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1.6.1 有理数的乘方
第1章 有理数
【2024新教材】湘教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
1.6.1 有理数的乘方教案
一、教学目标
（一）知识与技能目标
学生能够深刻理解有理数乘方的意义，准确阐述乘方、底数、指数、幂的概念，能清晰区分它们在不同表达式中的含义。
熟练掌握有理数乘方运算的方法，能够正确、迅速地进行有理数的乘方运算，包括正数、负数、零作为底数，以及正整数指数的运算，提高运算能力。
（二）过程与方法目标
经历从具体实际问题到抽象出有理数乘方概念的过程，通过类比、归纳等方法，培养学生的抽象思维能力和数学建模能力，提升学生从特殊到一般的推理能力。
在探究有理数乘方运算性质的过程中，培养学生观察、分析、比较、归纳的能力，体会转化思想在数学学习中的应用，即把乘方运算转化为乘法运算，增强学生解决数学问题的策略意识。
（三）情感态度与价值观目标
借助实际生活中的有趣实例，如细胞分裂、棋盘上的麦粒问题等，让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣和对生活的好奇心，培养学生用数学眼光观察世界的意识。
通过小组合作探究和课堂互动交流，培养学生的团队合作精神和勇于表达、敢于质疑的学习品质，让学生在学习过程中体验成功的喜悦，增强学习数学的自信心和成就感。
二、教学重难点
（一）教学重点
深入理解有理数乘方的意义，明确乘方是一种特殊的乘法运算，是多个相同因数相乘的简便表示形式。
熟练掌握有理数乘方运算的方法，准确确定幂的符号和数值，能够正确进行有理数的乘方运算及简单的混合运算。
（二）教学难点
正确理解乘方、底数、指数、幂等概念之间的关系，尤其是当底数为负数或分数时，能够准确理解其含义并正确运算，避免出现概念混淆和运算错误。
理解负数的奇次幂与偶次幂的符号规律，以及 0 的正整数次幂的特殊性，并能在实际运算中灵活运用这些规律解决问题。
三、教学方法
讲授法、探究法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）情境导入（5 分钟）
故事引入：同学们，今天老师先给大家讲一个有趣的故事。在古代印度，有一位聪明的大臣发明了国际象棋，国王非常喜欢，决定重重赏赐他。大臣说：“陛下，我不要您的金银珠宝，只希望您能在棋盘的第一个格子里放 1 粒麦子，第二个格子里放 2 粒麦子，第三个格子里放 4 粒麦子，第四个格子里放 8 粒麦子…… 以此类推，每个格子里的麦子数都是前一个格子的 2 倍，直到把 64 个格子都放满。” 国王一听，觉得这要求太简单了，就欣然答应了。结果，国王派人一算，发现把全国的麦子都拿来也远远不够。大家想知道为什么吗？这里面就隐藏着我们今天要学习的数学知识 —— 有理数的乘方。（板书课题：1.6.1 有理数的乘方）
细胞分裂问题：我们再来看一个生活中的例子，某种细胞每过 30 分钟便由 1 个分裂成 2 个。那么经过 1 小时，这种细胞由 1 个分裂成多少个？（2×2 = 4 个）经过 1.5 小时呢？（2×2×2 = 8 个）经过 5 小时，这种细胞要分裂 10 次，那会分裂成多少个呢？大家尝试用算式表示出来。学生会列出 2×2×2×…×2（10 个 2 相乘），这个式子写起来比较繁琐，有没有更简便的表示方法呢？由此引出有理数乘方的概念。
（二）新课讲授（20 分钟）
乘方的概念
定义讲解：求 n 个相同因数 a 的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在表达式\(a^n\)中，a 叫做底数，n 叫做指数。\(a^n\)读作 “a 的 n 次方”，当把\(a^n\)看作 a 的 n 次方的结果时，也可读作 “a 的 n 次幂”。例如，在\(2^3\)中，2 是底数，3 是指数，\(2^3\)表示 3 个 2 相乘，结果是 8，\(2^3\)读作 “2 的 3 次方” 或 “2 的 3 次幂”。
概念辨析：通过一些具体的例子，如\((-3)^4\)、\(-3^4\)、\((\frac{2}{3})^3\)等，让学生指出其中的底数和指数分别是什么，加深对概念的理解。特别强调\((-3)^4\)与\(-3^4\)的区别，\((-3)^4\)表示 4 个\(-3\)相乘，结果为 81；而\(-3^4\)表示 3 的 4 次方的相反数，结果为\(-81\)。
