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2.1.1代数式的概念
第2章 代数式
【2024新教材】湘教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
2.1.1 代数式的概念
一、概念引入
在日常生活和数学学习中，我们经常会遇到一些需要用数学语言来表示数量关系的情况。比如，小明去买苹果，每个苹果\(3\)元，买\(x\)个苹果需要花费多少钱？这里我们可以用\(3x\)来表示总花费；再如，一个长方形的长为\(a\)，宽为\(b\)，那么它的周长可以表示为\(2(a + b)\)，面积可以表示为\(ab\) 。像\(3x\)、\(2(a + b)\)、\(ab\)这样的式子，在数学中有着特殊的名称和意义，它们就是我们即将学习的代数式。
二、代数式的定义
用运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式 。单独的一个数或者一个字母也叫做代数式 。例如：
单独的数：\(5\)、\(0\)、\(-2\)等，它们是最简单的代数式，代表着特定的数值。
单独的字母：\(a\)、\(x\)、\(y\)等，这些字母可以表示任意数，在不同的情境中赋予不同的值。
数与字母通过运算符号连接：\(2x\)（数\(2\)与字母\(x\)相乘）、\(\frac{a}{3}\)（字母\(a\)除以数\(3\)）、\(x^2 + 1\)（字母\(x\)先进行乘方运算，再与数\(1\)相加）等。
字母与字母通过运算符号连接：\(ab\)（字母\(a\)与字母\(b\)相乘）、\(m - n\)（字母\(m\)减去字母\(n\)）等。
需要注意的是，等式（如\(x + 2 = 5\)）和不等式（如\(x > 3\)）都不是代数式，因为它们含有等号或不等号，而代数式中不包含等号、不等号这类关系符号 ，只由数、字母和运算符号组成。
三、代数式的分类
从形式和运算角度，代数式可以进行如下分类：
单项式：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。例如\(5x\)、\(-\frac{2}{3}ab\)、\(7\)、\(a\)等。单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数 。比如在单项式\(-3x^2y\)中，系数是\(-3\)，\(x\)的指数是\(2\)，\(y\)的指数是\(1\)，那么这个单项式的次数就是\(2 + 1 = 3\)。
多项式：几个单项式的和叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数 。例如多项式\(2x^2 - 3x + 1\)，它有三项，分别是\(2x^2\)、\(-3x\)、\(1\)，其中\(1\)是常数项，\(2x^2\)的次数是\(2\)，\(-3x\)的次数是\(1\)，所以这个多项式的次数是\(2\) 。单项式和多项式统称为整式，整式是代数式中常见且重要的一类。
分式：如果\(A\)、\(B\)（\(B\neq0\)）表示两个整式，\(A ·B\)就可以表示成\(\frac{A}{B}\)的形式，如果\(B\)中含有字母，式子\(\frac{A}{B}\)就叫做分式。例如\(\frac{1}{x}\)、\(\frac{x + 1}{x - 2}\)等。
四、理解代数式概念的注意事项
运算符号的理解：代数式中的运算符号决定了数与字母之间的运算关系，在分析和书写代数式时，要准确理解每个运算符号的含义，不能随意省略或改变。比如\(2\times x\)可以写成\(2x\)，但\(2\div x\)只能写成\(\frac{2}{x}\)，不能写成\(2x\)。
字母的取值范围：在代数式中，字母的取值要使代数式有意义。对于整式，字母可以取任意实数；但对于分式，分母不能为\(0\)。例如在分式\(\frac{1}{x - 1}\)中，\(x\)不能取\(1\)，否则分式无意义。
代数式与实际问题的联系：代数式是对实际问题中数量关系的抽象表示，在学习过程中，要学会将实际问题转化为代数式，通过代数式来分析和解决问题，同时也要能根据代数式赋予其实际意义，加深对概念的理解。
五、例题讲解
例 1：判断下列式子哪些是代数式，哪些不是代数式？
