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(共33张PPT)
1.6.2 科学记数法
第1章 有理数
【2024新教材】湘教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
1.6.2 科学记数法教案
一、教学目标
（一）知识与技能目标
学生能够透彻理解科学记数法的概念，熟练掌握科学记数法的表示形式\(a 10^n\)（其中\(1\leq\vert a\vert 10\)，\(n\)为整数），准确区分\(a\)和\(n\)的取值要求。
能够熟练地将绝对值大于\(10\)的数用科学记数法表示，同时能把用科学记数法表示的数还原为原数，提高数的表示和运算能力。
（二）过程与方法目标
通过观察生活中常见的大数，经历从实际问题中抽象出科学记数法的过程，培养学生的观察能力、归纳能力和数学抽象能力，提升从具体到抽象的思维水平。
在探究科学记数法表示数的规律以及还原原数的过程中，培养学生分析问题、解决问题的能力，体会转化思想在数学中的应用，即把复杂的大数转化为简洁的科学记数法形式，再从科学记数法还原到原数 。
（三）情感态度与价值观目标
让学生感受科学记数法在实际生活中的广泛应用，体会数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣和热情，增强学生用数学眼光观察世界、解决实际问题的意识。
通过小组合作探究和交流分享，培养学生的团队合作精神和勇于表达、敢于质疑的学习品质，在成功掌握科学记数法的过程中，增强学生学习数学的自信心和成就感。
二、教学重难点
（一）教学重点
深入理解科学记数法的意义和表示形式，熟练掌握用科学记数法表示绝对值大于\(10\)的数的方法。
能够准确地将用科学记数法表示的数还原为原数，理解\(n\)与原数位数之间的关系。
（二）教学难点
理解科学记数法中\(a\)的取值范围\(1\leq\vert a\vert 10\)的规定，以及\(n\)的确定方法（\(n\)为整数，\(n\)的值等于原数的整数位数减\(1\)），并能在实际应用中准确确定\(a\)和\(n\)。
在表示较小的数（绝对值小于\(1\)的数）时，对科学记数法的拓展应用，理解负指数幂在科学记数法中的意义 。
三、教学方法
讲授法、讨论法、探究法、练习法相结合
四、教学过程
（一）复习回顾，情境导入（5 分钟）
复习有理数乘方：同学们，上节课我们学习了有理数的乘方，谁能快速计算\(10^2\)，\(10^3\)，\(10^4\)？（学生回答：\(10^2 = 100\)，\(10^3 = 1000\)，\(10^4 = 10000\)）那\(10^n\)表示什么意义呢？（\(n\)个\(10\)相乘，\(10^n\)的结果\(1\)后面有\(n\)个\(0\)）
情境引入：在生活中，我们经常会遇到一些非常大的数，比如太阳的半径约为\(696000000\)米，光的速度约为\(300000000\)米 / 秒，地球的人口总数约为\(7800000000\)人 。这些数书写起来非常繁琐，而且容易出错，有没有一种更简便的表示方法呢？这就是我们今天要学习的科学记数法。（板书课题：1.6.2 科学记数法）
（二）新课讲授（20 分钟）
科学记数法的概念
观察发现：让学生观察\(100 = 1 10^2\)，\(1000 = 1 10^3\)，\(10000 = 1 10^4\)，引导学生思考如何用这种形式表示更大的数。例如\(300 = 3 100 = 3 10^2\)，\(5000 = 5 1000 = 5 10^3\) 。
归纳总结：师生共同归纳科学记数法的定义：把一个绝对值大于\(10\)的数表示成\(a 10^n\)的形式（其中\(1\leq\vert a\vert 10\)，\(n\)是正整数），这种记数方法叫做科学记数法。强调\(a\)的取值范围，\(a\)必须是大于等于\(1\)且小于\(10\)的数，\(n\)的值与原数的整数位数有关。
举例说明：以\(696000\)为例，讲解如何用科学记数法表示。先确定\(a\)，将原数写成大于等于\(1\)且小于\(10\)的数，即\(a = 6.96\)；再确定\(n\)，原数\(696000\)的整数位数是\(6\)，所以\(n = 6 - 1 = 5\)，那么\(696000 = 6.96 10^5\) 。
科学记数法中\(n\)的确定方法
小组讨论：将学生分成小组，分别用科学记数法表示\(23000\)，\(1500000\)，\(72000000\)，并讨论\(n\)的值与原数整数位数的关系。
归纳规律：通过小组汇报，引导学生归纳出：用科学记数法表示绝对值大于\(10\)的数时，\(n\)的值等于原数的整数位数减\(1\)。例如\(23000\)整数位数是\(5\)，\(n = 5 - 1 = 4\)，\(23000 = 2.3 10^4\) 。