乘方运算的方法
转化为乘法运算：根据乘方的定义，乘方运算可以转化为乘法运算来进行。例如，计算\((-2)^3\)，就可以转化为\((-2) (-2) (-2)\)，按照有理数乘法法则，先确定符号为负（因为有 3 个负因数），再计算绝对值\(2 2 2 = 8\)，所以\((-2)^3 = -8\)。
总结运算步骤：进行有理数乘方运算时，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值。对于符号的确定，有以下规律：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0 的任何正整数次幂都是 0。让学生通过计算一些简单的乘方运算，如\(3^2\)、\((-4)^2\)、\((-1)^3\)、\(0^5\)等，熟悉这些规律的应用。
乘方运算的性质
小组讨论：将学生分成小组，计算以下式子并观察结果，讨论有什么规律：
第一组：\(2^2\)与\((-2)^2\)；第二组：\(2^3\)与\((-2)^3\)；第三组：\(3^4\)与\((-3)^4\)；第四组：\(1^5\)与\((-1)^5\)。
归纳性质：通过小组汇报讨论结果，引导学生归纳出：互为相反数的两个数的偶次幂相等，奇次幂互为相反数。用数学符号表示为：若\(a\)与\(-a\)互为相反数，当\(n\)为偶数时，\(a^n = (-a)^n\)；当\(n\)为奇数时，\(a^n = -(-a)^n\)。同时，再次强调正数、负数、0 的乘方的符号规律，加深学生对乘方运算性质的理解。
（三）例题讲解（10 分钟）
例 1：计算（1）\(5^3\)；（2）\((-2)^4\)；（3）\((-\frac{1}{3})^3\)。
解：（1）\(5^3 = 5 5 5 = 125\)；
（2）\((-2)^4 = (-2) (-2) (-2) (-2)\)，根据负数的偶次幂是正数，先确定符号为正，再计算绝对值\(2 2 2 2 = 16\)，所以\((-2)^4 = 16\)；
（3）\((-\frac{1}{3})^3 = (-\frac{1}{3}) (-\frac{1}{3}) (-\frac{1}{3})\)，根据负数的奇次幂是负数，先确定符号为负，再计算绝对值\(\frac{1}{3} \frac{1}{3} \frac{1}{3}=\frac{1}{27}\)，所以\((-\frac{1}{3})^3 = -\frac{1}{27}\)。
例 2：计算（1）\(-3^2\)；（2）\(-(-2)^3\)。
解：（1）\(-3^2\)表示 3 的 2 次方的相反数，先计算\(3^2 = 9\)，所以\(-3^2 = -9\)；
（2）\(-(-2)^3\)，先计算\((-2)^3 = (-2) (-2) (-2) = -8\)，再求\(-8\)的相反数，所以\(-(-2)^3 = 8\)。
通过这两个例题，详细展示有理数乘方运算的步骤和方法，强调运算顺序、符号处理以及与乘法运算的联系，规范解题格式，培养学生运用知识解决问题的能力。
（四）课堂练习（10 分钟）
计算下列各题
（1）\(4^3\)；（2）\((-3)^3\)；（3）\((\frac{1}{2})^4\)；（4）\(-1^6\) 。
填空
（1）\((-5)^2\)的底数是______，指数是______，结果是______；
（2）\(-2^4\)表示______，结果是______；
（3）一个数的平方等于 64，则这个数是______。
教师巡视学生练习情况，及时发现学生存在的问题，如概念理解不清、符号判断错误、运算方法不当等，进行个别指导和集中讲解，帮助学生掌握有理数乘方运算。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾本节课所学内容
有理数乘方的意义：求 n 个相同因数积的运算。
相关概念：乘方的结果叫幂，其中的因数叫底数，因数的个数叫指数。
乘方运算方法：先确定幂的符号（正数的任何次幂是正数，负数的奇次幂是负数、偶次幂是正数，0 的任何正整数次幂是 0），再计算幂的绝对值，可转化为乘法运算。
乘方运算性质：互为相反数的两个数的偶次幂相等，奇次幂互为相反数。
