 下列运算正确的是( )
C
A.
B.
C.
D.
2. 计算 的结果是( )
B
A. 6 B. 36 C. D. 1
返回
3. 下列各式中，计算结果为负数的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
4. 阅读下面的解题过程并解答问题.
计算： .
解：原式 （第一步）
（第二步）
. （第三步）
上面的解题过程有两处错误,第一处是第____步，错误原因是
________________；第二处是第____步，错误原因是______
_____________________________________.正确结果是_ ___.
二
没有按顺序计算
三
没有
按有理数除法的符号法则确定结果的符号
返回
5.计算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） .
原式 .
返回
6. 小林在计算“”时，误将“ ”看成“ ”，结果
得50，则 ( )
B
A. 10 B. 16 C. D.
【点拨】由题意得，所以 ，
所以，所以 .
返回
7. 一般地，我们把个相除记作 ，
读作“的次商”，例如 记作
，读作“的4次商”.则 的值是_____.
返回
8.如图，有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，
列式计算.
（1）若从中抽取两张卡片，使这两张卡片上数字的差结果
最小，则应抽取哪两张卡片，结果最小值是多少？
【解】从中抽取两张卡片，要使两张卡片上数字的差结果最
小，则应抽取的两张卡片是和 ，结果最小值是
.
（2）若从中抽取三张卡片，这三张卡片上的数字先让两个
数相乘再与第三个数相除的结果最大，则应抽取哪三张卡片，
结果最大值是多少？
从中抽取三张卡片，先让两个数相乘再与第三个数相除的结
果最大，则应抽取的三张卡片是,, ，结果最大值是
.
返回
9.请仔细阅读，并解答问题.
两个有理数，同号，求 的值.
解：①若，都是正数，则 ；
②若，都是负数,则 .
所以 的值为1.
若三个有理数,,满足，则 的值
为____.
【点拨】因为，所以,, 中有两个为正数，
一个为负数或,,三个都为负数.当,, 中有两个为正数，
一个为负数时，不妨设,, ,则
；当,, 三个都为负数时，
.所以 的值为
.
返回
课堂小结
有理数的乘除
有括号
无括号
注意
先做括号内的运算
方法1：从左往右依次计算
方法2：将除法转化为乘法，
再按照乘法法则进行计算.
结果的符号和运算顺序
谢谢观看！

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