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2.1.2代数式的应用
第2章 代数式
【2024新教材】湘教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
代数式的应用
一、在数学问题中的应用
（一）表示数量关系
在数学问题里，代数式能简洁明了地呈现各种数量间的关系。例如，一个数比另一个数的\(3\)倍少\(5\)，设另一个数为\(x\)，那么这个数就可以用代数式\(3x - 5\)表示；再如，某商店购进一批商品，每件进价为\(a\)元，售价为\(b\)元（\(b > a\)），若购进\(m\)件商品，全部售出后的利润可表示为\((b - a)m\)元 。通过代数式，复杂的数量关系被转化为清晰的数学表达式，方便我们进行分析和计算。
（二）方程与不等式中的应用
代数式是构建方程和不等式的基础。方程\(2x + 3 = 7\)中，\(2x + 3\)和\(7\)都是代数式，通过求解这个方程，我们可以得出\(x\)的值，进而解决实际问题。在不等式\(3x - 5 > 10\)里，\(3x - 5\)同样是代数式，解这个不等式能得到\(x\)的取值范围，帮助我们确定满足特定条件的数值集合 。例如，在分配物品的问题中，若已知物品总数和分配规则，可列出方程或不等式，利用代数式求解出合理的分配方案。
（三）几何图形中的应用
在几何领域，代数式用于表示图形的边长、周长、面积、体积等。如长方形的长为\(a\)，宽为\(b\)，其周长\(C = 2(a + b)\)，面积\(S = ab\)；正方体的棱长为\(x\)，它的表面积\(S_{è ¨}= 6x^2\)，体积\(V = x^3\) 。通过这些代数式，我们可以在已知部分条件时，计算出其他未知量，还能研究图形的性质和变化规律。比如，当长方形的长或宽发生变化时，利用周长和面积的代数式可分析其周长和面积的相应变化。
二、在其他学科中的应用
（一）物理学中的应用
在物理学里，许多物理量之间的关系依靠代数式来表达。速度公式\(v = \frac{s}{t}\)（其中\(v\)表示速度，\(s\)表示路程，\(t\)表示时间），当已知其中两个量时，可通过这个代数式求出第三个量 。再如，欧姆定律\(I = \frac{U}{R}\)（\(I\)表示电流，\(U\)表示电压，\(R\)表示电阻），在电路分析中，利用该代数式可计算电路中的电流、电压或电阻值，帮助我们理解和设计电路。
（二）化学中的应用
化学中，代数式用于表示物质的组成、化学反应的定量关系等。化学式\(H_2O\)表示水这种物质，其中\(H\)和\(O\)的下标表示原子个数，通过化学式可以计算物质的相对分子质量，如水的相对分子质量为\(1\times2 + 16 = 18\) 。在化学反应方程式中，如\(2H_2 + O_2 \stackrel{ }{=\!=\!=} 2H_2O\)，各物质前面的系数表示参加反应的物质的量的比例关系，利用这些关系可以进行化学计算，如计算反应物的用量或生成物的产量。
三、在日常生活中的应用
（一）购物消费场景
在购物时，代数式可用于计算商品的总价、折扣后的价格等。例如，某商品原价为\(p\)元，打\(n\)折销售，那么折扣后的价格\(q = 0.1np\)元；若购买\(m\)件该商品，实际花费\(M = 0.1nmp\)元 。通过这些代数式，消费者可以清晰地比较不同商品的价格，做出更合理的购物决策。
（二）行程规划场景
在规划行程时，代数式可用于计算行程时间、距离等。比如，已知汽车的行驶速度为\(v\)千米 / 小时，行驶时间为\(t\)小时，那么行驶的路程\(s = vt\)千米；若要在规定时间\(T\)小时内到达距离为\(S\)千米的目的地，汽车的速度至少应为\(v_{min} = \frac{S}{T}\)千米 / 小时 。借助这些代数式，我们可以合理安排出行时间和方式，提高出行效率。
以上从多方面展示了代数式的应用。若你对某一应用场景还想了解更多案例，或有其他需求，欢迎随时告诉我。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
游戏导入
摆一摆
摆一个三角形至少需要几根火柴？
四边形？
五边形？
探索新知
观察下图，并完成下表：
说一说
六边形的个数 图案 所需火柴（根）
1 6
2 6+5=11
3 6 + 5 × 2=26
4 6 + 5 × ＝______
… … …
m(m为正整数) … 6 + 5 × ＝______
(m-1)
(4-1)
21
(1) 日平均气温可以用一天中2:00，8:00，14: 00，20:00 四个时刻气温的平均值来表示，若上述四个时刻的气温分别是 a℃， b ℃， c ℃，d ℃，
则日平均气温是________________ ℃；
(2) 把 a 本科普书、b本作文书、c本文学书分给若干名学生，若每人 5 本，则剩余3 本，由此可知学生人数为_________.