强调重点知识和易错点，如底数为负数或分数时的运算、\(-a^n\)与\((-a)^n\)的区别等，帮助学生加深理解和记忆。
（六）作业布置（5 分钟）
书面作业：课本相关习题 [具体页码和题号]，要求学生认真书写，规范解题步骤，在计算过程中注明每一步运用的法则或运算律。
拓展作业：查阅资料，了解生活中还有哪些地方用到了有理数乘方的知识，如计算机存储容量的表示（1KB = \(2^{10}\)B，1MB = \(2^{10}\)KB 等），下节课与同学们分享。
五、教学反思
在教学过程中，关注学生对有理数乘方概念和运算的理解与掌握情况，分析学生在练习中出现错误的原因，如对概念的模糊认识、符号处理不当、运算顺序混乱等。思考在后续教学中如何通过更多生动有趣的实例、针对性的练习和多样化的教学方法，帮助学生更好地理解和运用有理数乘方知识，提高学生的数学思维能力和运算能力。同时，鼓励学生在生活中发现数学问题，培养学生用数学知识解决实际问题的意识和能力。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
探索新知
计算下列正方形的面积和正方体的体积.(单位：m)
5
5
面积：5×5
体积：5×5×5
简记：52
简记：53
读作：五的平方
读作：五的立方
S正方形=5×5=52=25
V正方体= 5×5×5=53=125
S正方形=5×5=52=25
V正方体= 5×5×5=53=125
类似地，
5×5×5×5=
5×5×5×5×5=
5×5×···×5=
54
55
5n
n 个5
a×a×a×a×a=
a5
a×a×···×a=
n 个a
an
它们都是乘法，并且它们各自的因数都相同.
观察左边的式子，你有什么发现？
有理数的乘方
一般地，a 是有理数，n 是正整数，则把
a × a × a ×…×a 简记为 an ，
n 个a
其中，an 读作“a 的 n 次方” 或“a 的 n 次幂”.
即规定
an = a × a × a ×…×a
n 个a
求 n 个相同因数的乘积的运算，叫做乘方.
在 an 中， a 叫做底数，n 叫做指数.
an
幂
底数(相同的因数)
指数(因数的个数)
思 考
(-2)×(-2)×(-2)×(-2)×(-2)可以简记为什么？
(-2)×(-2)×(-2)×(-2)×(-2)
简记为______
__个(-2)
(-2)5
5
特别地，
一个数 a 可以看作 a1 ，通常将指数 1 省略不写，只写作 a.
a2 通常读作 a 的平方，a3 通常读作 a 的立方.
说一说
把下列相同因数的乘积写成幂的形式，并说出底数和指数.
(1) (-6)×(-6)×(-6)； (2) × × × .
(1) (-6)3，底数是-6，指数是3；
(2) ()4，底数是，指数是4.
－
【课本P47 练习 第1题】
填空：
(-1)3
25
3
-4
0.3
4
(－)4
(-2)4 与 -24 的含义相同吗？它们的结果相同吗？
(-2)4 表示 “-2 的 4 次方”,它的结果为16 .
-24 表示“2 的 4 次方的相反数”,它的结果为-16.
议一议
(-2)4 与-24的含义不同，结果也不同.
(-2)3 与-23 的含义相同吗？它们的结果相同吗？
(-2)3 表示 “-2 的 3 次方”,它的结果为-8 .
-23 表示“2 的 3 次方的相反数”,它的结果为-8.
(-2)4 与-24的含义不同，结果相同.
（1） 07 ； （2） 16 ；
（3） 34 ； （4）43 .
计算：
解
(1) 07＝0×0×0×0×0×0×0
＝0 .
(2) 16＝1×1×1×1×1×1
＝1 .
(3) 34＝3×3×3×3
＝81 .
(4) 43＝4×4×4
＝64 .
43与34的含义有何不同？
计算：
（1） 0.23； （2） (-3)3 ；
（3） ( )3 ； （4） (- )4.
解
(1) 0.23＝0.2×0.2×0.2
＝0.008 .
(2) (-3)3＝(-3)× (-3)× (-3)
＝-27 .
(3) ( )3＝ × ×
＝ .
(4) (- )4＝(- )×(- )××(- )
＝ .
在书写负数和分数的乘方时，一定要把负数、分数用括号括起来.
结合例1、例2，你认为底数为正数的任何正整数次幂是正数吗？
思 考
底数为负数呢？
底数为0呢？
16 ＝1；34 ＝81 ； 43 ＝64 ； 0.23 ＝0.008 .
