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2.2 代数式的值
第2章 代数式
【2024新教材】湘教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
2.2 代数式的值
一、概念引入
在日常生活和数学问题中，我们常常会遇到需要根据给定条件确定代数式具体数值的情况。例如，一个苹果的价格是\(x\)元，当\(x = 5\)时，买\(3\)个苹果的总花费，就可以通过将\(x = 5\)代入代数式\(3x\)中计算得出。这里计算得到的结果，就是代数式\(3x\)在\(x = 5\)时的值 。由此引出我们今天要学习的内容 —— 代数式的值。
二、代数式的值的定义
用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值 。也就是说，当我们给代数式中的字母赋予具体的数值后，通过相应的运算得到的最终结果，就是这个代数式在该组数值下的值。例如，对于代数式\(2x + 3\)，当\(x = 2\)时，把\(x = 2\)代入\(2x + 3\)中，按照先乘除后加减的运算顺序，计算\(2 2 + 3 = 4 + 3 = 7\)，这里的\(7\)就是代数式\(2x + 3\)当\(x = 2\)时的值 。
三、求代数式的值的方法与步骤
（一）代入
把给定的字母的值准确地代入代数式中相应字母的位置 。在代入过程中，要注意：
当字母的值是负数时，代入后要根据负数的运算规则添加括号 。例如，对于代数式\(x^2 - 3x\)，当\(x = - 2\)时，代入后变为\(( - 2)^2 - 3 ( - 2)\)，不能写成\(-2^2 - 3 - 2\)，否则会导致运算顺序错误，产生错误结果。
当字母的值是分数时，代入时也要注意书写规范 。比如，当\(x = \frac{1}{2}\)，代入代数式\(4x^2\)，应写成\(4 (\frac{1}{2})^2\) 。
（二）计算
按照代数式中指定的运算关系和运算顺序进行计算 。一般遵循先乘方，再乘除，最后加减；如果有括号，先算括号里面的，按小括号、中括号、大括号依次进行 。例如，求代数式\((x + 1)^2 - 2x\)当\(x = 3\)时的值。
代入：把\(x = 3\)代入代数式，得到\((3 + 1)^2 - 2 3\) 。
计算：先算括号内的加法\(3 + 1 = 4\)，再算乘方\(4^2 = 16\)，接着算乘法\(2 3 = 6\)，最后算减法\(16 - 6 = 10\) 。所以，当\(x = 3\)时，代数式\((x + 1)^2 - 2x\)的值是\(10\) 。
四、典型例题讲解
（一）简单代入计算
例 1：求代数式\(3a - 2b\)当\(a = 4\)，\(b = 1\)时的值。
解析：
代入：将\(a = 4\)，\(b = 1\)代入代数式\(3a - 2b\)，得到\(3 4 - 2 1\) 。
计算：先算乘法\(3 4 = 12\)，\(2 1 = 2\)，再算减法\(12 - 2 = 10\) 。所以，当\(a = 4\)，\(b = 1\)时，代数式\(3a - 2b\)的值是\(10\) 。
（二）整体代入计算
例 2：已知\(x - 2y = 3\)，求代数式\(2(x - 2y)^2 + 3x - 6y - 7\)的值。
解析：
观察发现，代数式\(3x - 6y\)可以变形为\(3(x - 2y)\)，这样整个代数式中就都含有\(x - 2y\)的形式 。
把\(x - 2y = 3\)整体代入代数式：\(
\begin{align*}
&2 3^2 + 3 3 - 7\\
=&2 9 + 9 - 7\\
=&18 + 9 - 7\\
=&27 - 7\\
=&20
\end{align*}
\)
所以，代数式\(2(x - 2y)^2 + 3x - 6y - 7\)的值是\(20\) 。通过整体代入，简化了计算过程，避免了分别求出\(x\)、\(y\)的值，在很多情况下能更高效地解决问题。
（三）多字母、复杂运算的代入计算
例 3：求代数式\(\frac{2a + b}{a - b}\)当\(a = - 3\)，\(b = 2\)时的值。
解析：
代入：将\(a = - 3\)，\(b = 2\)代入代数式\(\frac{2a + b}{a - b}\)，得到\(\frac{2 ( - 3) + 2}{ - 3 - 2}\) 。
计算：先算分子\(2 ( - 3) + 2 = - 6 + 2 = - 4\)，再算分母\(- 3 - 2 = - 5\)，最后算除法\(\frac{-4}{-5}=\frac{4}{5}\) 。所以，当\(a = - 3\)，\(b = 2\)时，代数式\(\frac{2a + b}{a - b}\)的值是\(\frac{4}{5}\) 。
五、易错题分析
例：当\(x = - 2\)时，求代数式\(-x^2 + 3x - 1\)的值。
错误解法：把\(x = - 2\)代入，得到\(-2^2 + 3 ( - 2) - 1 = - 4 - 6 - 1 = - 11\) 。
错误原因：在代入\(-x^2\)时，忽略了负数的乘方运算规则，\(-x^2\)表示\(x^2\)的相反数，当\(x = - 2\)时，应该是\(-( - 2)^2\)，而不是\(-2^2\) 。
