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1.7有理数的混合运算
第1章 有理数
【2024新教材】湘教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
1.7 有理数的混合运算教案
一、教学目标
（一）知识与技能目标
学生能够熟练掌握有理数混合运算的运算顺序，清晰区分先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的，先算括号里面的规则。
准确、熟练地进行有理数的混合运算，包括整数、分数、小数形式的有理数，能够正确处理运算中的符号和数值计算，提高运算的准确性和速度。
（二）过程与方法目标
通过对有理数混合运算的探究，引导学生经历从具体算式到运算顺序归纳的过程，培养学生的观察、分析、归纳和概括能力，提升数学思维的逻辑性。
在解决有理数混合运算问题的过程中，强化学生的运算能力和综合运用知识的能力，体会转化思想和分类讨论思想在数学运算中的应用。
（三）情感态度与价值观目标
让学生感受数学知识的系统性和连贯性，体会数学运算的严谨性，激发学生学习数学的兴趣和热情。
通过解决复杂的有理数混合运算问题，培养学生克服困难的意志品质和勇于探索的精神，增强学生学习数学的自信心和成就感。
二、教学重难点
（一）教学重点
深入理解并熟练掌握有理数混合运算的运算顺序。
能够准确、灵活地运用运算顺序进行有理数的混合运算，正确处理运算中的符号和数值。
（二）教学难点
在复杂的有理数混合运算中，正确处理运算符号和性质符号，避免运算错误。
合理运用运算律简化有理数混合运算，提高运算效率。
三、教学方法
讲授法、练习法、讨论法、启发式教学法相结合
四、教学过程
（一）复习回顾，情境导入（5 分钟）
知识回顾：同学们，之前我们学习了有理数的加、减、乘、除、乘方运算，谁能快速说一说有理数加法法则、乘法法则以及乘方运算的意义？（随机提问学生回答）现在，大家计算一下这几道题：\(( - 3)^2\)，\(( - 2) 3\)，\(8 ·( - 4)\) 。（学生计算后，教师点评并核对答案）
情境导入：老师这里有一个有趣的问题，一个数先加上\(5\)，再乘以\(-2\)，然后除以\(4\)，最后进行平方运算得到\(16\)，你能求出这个数吗？解决这个问题就需要用到有理数的混合运算，今天我们就来学习这部分内容。（板书课题：1.7 有理数的混合运算）
（二）新课讲授（20 分钟）
有理数混合运算的顺序
回顾整数混合运算顺序：在小学我们学习过整数的混合运算，运算顺序是先算乘除，后算加减，有括号的先算括号里面的。在有理数范围内，混合运算的顺序基本相同，但要注意有理数运算中的符号问题。
引入有理数混合运算顺序：通过具体算式\(2 + 3 ( - 4)\)，引导学生思考运算顺序。先算乘法\(3 ( - 4)= - 12\)，再算加法\(2 + ( - 12)= - 10\) 。总结出有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，从左到右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行 。
举例说明：计算\(( - 2)^3 + 4 ( - 3) ·2\)，按照运算顺序，先算乘方\(( - 2)^3 = - 8\)；再算乘除，\(4 ( - 3)= - 12\)，\(- 12 ·2 = - 6\)；最后算加减，\(- 8 + ( - 6)= - 14\) 。强调在运算过程中要注意符号的变化，每一步运算都要准确确定符号。
运用运算律简化运算
回顾运算律：我们学过有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律和分配律。在有理数混合运算中，合理运用这些运算律可以使计算更加简便。
举例讲解：计算\((\frac{1}{4} - \frac{1}{6} + \frac{1}{3}) ( - 12) - 8 ·( - 2)^3\)，先算乘方\(( - 2)^3 = - 8\)；再利用乘法分配律计算\((\frac{1}{4} - \frac{1}{6} + \frac{1}{3}) ( - 12)=\frac{1}{4} ( - 12) - \frac{1}{6} ( - 12) + \frac{1}{3} ( - 12)= - 3 + 2 - 4 = - 5\)；接着算除法\(8 ·( - 8)= - 1\)；最后算减法\(- 5 - ( - 1)= - 5 + 1 = - 4\) 。引导学生观察算式特点，分析在什么情况下运用运算律可以简化计算，提高运算效率。
（三）例题讲解（10 分钟）
例 1：计算\(- 3^2 + 5 ( - 6) - ( - 4)^2 ·( - 8)\)
解：\(
\begin{align*}
&- 3^2 + 5 ( - 6) - ( - 4)^2 ·( - 8)\\
=& - 9 + ( - 30) - 16 ·( - 8)\\
=& - 9 + ( - 30) + 2\\
=& - 39 + 2\\
=& - 37
\end{align*}
\)
（讲解时强调运算顺序，先算乘方\(- 3^2 = - 9\)，\(( - 4)^2 = 16\)；再算乘除；最后算加减，注意符号的处理）