（1）\(a + b = 5\)；（2）\(3x - 2y\)；（3）\(4\)；（4）\(x > 2\)；（5）\(\pi\)；（6）\(\frac{1}{a}\)（\(a\neq0\)）。
解析：
（1）\(a + b = 5\)含有等号，是等式，不是代数式。
（2）\(3x - 2y\)是由数、字母通过运算符号连接而成，是代数式。
（3）\(4\)是单独的一个数，是代数式。
（4）\(x > 2\)含有不等号，是不等式，不是代数式。
（5）\(\pi\)是单独的一个数（无理数也是数），是代数式。
（6）\(\frac{1}{a}\)（\(a\neq0\)）是由数与字母通过运算符号连接而成，是代数式。
例 2：指出下列单项式的系数和次数：
（1）\(-5x^3\)；（2）\(\frac{2}{3}xy^2\)；（3）\(-a\)。
解析：
（1）在单项式\(-5x^3\)中，系数是\(-5\)，\(x\)的指数是\(3\)，所以次数是\(3\)。
（2）对于单项式\(\frac{2}{3}xy^2\)，系数是\(\frac{2}{3}\)，\(x\)的指数是\(1\)，\(y\)的指数是\(2\)，次数为\(1 + 2 = 3\)。
（3）单项式\(-a\)的系数是\(-1\)，\(a\)的指数是\(1\)，次数是\(1\)。
例 3：说出多项式\(3x^2 - 2x + 5\)的项、常数项和次数。
解析：该多项式的项分别是\(3x^2\)、\(-2x\)、\(5\)，其中常数项是\(5\)，\(3x^2\)的次数是\(2\)，\(-2x\)的次数是\(1\)，所以这个多项式的次数是\(2\)。
这份内容围绕代数式概念展开，通过多方面讲解助力理解。若你觉得某些部分需补充案例或调整讲解方式，欢迎随时提出。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
探索新知
做一做
(1) 据新华社2021年10月17日报道：由“杂交水稻之父”袁隆平院士专家团队研发的杂交水稻双季亩产为
1 603.9 kg (其中早稻平均亩产为667.8 kg，晚稻平均亩产为936.1 kg).按照双季亩产1603.9 kg计算， 10亩的产量为(1603.9 ×10) kg ， 16.5亩的产量(1603.9×16.5)kg， a 亩的产量为___________kg.
1603.9×a
面积单位.1亩≈666.67m2
(2) 已知小楠跑 100 m花了13s，则他的平均速度是(100÷ 13) m/s，可以记作 m/s；类似地，若小婷跑100 m花了14 s，则她的平均速度 m/s；
若小华跑100 m花了 t s，则他的平均速度是______m/s.
(3) 已知一个正方形的边长为 2，将正方形的一组对边的长度各增加 1，另一组对边的长度不变，则所得到的长方形与原正方形的面积之差是 (2＋1)×2-22.若正方形的边长为 a，进行同样的变化，则所得到的长方形与原正方形的面积之差是_____________.
(a＋1)×a-a2
用字母表示数，更具有普遍意义，能为叙述和研究问题带来方便.
注意：字母可以表示任意的数.但是在同一个问题中，相同的字母必须表示相同的数，不同的数必须用不同字母表示.
上面我们所得到的算式和小学学过的算式有什么区别？
1603.9×a , , (a＋1)×a-a2 .
观 察
数与表示数的字母用运算符号连接而成的式子叫作代数式.
规定：单独一个字母或一个数也是代数式.
这里的运算一般是加、减、乘、除、乘方、开方.
代数式中，数字与字母相乘时，“×” 通常省略不写，
1603.9×a
a × b
a×2
1603.9 a
ab
a · b
2a
字母与字母相乘时，“×” 通常省略不写或写成“·”，
字母与数字相乘的结果，数字写在字母的前面.
注意：
练一练
下列哪些是代数式，哪些不是，不是的请说明理由.
① 2x+3y
② (2x-y)2
④ 5x-4=2
③ 3＞2
⑤ m
⑥ t ≠x 2 +1
√
√
×
√
×
×
当字母前的数为“1”或“-1”时，“1”省略不写.
用________连接的数学式子一般不是代数式.
>、<、≥、≤、≠、= …
关系符号
2.判断下列式子书写是否规范，不规范请改正.
x×y
x 3
m÷3
2R·π
a·b÷cc
xy
3x
2πR
例1
填空：
（1）比 a 的 大 c 的数是________；
（2）a 与 b 的积的 2 倍为________；
（3）a ( a不为0 ) 的倒数与 b 的和为________；
（4）a 的5倍 与b 的8倍的和为________.