例4
填空：
列代数式的方法：
①抓关键词
③列代数式
②找运算顺序
明确问题中的意义及数量关系
先读的先算，先算的先读
注意书写顺序
练一练
1.用代数式填空：
(1) 某阶梯教室第一排有8个座位，第二排有10个座位，以后每排都比它前一排多2个座位，那么第n排有___________个座位.
(2) 一批货物共 x t，第一天售出这批货物的 ，第二天售出剩下的一半，还剩下货物________ t.
(3)一件进价为x元的商品，卖出后利润率为25%，则这件商品的利润(利润＝进价×利润率)为_________.
8+2(n – 1)
x
【课本P69 练习第1题】
25%x
2.观察下列式子：
32－12 ＝ 8×1 ; 52－32 ＝ 8×2 ;
72－52 ＝ 8×3 ; 92－72 ＝ 8×4 ; ···.
探索以上式子的规律，写出第 n 个等式.
(2n+1)2－ (2n－1)2 ＝8×n
为了增强公民节水意识，某市鼓励居民合理利用水资源，对自来水的水费实行阶梯水价，并实行“一户一表”计费．对于5人及以下的家庭，规定如下:
例5
每户每年用水量 水价/(元/m )
180 m 及以下 2.07
超过180 m 但不超过260 m 的部分 4.07
超过260 m 的部分 6.07
(1) 若某个家庭（5人及以下）一年总用水量为 a m3，其中 a 不超过180，则该家庭一年的水费是多少？
解 (1) 由于一年总用水量为a m3，且 a 不超过180 ，因而其价格为每立方米2.07元，故这样的家庭一年的水费为 2.07a 元.
每户每年用水量 水价/(元/m )
180 m 及以下 2.07
超过180 m 但不超过260 m 的部分 4.07
超过260 m 的部分 6.07
每户每年用水量 水价/(元/m )
180 m 及以下 2.07
超过180 m 但不超过260 m 的部分 4.07
超过260 m 的部分 6.07
(2)若某个家庭（5人及以下）一年中前十个月用水量为180 m3，后两个月用水量为b m3 ，其中b不超过80，则这样的家庭一年的水费是多少？
(2) 一年中前十个月的水费为2.07×180=372.6(元).由于后两个月用水超过80 m3，于是全年用水量不超过260 m3.又后两个月用水量为b m3，从而后两个月的水费为4.07b元，因此这样的家庭一年的水费为(372.6＋4.07b)元，其中b不超过80.
每户每年用水量 水价/(元/m )
180 m 及以下 2.07
超过180 m 但不超过260 m 的部分 4.07
超过260 m 的部分 6.07
每户每年用水量 水价/(元/m )
180 m 及以下 2.07
超过180 m 但不超过260 m 的部分 4.07
超过260 m 的部分 6.07
练一练
1.在本节例5中，若某个家庭（5人及以下）一年中前十个月用水量为210 m3，后两个月用水量为c m3，其中c大于50，则这样的家庭一年的水费是多少？
解 由于一年总用水量为(210+c) m3，其大于260 m3，不超过260 m3的部分为2.07×180＋4.07×(260－180)＝ 698.2（元），超过260m3的部分为[6.07×(c－260)] 元.因此，这样的家庭一年的水费为 {698.2+[6.07×(c－260)]} 元.
【课本P70 练习2.1 第6题】
每户每年用水量 水价/(元/m )
180 m 及以下 2.07
超过180 m 但不超过260 m 的部分 4.07
超过260 m 的部分 6.07
每户每年用水量 水价/(元/m )
180 m 及以下 2.07
超过180 m 但不超过260 m 的部分 4.07
超过260 m 的部分 6.07
①如果苹果的价格是每千克a元，那么买25kg苹果需要25a元.
②如果小强跑步的速度是 a m/s，那么他25s所跑的路程为25a m.
说一说
结合生活实例说明代数式25a可以表示什么.
小结：代数式在不同情境中表示的意义不同.
练一练
结合生活实例说明代数式 4a可以表示什么.