例 2：计算\([ - 2^4 ·( - 2)^3 - 1] ( - 3)^2 ·( - 3)\)
解：\(
\begin{align*}
&[ - 2^4 ·( - 2)^3 - 1] ( - 3)^2 ·( - 3)\\
=&[ - 16 ·( - 8) - 1] 9 ·( - 3)\\
=&(2 - 1) 9 ·( - 3)\\
=&1 9 ·( - 3)\\
=&9 ·( - 3)\\
=& - 3
\end{align*}
\)
（引导学生按照先算小括号内，再算中括号内，依次进行乘方、乘除、加减运算，规范解题步骤，培养学生严谨的运算习惯）
通过这两个例题，详细展示有理数混合运算的步骤和方法，强调运算顺序、符号处理以及运算律的运用，规范解题格式，提高学生运用知识解决问题的能力。
（四）课堂练习（10 分钟）
计算下列各题
（1）\( - 2^2 + ( - 3)^2 ( - 1) - 4 ·( - \frac{1}{2})\)；
（2）\([( - 1)^2024 - (1 - 0.5 \frac{1}{3})] [2 - ( - 3)^2]\)；
（3）\(( - \frac{1}{2})^3 ( - 4)^2 ·( - \frac{1}{4}) - 8 ( - 2)^2 ·( - 2)\) 。
（选做题）已知\(a = - 2\)，\(b = 3\)，计算\([(a + b)^2 - (a - b)^2] ·( - 4ab)\) 。
教师巡视学生练习情况，及时发现学生存在的问题，如运算顺序错误、符号混淆、运算律运用不当等，进行个别指导和集中讲解，帮助学生掌握有理数混合运算。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾本节课所学内容
有理数混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算从左到右；有括号先算括号内，按小括号、中括号、大括号依次进行。
运算律在有理数混合运算中的应用：合理运用运算律可以简化计算。
运算过程中的注意事项：准确处理运算符号和性质符号，每一步运算都要认真仔细。
强调重点知识和易错点，如乘方运算的符号、运算顺序的执行、运算律的适用条件等，帮助学生加深理解和记忆。
（六）作业布置（5 分钟）
书面作业：课本相关习题 [具体页码和题号]，要求学生认真书写，规范解题步骤，在计算过程中注明每一步运用的法则或运算律。
实践作业：寻找生活中涉及有理数混合运算的实际问题，如家庭水电费的计算、购物折扣后的总价计算等，记录下来并运用所学知识进行计算，下节课进行分享。
五、教学反思
在教学过程中，关注学生对有理数混合运算的掌握情况，分析学生在计算中出现错误的原因，如运算顺序混乱、符号错误、运算律使用不当等。思考在后续教学中如何通过更多有针对性的练习、详细的例题讲解和有效的辅导，帮助学生熟练掌握有理数混合运算，提高学生的运算能力和解决实际问题的能力。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
复习导入
1.口算
(1) -6+(-10) =_______ ; (2) -25 + 13 =_______ ;
(3) 5 + ( -5 ) = _______; (4) 0 - 12 =_______ ;
(5) 5 ×( -3 ) =_______; (6)(-45)×(-)=_______ ;
(7) (-6.75)×0=_______; (8) -56 ÷ 14 =_______ ;
(9) 0÷(-)=_______; (10)(-81)÷(-)=_______ .
-12
0
-12
-15
10
0
-4
0
36
-16
2.填空
（1） (-3)3 =_____×_____×_____=_____ ，其中底数是_____，指数是_____，幂是_____.
（2） -33 =_______________=_____ ，其中底数是
_____，指数是_____，幂是_____.
(-3)
(-3)
(-3)
-27
(-3)
3
(-3)3
-(3×3×3)
-27
3
3
33
思 考
计算32×5时，先算乘方还是先算乘法？
先算乘方：32×5＝9×5＝45，
先算乘法：32×5＝3×(3×5)＝3×15＝45，
一般地，当只含有乘方和乘法运算时，先算乘方比先算乘法要简便一些.
探索新知
下列各式分别含有哪几种运算？结合小学学过的四则混合运算顺序，你认为下列各式应按怎样的顺序进行运算？
（1）-3+[-5×(1-0.6)]
（2）17-16÷(-2)3×3
以上两个算式，含有有理数的加、减、乘、除、乘方多种运算，称为有理数的混合运算.
（1）-3+[-5×(1-0.6)]
（2）17-16÷(-2)3×3
①
②
③
①
②
③
有理数的混合运算顺序是:先算乘方,再算乘除,最后算加减;如果有括号,就先进行括号里面的运算(先小括号,再中括号，最后大括号).
解:
计算：
（1） -3+[-5×(1-0.6)]； （2）17-16÷(-2)3×3.
（1） -3+[-5×(1-0.6)]
= -3+[-5×0.4]
先计算小括号里面的数
再计算中括号里面的数
= -3+(-2)
= -5
计算：
（1） -3+[-5×(1-0.6)]； （2）17-16÷(-2)3×3.