正确解法：把\(x = - 2\)代入，得到\(-( - 2)^2 + 3 ( - 2) - 1 = - 4 - 6 - 1 = - 11\) 。
六、代数式的值在实际生活中的应用
（一）购物场景
在购物时，我们可以利用代数式的值来计算商品的总价、折扣后的价格等。例如，某商场进行促销活动，一件衣服的原价是\(m\)元，现在打八折出售，那么这件衣服的售价就可以用代数式\(0.8m\)表示。如果这件衣服的原价\(m = 200\)元，将\(m = 200\)代入\(0.8m\)，可得\(0.8 200 = 160\)元，即这件衣服打折后的售价是\(160\)元 。
（二）行程问题
在行程问题中，根据路程、速度、时间的关系列出的代数式，也可以通过代入具体数值求出相应的值。比如，汽车的行驶速度是\(v\)千米 / 小时，行驶时间为\(t\)小时，那么行驶的路程\(s = vt\)。若汽车速度\(v = 60\)千米 / 小时，行驶时间\(t = 3\)小时，把\(v = 60\)，\(t = 3\)代入\(s = vt\)，得到\(s = 60 3 = 180\)千米，即汽车行驶的路程是\(180\)千米 。
通过以上对代数式的值的学习，我们了解了它的概念、求法、应用等内容。在实际计算和应用中，要注意代入的准确性和计算的规范性。如果还有任何疑问，欢迎随时探讨。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
游戏导入
请五位同学做一个传数游戏．
规则：第一个同学任意报一个有理数，由老师给定一个代数式，其他四个同学依次将上一个同学得到的那个数代入老师给定的式子进行计算，全部完成，闯关成功.若中途有发生错误，挑战失败.
2x+4
x2+1
2x2-2
探索新知
做一做
在上节的例5中，对于某个家庭（5人及以下），如果一年中前十个月用水量为180 m3，后两个月用水量为b m3，其中 b 不超过80，我们求出了这样的家庭一年的水费是
(372.6十4.07b) 元.
(372.6十4.07b) 元
运用这一结论，解决下列问题
(1) 若小华家(5人及以下)一年中前十个月用水量为180 m3，后两个月用水量为40 m3，则小华家一年的水费是
372.6＋4.07×______＝______(元)；
40
535.4
(372.6十4.07b) 元
(2)若小玲家(5人及以下)一年中前十个月用水量为180 m3，后两个月用水量为60 m3 ，则小玲家一年的水费是
372.6＋4.07×______＝______(元).
60
616.8
将b用一个数代入
得出一个结果
如果把代数式里的字母用数代入，那么计算后得出的结果叫作这个代数式的一个值.
代数式
372.6+4.07b
代数式
372.6十4.07b
输入 0 2 10
输出
372.6
380.74
413.3
注意：代数式的值由代数式里字母所取的值来确定的.
字母的值
代数式的值
注
意
代数式里的字母可以用不同的数代入，但是这些数还须符合一定的要求.
例如，在上面5人及以下家庭一年的水费的例子中，b的值只能取不超过80的非负数.
例1
在代数式x2-5x+6里，
(1) 当 x 取3时，求 x2-5x+6 的值；
解 (1) 将 x 用3 代入，则 x2-5x+6 的值为
32-5×3+6＝9-15+6＝0.
注意：代数进行运算时，省略的“×”号要还原.
简记为“x=3”
例1
在代数式x2-5x+6里，
(2) 当 x 取-2时，求 x2-5x+6 的值；
(2) 将 x 用-2代入，则 x2-5x+6 的值为
(-2)2-5×(-2)+6＝4+10+6＝20.
注意：乘方运算代入负数时， 要添括号.
例1
在代数式x2-5x+6里，
(3) 当 x 取- 时，求 x2-5x+6 的值.
(3) 将 x 用-代入，则 x2-5x+6 的值为
(- )2-5×(- )+6＝++6＝ .
注意：乘方运算代入分数时， 要添括号.
练一练
1.判断下列说法是否正确.如果不正确，请说明理由.
(1) 当 x=- 时，3x2=3(- )2=3 （ ）
(2) 当 x= -2时，3x2=3-22 = -1 （ ）
代入数值时，应该把省略的乘号还原.
代入负数时，根据实际情况添上括号.
×
×
(3) 当 x= 时，3x2=3× = （ ）
乘方运算代入分数时，也必须添上括号
(4) 当 x= 5 时，6x+30=6×(5+30)= 210（ ）
计算时必须按照代数式指定的运算顺序进行计算
×
×
2.填空：
已知 a=3，则 a2+4=______;
已知 x+y=3，则 (x+y)2+4=______;
(3) 已知 2a-b=5，则2(2a-b)–7=______;
(4) 已知 a2+2a-1=0，则3(a2+2a)+2=______;
(5) 已知 x2-2x-3=0，则2x2-4x=______;
数学思想:整体代入
13
13
3
5
6
经过上述探究，你能自己试着回答下列问题？
1.如何求代数式的值？
2.求值过程是怎样的？
3.求值过程中有什么注意事项？
先代入，再计算
当——抄——代——算
①书写格式 ②添上乘号
③负数、分数加括号 ④注意运算顺序
例2
已知代数式 ，当x＝ ，y＝-2时，求这个代数式的值.