正方形的边长为a，它的周长为4a ；
一种水果单价为a 元/斤，小明买了4斤，一共用了4a 元.
课堂练习
1.“x的 与y的和”用代数式表示为（ ）.
A. (x + y) B.x + + y
C. x + y D. x + y
D
2. 观察下列图形的排列规律，你能说出第 n 个图形的代数式吗？
①
②
③
……
3+3n
3.某商店购进每双m元的旅游鞋100 双，每双n元的皮鞋50 双，那么该商店一共需支付多少元？
该商店一共需支付(100m+50n)元.
后面带单位的相加或相减的式子要用括号括起来
【课本P69 练习第2题】
4.如图，小斌将边长为10的正方形纸片的4个角各剪去一个边长为x 的小正方形，其中x<5，求剩余部分的面积.
10
x
分析：
剩余部分面积＝正方形面积－裁剪部分面积＝10×10－4×x × x
剩余部分的面积为100－4x2
【课本P69 练习第3题】
5.结合生活实例说明代数式 可以表示什么.
解：如果用a km/h表示小明骑自行车的速度，那么 km 表示他骑自行车半小时的路程.
(答案不唯一)
【课本P69 练习第4题】
1. ［2024广安］下列对代数式 的意义表述正确的是
( )
C
A. 与的和 B. 与 的差
C. 与的积 D. 与 的商
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2. 随着科技的进步，无人驾驶汽车成为现实.
某无人驾驶汽车的速度为，当汽车行驶了 后，其行
驶的距离为，则 .如果无人驾驶汽车的速度是原来
的倍，并且行驶了，那么新的行驶距离 可以表
示为( )
C
A. B. C. D.
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3. “元旦”一词最早出现于《晋书》：“颛帝
以孟春三月为元，其时正朔元旦之春.”为庆祝元旦，某商场
举行促销活动:消费超过200元，所购买的商品打八折后，再
减少20元.若某商品的原价为元 ，则购买该商品实
际付款的金额是( )
A
A. 元 B. 元
C. 元 D. 元
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4.如图，一个窗户的上部是由4个相同的扇形组成的半圆形，
下部是由边长为 的4个完全相同的小正方形组成的正方形，
则做这个窗户需要的材料总长为__________.
（第4题）
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5.一位同学用围棋棋子摆出“湖南师大附中教育集团”中的“大”
字，如图①，图②，图③， 是按照某种规律摆成的一行“大”
字，按照这种规律，第 个“大”字中的棋子个数是________.
（第5题）
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6. 请你用实例解释下列代数式的意义：
（1） ；
【解】（答案不唯一）每支笔元，每本笔记本 元，买5支
笔和10本笔记本需多少元.
（2） .
正方形的边长为 ，3个这样的正方形的面积是多少.
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7.［2025衡阳月考］用代数式表示：
（1）半径为 的圆的周长；
【解】由题意得，半径为的圆的周长为 .
（2）， 两数的平方和减去它们积的2倍；
，两数的平方和减去它们积的2倍即为 .
（3）已知数轴上的点，所表示的数分别为， ，用含
，的代数式表示到点， 的距离相等的点所表示的数.
因为数轴上的点，所表示的数分别为,，所以到点, 的
距离相等的点所表示的数为 .
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8. 腹有诗书气自华，最是书香能致远.为鼓励和推广全民阅
读活动，某书店开展促销活动，促销方法是将原价为 元的
一批图书以 元的价格出售，则下列说法中，能正
确表达这批图书的促销方法的是( )
C
A. 在原价的基础上打8折后再减去15元
B. 在原价的基础上打0.8折后再减去15元
C. 在原价的基础上减去15元后再打8折
D. 在原价的基础上减去15元后再打0.8折
返回
9. 一组按规律排列的代数式：-，，，， ，第
个代数式是为正整数 ( )
D
A. B.
C. D.
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10. 如图，阴影部分是一个长方形被截去
两个四分之一圆后剩余的部分，则它的
面积是其中 ( )
B
A. B. C. D.
【点拨】长×宽 ，两个四分之一的圆可以拼成一
个半圆，，所以 .
返回
11. “数学是将科学现象升华到科学本质认识的
重要工具”，比如在化学中，甲烷的化学式是 ，乙烷的化
学式是，丙烷的化学式是 ，丁烷的化学式是
， ，设碳原子的数目为为正整数 ，则它们的化
学式都可用式子_________来表示.
课堂小结
代数式的应用
根据实际问题列代数式
解释代数式所表示的实际意义
谢谢观看！

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