科学记数法的还原
提出问题：既然我们能把大数用科学记数法表示，那如何把用科学记数法表示的数还原为原数呢？例如\(5.2 10^3\)，\(3.14 10^5\) 。
分析讲解：以\(5.2 10^3\)为例，因为\(10^3 = 1000\)，所以\(5.2 10^3 = 5.2 1000 = 5200\) 。引导学生发现，将科学记数法\(a 10^n\)还原为原数时，只需把\(a\)的小数点向右移动\(n\)位即可，如果位数不够，用\(0\)补足。例如\(3.14 10^5 = 314000\) 。
科学记数法的拓展（选讲）：对于绝对值小于\(1\)的数，也可以用科学记数法表示，形式为\(a 10^{-n}\)（其中\(1\leq\vert a\vert 10\)，\(n\)为正整数），\(n\)等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上的零）。例如\(0.000025 = 2.5 10^{-5}\) ，简单介绍为后续学习埋下伏笔。
（三）例题讲解（10 分钟）
例 1：用科学记数法表示下列各数
（1）\(8600000\)；（2）\( - 57000000\) 。
解：（1）\(8600000\)，先确定\(a = 8.6\)，整数位数是\(7\)，\(n = 7 - 1 = 6\)，所以\(8600000 = 8.6 10^6\)；
（2）\( - 57000000\)，\(a = 5.7\)，整数位数是\(8\)，\(n = 8 - 1 = 7\)，因为原数是负数，所以\( - 57000000 = - 5.7 10^7\) 。
例 2：下列用科学记数法表示的数，原数各是什么？
（1）\(3.2 10^4\)；（2）\( - 6.8 10^5\) 。
解：（1）\(3.2 10^4\)，把\(3.2\)的小数点向右移动\(4\)位，得到原数为\(32000\)；
（2）\( - 6.8 10^5\)，把\( - 6.8\)的小数点向右移动\(5\)位，得到原数为\( - 680000\) 。
通过这两个例题，详细展示用科学记数法表示数以及将科学记数法还原为原数的步骤和方法，强调\(a\)和\(n\)的确定要点，规范解题格式，培养学生运用知识解决问题的能力。
（四）课堂练习（10 分钟）
用科学记数法表示下列各数
（1）\(350000\)；（2）\(12000000\)；（3）\( - 9600000\) 。
把下列用科学记数法表示的数还原为原数
（1）\(4.5 10^3\)；（2）\( - 2.3 10^6\)；（3）\(7 10^5\) 。
（选做题）用科学记数法表示\(0.0000032\) 。
教师巡视学生练习情况，及时发现学生存在的问题，如\(a\)的取值不符合要求、\(n\)的确定错误、科学记数法还原时小数点移动错误等，进行个别指导和集中讲解，帮助学生掌握科学记数法。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾本节课所学内容
科学记数法的概念：把一个绝对值大于\(10\)的数表示成\(a 10^n\)（\(1\leq\vert a\vert 10\)，\(n\)为正整数）的形式。
科学记数法中\(a\)和\(n\)的确定方法：\(a\)是大于等于\(1\)且小于\(10\)的数，\(n\)等于原数的整数位数减\(1\)。
科学记数法的还原：将\(a 10^n\)还原为原数，把\(a\)的小数点向右移动\(n\)位，位数不够用\(0\)补足。
简单提及绝对值小于\(1\)的数的科学记数法表示形式\(a 10^{-n}\) 。
强调重点知识和易错点，如\(a\)的取值范围、\(n\)与原数位数的关系等，帮助学生加深理解和记忆。
（六）作业布置（5 分钟）
书面作业：课本相关习题 [具体页码和题号]，要求学生认真书写，规范解题步骤，在表示数和还原数时注明\(a\)和\(n\)的确定过程。
实践作业：收集生活中用科学记数法表示的数（如在科普书籍、新闻报道等），并尝试将其还原，或者将生活中的大数用科学记数法表示，下节课进行分享。
五、教学反思
在教学过程中，关注学生对科学记数法的理解和掌握情况，分析学生在练习中出现错误的原因，如概念模糊、\(a\)和\(n\)确定不准确、还原方法错误等。思考在后续教学中如何通过更多实际例子、针对性练习和多样化教学活动，帮助学生更好地掌握科学记数法，提高学生对数的表示和处理能力，增强学生运用数学知识解决实际问题的能力。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
情境导入
在工程和科研计算中，常会遇到一些较大的数.