2ab
a＋c
＋b
5a＋8b
例2
填空：
（1）1 893 ＝ 1 000×___＋100×___＋10×___＋___；
（2）一个四位正整数，它的千位数字是 a，百位数字是 b，十位数字是 c，个位数字是 d ，则这个四位正整数可表示为__________________；
（3）被7除余4的数为______（商用自然数n表示）；
（4）x表示一个两位正整数，y表示一个三位正整数，把x放在y的右边组成一个五位数，则这个五位数可以表示为__________.
1
8
9
3
1000a+100b+10c+d
7n+4
100y+x
练一练
1.填空:
(1) 比b 的一半少 3 的数是_________;
(2) a的平方与b的平方的和是_________;
(3) a与b的和的平方是_________;
(4) 一个两位正整数，它的十位数字是a，个位数字是b，则这个两位正整数可表示为_________;
(5) 一个三位正整数，它的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，则这个三位正整数可表示_____________.
【课本P66 练习第1题】
b－3
10a＋b
100a＋10b＋c
a2+b2
(a+b)2
例3
我国“复兴号”CR400系列动车组列车的最高时速可达400 km.如果按最高时速计算，问:
60 min可以运行多少千米？
(2)t min可以运行多少千米？
解：(1) 60 min ＝ 1 h，400×1＝400 (km) .
(2) t min ＝ h，400× ＝ (km) .
答：60 min可以运行400 km，t min可以运行 km.
式子中出现除法运算时，一般按分数形式来写.
课堂练习
1.用含字母的式子表示下面的数量：
（1）比a小1的数_____；
（2）比a大7的数_____；
（3）x的2倍与y的平方的和________ .
a+7
a–1
2x+y2
2.一个两位数，个位是 a，十位比个位大1，这个两位数是（ ）.
A. a（a+1） B. （a+1）a
C. 10（a+1）a D. 10（a+1）+a
D
【课本P66 练习第2题】
3.小明上学骑自行车的速度是他步行速度的3倍，若小明的步行速度的vm/s，则他骑自行车的速度是多少？
他骑自行车的速度是3vm/s.
4.如左下图（图中长度单位：cm），用式子表示三角尺的面积；
三角尺的面积（单位：cm2 ）是 .
5.右下图是一所住宅的建筑平面图（图中长度单位：m），用式子表示这所住宅的建筑面积.
这所住宅的建筑面积（单位：m2）是x2+2x+18.
1. 下列各式中:，，， ，
， ，是代数式的有( )
B
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
2. ［2025郴州月考］下列各式中:； ；
；；；； ；
千克.符合代数式书写要求的有( )
B
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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3. 母题教材P66例2（4） 设表示一个两位正整数, 表示一
个三位正整数，如果把放在 的左边组成一个五位数，那么
这个五位数可以表示为( )
B
A. B.
C. D.
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4. 如图，阴影部分的面积为( )
A
A. B.
C. D.
5.,两地相距,甲每小时行 ,乙的速度是甲的1.2倍，
则乙从地到地所用的时间为____.（用含, 的代数式表示）
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6. “黄河远上白云间，一片孤城万仞山”中“仞”
是古时的一种长度计量单位，每仞长度大约是， 仞
约是______ .
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7. 下面代数式表示错误的是( )
D
A. 的倍减去的倍的差为
B. 除以2的商与8的差的立方是
C. 三个数,,的和的10倍，再减去0.5是
D. 与的立方的和的倒数是
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8. 人们学习数学，通常是从学习数学符号
开始的.现代数学符号系统的建立经历了长期的演变和发展.
我国清朝学堂课本《代微积拾级》中用“ ”来
表示相当于 的代数式，按此方法，符号“
”所表示的代数式为_______.
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9.我们学过有理数的简便运算，如
，请据此回答下列问题：
（1）请用字母表示上面简便运算运用的规律：___________
________.
（2）你能运用上面的方法计算下列各题吗？
① ；
【解】 .
② .
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课堂小结
列代数式注意事项
数与字母相乘，乘号通常省略，数字写在字母前面
字母与字母相乘，乘号通常省略不写或写成“·”
相同字母相乘时，应写成乘方的形式.
后面带单位的相加或相减的式子要用括号括起来
式子中出现除法运算时，一般按分数形式来写
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