（2） 17-16÷(-2)3×3
= 17-16 ÷(-8)×3
-2 的三次方是 3 个 (-2) 相乘
先算乘除再算加减
= 17-(-6)
= 23
= 17-(-2)×3
练一练
1.计算
(1) 2×(-3)3-4×(-3)+15 ；
(2) (-2)3+(-3)×[(-4)2+2] -(-3)2÷(-2) .
(1) 2×(-3)3-4×(-3)+15
＝2×(-27) -(-12)+15
＝-54 +12+15
＝-27
解：
练一练
(2) (-2)3 + (-3)×[(-4)2+2] -(-3)2÷(-2)
＝ -8 + (-3)×(16+2) - 9÷(-2)
＝ -8 + (-54) - (-4.5)
＝ -8 + (-54) +4.5
＝ -57.5
1.计算
(1) 2×(-3)3-4×(-3)+15 ；
(2) (-2)3+(-3)×[(-4)2+2] -(-3)2÷(-2) .
有理数的混合运算，通常先转化为加、减、乘、除混合运算，再把除法转化为乘法，把减法转化为加法，最后运用加法运算律和乘法运算律进行计算.
计算： .
解
计算： .
= 81÷9-2
= 9-2
= 7 .
(2) (-3)4÷[2-(-7)] + 4 ×( - 1)
= (-3)4÷9 + 4 ×
练一练
1.计算
(1) -14-4×[2 + (-3)] 2；
(2) 4-[(-5-3)÷23].
解
(1) -14-4×[2 + (-3)] 2
＝-1-4×(-1)2
＝-1-4×1
＝-1-4
＝-5
(2) 4-[(-5-3)÷23]
＝ 4-[(-8)÷23]
＝ 4-[(-8)÷8]
＝ 4- (-1)
＝ 5
计算： .
解
若先进行括号里的运算，比较哪种方法更简便.
计算： .
解
方法2：
练一练
计算：( +)÷()3
解：
( +)÷()3
＝( +)÷()
＝( +)×()
＝×()
＝
课堂练习
1. 计算：
（1）2×(-5)-(-2)2÷(-4)； （2）4×(-2)3-8×(-3)+ 9 ；
（3）-2+(-2)4-24÷(-8) ； （4）(-1)10×(-5)+(-2)3÷2 .
-9
1
16
-9
【课本P53 练习第1题】
2. 计算：
（2） (-27)-[(-2)2×(- ) +(-2)2]3
（1）-14 - ×[2 +(-3)]2；
-
-
【课本P49 练习第2题】
3.如图是一个有理数混合运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题： 当输入的 x 为－16 时，最后输出的结果 y 是多少？ （写出计算过程）
解：根据流程图，当 x = -16 时，
当 x = -1 时，
当 x = 4 时，
1. ［2025衡阳月考］下列计算正确的是( )
C
A.
B.
C.
D.
返回
2. 下面是小刚同学做的一道有理数的混合
运算题： .四名同学看了小刚
的解答，给出4个看法：①运算顺序错了；②计算 时符号
错了，应为；③计算结果是 ；④第一步应该等于
.其中正确的是( )
C
A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④
返回
3. 在算式中的“ ”里
填入一个运算符号，使得它的结果最小，则这个运算符号为
( )
C
A. B. - C. × D.
返回
4.计算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） .
原式 .
返回
5.用简便方法计算：
（1） .
【解】原式
.
（2） .
原式
.
返回
6. 如果，互为相反数，，互为倒数，， ，
且，那么 的值为
( )
D
A. 7 B. C. 9 D.
【点拨】因为，互为相反数，， 互为倒数，所以
，.因为，，且 ，所以
，或，.所以.所以 .故选D.
返回
7. 根据流程图计算，若输入的值为0，则输出 的值为
( )
C
A. 5 B. 7 C. 70 D. 187
【点拨】将代入，结果为 ，将
代入，结果为 ，
所以输出 的值为70.
返回
8. “五月天山雪，无花只有寒”，反映出地形对
气温的影响.大致海拔每升高，气温约下降 .有一
座海拔为的山，在这座山上海拔为 的地方测得
气温是，则此时山顶的气温约为____ .
【点拨】山顶的气温约为
.
返回
9. 玩 “24点”游戏，规则如下：任取四个整
数（每个数只用一次），进行“、-、×、 ”四则运算，使其
结果为24.现有3，4， ，10这四个数，请根据规则列出一条
算式，这条算式是_________________________________.
（答案不唯一）
返回
10. 观察下列各式，分析并猜想：
，， ，
.
计算第24个式子的结果为________.
90 000
返回
11. 用“ ”定义新运算，对于任意有理
数，都有 ，例如：3
，求2 的值.
【解】因为对于任意有理数，都有
，
所以 ，
所以2
.
返回
课堂小结
有理数的混合运算
顺序
定义
含有有理数的加、减、乘、除、乘方多种运算，称为有理数的混合运算.
先算乘方，再算乘除，最后算加减；
如果有括号，就先进行括号里面的运算(先小括号，再中括号，最后大括号) .
同级运算，从左往右计算；
谢谢观看！

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