地球表面积约为
511000000 km2
中国“人造太阳”等离子体运行温度达160000000 ℃
5.11亿
1.6亿
能不能用其他较简单的方式表示这些数呢？
探索新知
102，103，104，… ，10n分别等于多少？你发现了什么？
102 = 100
2个0
103 = 1000
3个0
104 = 10000
4个0
10n = 1000…0
n个0
10的n次幂就是1后面有n个0.
说一说
式子反过来，会依然成立吗
10 =______
100 =______
1 000 =______
10 000 =______
100 000 =______
……
101
102
103
104
105
10·· ·· ··00呢？
n个0
用科学记数法表示较大的数
把一个大于10（小于-10）的数记作 a×10n 的形式，其中a大于或等于1且小于10（a大于-10且小于或等于-1），n是正整数 ，这种记数法就是科学记数法.
科学记数法是一种记数的形式，它不改变数的大小.
表示方法：
大于10的数
小于 -10的数
a×10n
-a×10n
1≤a＜10，
其中n是正整数.
用科学记数法表示下列各数：
（1）160 000 000 （2）-32 000 000 000.
（1）160 000 000 = 1.6×108 .
解
（2）-32 000 000 000 = -3.2×1010 .
在计算器上输入
－32 000 000 000，再按“=”键，看看显示结果.
将原数的小数点从右到左移动到最高数位的数字的后面即可得到a，若 a 是1，可以省略不写；
确定 a
确定 n
整数位数减 1 的结果即为n 的值，将原数的小数点从所在位置移到左边第一个非零数字后面，移动几位，n 就是几.
练一练
1.下面属于科学记数法的是( )
A. 25×103 B.0.3×105
C.300×10 D.5.4×107
2.用科学记数法表示3 080 000，正确的是( )
A.308× 104 B. 30.8×105
C. 3.08×106 D.3.8 × 106
D
C
3. 用科学记数法表示下列各数：
（1） 315 000 000； （2） - 2 180 000 000.
3.15× 108
-2.18×109
【课本P49 练习第1题】
2020年7月 23日中国发射的火星探测器“天问一号”，于2021年2月进入环绕火星轨道. 2021 年5月着陆巡视器与环绕器分离，软着陆在火星的表面.
截至2022年3月24日，“天问一号”环绕器在轨运行609天，距离地球2. 77亿千米，请用科学记数法表示这一距离(单位: m).
解：由于2.77亿＝277 000 000，
1km＝1000m，
所以 2.77亿千米＝277 000 000×1 000 m＝2.77×1011m .
1.用科学记数法表示下列各数:
（1）181 万
（2）612 亿
（3）1230.5 万
（4）398.2 千万
解：（1）181 万 = 1 810 000=1.81×106
（2）612 亿=61 200 000 000=6.12×1010
（3）1230.5 万=12 305 000=1.230 5×107
（4）398.2 千万=3 982 000 000=3.982×109
练一练
议一议
下列用科学记数法表示的数，原来各是多少
(1) 1.7× 105； (2) -6.09×109.
解
(1) 1.7×105＝1.7×1 00000
＝170 000
(2) -6.09×109＝-6.09×1 000 000 000
＝-6 090 000 000
还原科学记数法表示的数
1.下面求原数不正确的是( )
A.3.56×104＝35 600 B.-4. 67×106＝-4 670 000
C.2×102＝200 D.3×105＝30 000
练一练
D
解析:用科学记数法表示为 a×10n 的数，其原数等于把 a 的小数点向右移动 n 位后得到的数，若向右移动的位数不够时，应用 0 补足.
显然3×105=300 000.