(-3)3＝-27 ； (- )4＝ .
正数的任何正整数次幂都是正数；
07＝0.
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
0 的任何正整数次幂都是 0．
说一说
直接判断下列各式计算结果的符号：
（1）(-4)2×(-3)3； （2）-23×(-2)3.
(1)的结果为负，(2)的结果为正.
直接判断下列各式计算结果的符号：
解
(1)的计算结果为负；
(2)的计算结果为负.
【课本P47 练习 第4题】
课堂练习
1.关于式子(-5)4，下列说法错误的是( )
A.表示 (-5)×(-5)×(-5)×(-5)
B. -5 是底数，4 是指数
C.-5 是底数，4 是幂
D.4 是指数，(-5)4 是幂
C
2.下列式子正确的是( )
A.(-6)×(-6)×(-6)×(-6)=-64
B.(-2)3=(-2)×(-2)×(-2)
C. -54=(-5)×(-5)×(-5)×(-5)
D.× × =
B
3.计算(-3)2的结果是( )
A. -6 B. 6 C. -9 D. 9
4. -23等于( )
A. 6 B. -6 C. 8 D. -8
D
D
5. 若(a+3)2+|b－4|=0，则ab的值为_______.
81
（2）(-2)3=(-3)2；
（3） -32 =(-3)2.
6. 判断下列各等式是否成立，并说明理由.
（1） 32 = 2 × 3 = 6；
不成立，
-32 = -(3×3)= -9
(-3)2 =(-3)×(-3)= 9
不成立，
32 = 3×3 = 9
(-3)2 =(-3)×(-3)= 9
不成立，
(-2)3 =(-2)×(-2)×(-2)= -8
【课本P47 练习 第2题】
（1） (-3)4 ； （2） (-4)3 ；
（3） (-8)3 ； （2） (-)3 .
7. 计算：
解
(1) (-3)4 ＝ (-3)×(-3)×(-3)×(-3)
＝ 81 .
(2) (-4)3 ＝ (-4)×(-4)×(-4)
＝-64 .
(3) (-8)3 ＝ (-8)×(-8)×(-8)
＝-512 .
(4) (- )3 ＝ (- )× (- ) × (- )
＝- .
【课本P47 练习 第3题】
1. ［2025长沙模拟］ 表示的意义是( )
A
A. 5个2相乘的相反数 B. 2与5相乘
C. 2个 相乘 D. 2个5相乘的相反数
2. 下列说法正确的是( )
C
A. 的底数是 B. 表示6个3相加
C. 的底数是2 D. 与 意义相同
返回
3. ［2025衡阳期末］下列各组式子中，运算结果相同的是
( )
A
A. 和 B. 与
C. 和 D. 与
返回
4. 数学家斐波那契的《计算书》中有这样一
个问题:“在罗马有7位老妇人,每人赶着7头毛驴，每头毛驴驮
着7只口袋,每只口袋里装着7个面包，每个面包附有7把餐刀,
每把餐刀有7只刀鞘”则刀鞘数为( )
C
A. 42 B. 49 C. D.
返回
5. 如图，将面积为1
的长方形纸片分割成8个部分，图形①
的面积是原长方形纸片面积的一半，图
形②的面积是图形①面积的一半，图形
C
A. B. C. D.
③的面积是图形②面积的一半，依次类推，则阴影部分的面
积为( )
返回
6. ［2025湘潭月考］若 ，则( )
C
A. B.
C. D.
7.已知有理数，满足，则 ___.
1
【点拨】因为,, ,
所以,,所以, ,所以
.
返回
8.计算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） ;
原式 .
（3） ;
原式 .
（4） .
原式 .
返回
9. 计算 的结果，正确的是( )
D
A. B. C. D.
10. 当为正整数时， 的值是( )
B
A. B. 0 C. 2 D. 不确定
【点拨】当为正整数时， .
返回
11. 观察下列等式：， ，
，，，， ，根据
其中的规律可得 的个位数字是( )
B
A. 1 B. 7 C. 9 D. 3
课堂小结
有理数的乘方
性质
定义
注意
正数的任何正整数次幂都是正数；
求n个相同因数的乘积的运算叫作乘方
在书写负数、分数的乘方时,
一定要把整个负数、分数用括号括起来
乘方运算的结果叫作幂
an
幂
底数
指数
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
0 的任何正整数次幂都是 0．
谢谢观看！

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