解 将 x 用 ，y用-2 代入，则 的值为 .
练一练
1.当x=3，y=-2时，代数式 x2－y2 的值是( )
A.13 B.4 C.12 D.5
D
2.当x=0.5，y=0.79 时，代数式 4x2+2y 的值
为_________.
2.58
计算不规则图形的面积时，有时采用“方格法”．具体计算方法如下：假定每个小方格的边长为1，S为图形的面积，L是边界上的格点数，N是内部格点数，则有
. 请根据此方法计算
图中四边形ABCD的面积.
例3
解 由图可知，边界上的格点数 L=8，
内部格点数N =12，
所以四边形ABCD的面积
【思考】你是否还有其他方法求出四边形ABCD的面积，将你的解法写下来.
S＝6×5－4×4 －4×1 －2×2 －2×3＝15
1.请用例3的方法求下图中图形的面积．
答：面积为48.
解 由图可知，边界上的格点数L=14，
内部格点数N =42，
所以图形的面积为：
练一练
【课本P73 练习第4题】
课堂练习
1. 填空： 输入a的值 输出结果
–2a+1
4
– 4
0
– 7
9
1
【课本P73 练习第1题】
2.在代数式 x2+x-3 里，当x分别取 -2， ， - 时，求x2+x-3的值.
解：当x = -2时， x2+x-3=(-2)2+(-2) -3= 0；
当x = 时， x2+x-3=()2+() -3= 0；
当x =-时， x2+x-3=()2+() -3= -.
【课本P73 练习第2题】
3.已知代数式 4x2+2y，
当x= ，y=- 时，求 4x2+2y 的值；
当x=- ，y=-时，求 4x2+2y 的值.
解 (1) 当x= ，y=- 时，4x2+2y=4×()2+2×()=0
(2) 当x=- ，y=-时，4x2+2y=4×()2+2×()=
【课本P73 练习第3题】
4.在下面的小正方形网格中，求阴影部分的面积.
解 由图可知，边界上的格点数L=11，
内部格点数N =5，
所以图形的面积为：
答：面积为 .
5.当x=3时，代数式px3+qx+1的值为2002，则当x= –3时，代数式px3+qx+1的值为（ ）.
A. 2000 B. -2002
C. - 2000 D. 2001
C
1. 若，，则 的值为( )
D
A. B. 1 C. 7 D. 13
2. 若分别等于1或，则代数式 的两个值是
( )
A
A. 相等 B. 互为相反数
C. 互为倒数 D. 异号
返回
3. 代数式中，当取值分别为 ，0，1，2时，对应
代数式的值如下表：
… 0 1 2 …
… 1 3 5 …
则 的值为( )
A
A. B. 1 C. 3 D. 5
返回
4. 如图所示的运算程序，能使输出的结果为16的是( )
C
A. , B. ,
C. , D. ,
返回
5. 根据图中数字的排列规律，在第⑨个图
中， 的值是( )
B
A. 62 B. 254 C. D. 256
【点拨】设三角形左上位置的数字为 ，右上位置的数字为
，下方位置的数字为，由题图可知， ，
， ，故
，
，
，所以
.故选B.
返回
6.［2025衡阳期末］若，则 ___.
7. 某地海拔与温度的关系可用
来表示，则该地区某海拔为 的山顶上的温度为_____.
0
【点拨】因为，所以 .所以
.
返回
8. 如图，把，， 三个电阻串联起来，线
路上的电流为，电压为，则 .当
，，，时， 的值为
_____.
220
返回
9.母题教材P74习题T6 如图是一
个长方形.
（1）根据图中数据，用含 的代
数式表示阴影部分的面积 ；
【解】由题图可知 .
（2）若，求 的值.
当时， .
返回
10. 用菱形按如图所示的规律拼图案，其
中第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有5个菱形，第③
个图案中有8个菱形，第④个图案中有11个菱形， ，按此
规律，则第⑧个图案中，菱形的个数是( )
C
A. 20 B. 21 C. 23 D. 26
【点拨】第①个图案中有2个菱形，第②个图案中有
（个）菱形，第③个图案中有 （个）
菱形，第④个图案中有（个）菱形， ，所
以第 个图案中有 个菱形.所以第⑧个图案
中,菱形的个数是 .
返回
11. 历史上，数学家欧拉最先把关于 的多项
式用记号来表示，把等于某数时的多项式的值用
来表示.例如时，多项式 的值记为
.若，则 ( )
C
A. 5 B. C. 1 D.
返回
12. 已知 ,
则 的值是( )
C
A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
【点拨】因为当时，，所以 .
返回
13. 已知有理数所表示的点与 表示的
点距离4个单位长度，,互为相反数，, 互为倒数,则
的值为_______.
2或
课堂小结
代数式的值
概念
应用
字母取值有范围
直接代入法
整体代入法
使原代数式有意义
使字母表示的实际问题有意义
如果把代数式里的字母用数代入，那么计算后得出的结果叫作这个代数式的一个值.
先代入，后计算
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