2.下列用科学记数法表示的数，原来各是多少？
（1）4.8×106;
（2）-1.39×109
解：（1）4.8×106 = 48 000 00
（2）-1.39×109 = -1 390 000 000
【课本P 50练习第4题】
课堂练习
1.据亚洲开发银行统计数据，2010年至2020年，亚洲各经济体的基础设施如果要达到世界平均水平，至少需要8 000 000 000 000美元基建投资.将8 000 000 000 000用科学记数法表示为8×10n，则 n 的值为( )
A.10 B.11 C.12 D.13
C
2.人的大脑每天能记录大约86 000 000条信息，请用科学记数法表示这个数据，
答：8.6×107 .
【课本P 49练习第2题】
3. 地球与火星的最近距离约为5 500万千米，最远距离则超过 4 亿千米．请用科学记数法分别表示 5 500 万千米和 4 亿千米(单位:m).
答：由于5 500万＝55 000 000，1km＝1000m，
所以5 500万千米＝55 000 000×1000＝5.5×1010m.
同理，4 亿千米＝4×1011m.
【课本P 49练习第3题】
4. 比较大小:
（1）2.01×104 与 2.10×104
（2）2.01×104 与 4.4×103
（3）-3.05×105 与 -3.14×104
解：（1）因为 104 = 104，且 2.01 < 2.10，
所以2.01×104 < 2.10×104
（2）因为 104 > 103，所以 2.01×104 > 4.4×103
（3）因为 105 > 104，所以 3.05×105 > 3.14×104，
即-3.05×105 < -3.14×104
1. “染色体”是人类“生命之书”中最
长也是最后被破解的一章，据报道，第一号染色体中共有
223 000 000个碱基对， 用科学记数法可表示为
( )
D
A. B.
C. D.
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2. 餐桌边的一蔬一饭，舌尖上的一饮一
酌，实属来之不易，舌尖上的浪费让人触目惊心.据统计，我
国每年被损耗和浪费的粮食约3 500万吨.将数据3 500万用科
学记数法表示为( )
A
A. B.
C. D.
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3. 我国大力发展新质生产力，推动了新能
源汽车产业的快速发展.据中国汽车工业协会发布的消息显示.
2024年1至3月，我国新能源汽车完成出口30.7万辆.将30.7万
用科学记数法表示为.则 的值是( )
B
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
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4. 废旧电池含有少量重金属，随意丢弃
会污染环境，有资料表明，一粒纽扣大的废旧电池，大约会
污染水.数据 可表示为( )
C
A. 6 000 B. 6万 C. 60万 D. 600万
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5. 习近平总书记指出“善于学习，就是善于
进步”.“学习强国”平台上线的某天，全国大约有
人在此平台上学习，用科学记数法表示的数 的原
数中0的个数为( )
A
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
返回
6. 2025年4月24日，神舟二十号载人飞
船发射成功.按任务计划，3名航天员随后将从神舟二十号载
人飞船进入空间站.已知中国空间站绕地球运行的速度约为
,则中国空间站绕地球运行 走过的路程
（单位： ）用科学记数法可表示为( )
B
A. B.
C. D.
返回
7. 《孙子算经》卷上说：“十圭为抄，十抄
为撮，十撮为勺，十勺为合.”说明“抄、撮、勺、合”均为十
进制，则九十合等于( )
D
A. 圭 B. 圭
C. 圭 D. 圭
【点拨】由题意，得90合圭 圭.
返回
8. 光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内
走过的路程，约等于 ，下列正确的是( )
D
A.
B.
C. 是一个十二位数
D. 是一个十三位数
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9.比较大小：
（1）___ ;
（2）___ .
返回
10.已知的氢气质量约为 ，请用科学记数法表
示下列计算结果.
（1）求一个容积为 的氢气球所充氢气的质量；
【解】 ,
.
故容积为 的氢气球所充氢气的质量为
.
（2）一块橡皮重，这块橡皮的质量是 的氢气质量
的多少倍？
.
故这块橡皮的质量是的氢气质量的 倍.
把一个数写成（其中， 为正
整数）的形式时， 是整数部分只有一位的数，当原数的绝
对值大于或等于10时， 等于原数的整数部分位数减1.
. .
返回
课堂小结
科学记数法
应用
概念
表示绝对值大于10的数
根据科学记数法写原数
把一个绝对值大于10的数记作a×10n 的形式，其中a大于或等于1且小于10（a大于-10且小于或等于-1），n是正整数，这种记数法就是科学记数法.
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