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(共37张PPT)
2.3.1整式
第2章 代数式
【2024新教材】湘教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
整式
一、整式的定义
整式是代数式中的一大重要类别，单项式和多项式统称为整式 。整式在数学运算和实际问题解决中具有广泛应用，理解整式的概念和性质是进一步学习代数知识的基础。
二、单项式
（一）单项式的概念
由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式 。例如：
数与字母的积：\(3x\)表示\(3\)与\(x\)的乘积，\(-2ab\)是\(-2\)、\(a\)、\(b\)的乘积，它们都是单项式。
单独的数：像\(5\)、\(0\)、\(-7\)等，这些数可以看作是这个数与字母的\(0\)次幂的乘积（例如\(5 = 5\times x^0\)，通常省略不写），所以单独的数是单项式。
单独的字母：比如\(a\)、\(m\)等，可看作是\(1\)与该字母的乘积（\(a = 1\times a\)），因此单独的字母也是单项式。
（二）单项式的系数和次数
系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数 。在单项式\(5x\)中，数字因数是\(5\)，所以\(5x\)的系数是\(5\)；对于\(-\frac{2}{3}xy^2\)，数字因数是\(-\frac{2}{3}\)，其系数就是\(-\frac{2}{3}\) 。需要注意的是，当单项式的系数为\(1\)或\(-1\)时，“\(1\)” 通常省略不写，但不能忽略，例如\(ab\)的系数是\(1\)，\(-a\)的系数是\(-1\) 。
次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数 。在单项式\(3x^2\)中，\(x\)的指数是\(2\)，那么这个单项式的次数就是\(2\)；对于\(4xy^3z\)，\(x\)的指数是\(1\)，\(y\)的指数是\(3\)，\(z\)的指数是\(1\)，所有字母指数的和为\(1 + 3 + 1 = 5\)，所以该单项式的次数是\(5\) 。单独的一个非零数，如\(5\)，可看作\(5x^0\)，其次数是\(0\) 。
三、多项式
（一）多项式的概念
几个单项式的和叫做多项式 。例如\(2x + 3\)是由单项式\(2x\)和单项式\(3\)相加组成的，\(x^2 - 2x + 1\)是由单项式\(x^2\)、\(-2x\)、\(1\)相加构成的，它们都是多项式 。
（二）多项式的项和次数
项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项 。在多项式\(3x^2 - 5x + 2\)中，有三项，分别是\(3x^2\)、\(-5x\)、\(2\)，其中\(2\)是常数项 。
次数：多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数 。对于多项式\(x^3 - 2x^2 + 3x - 1\)，\(x^3\)的次数是\(3\)，\(-2x^2\)的次数是\(2\)，\(3x\)的次数是\(1\)，\(-1\)是常数项次数为\(0\)，次数最高项是\(x^3\)，所以该多项式的次数是\(3\) 。
四、整式的运算
（一）整式的加减
整式的加减运算实际上就是合并同类项。同类项是指所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项 。例如\(3x^2\)与\(5x^2\)是同类项，\(2xy\)与\(-3xy\)是同类项 。合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变 。如计算\(3x^2 + 5x^2\)，系数\(3 + 5 = 8\)，结果为\(8x^2\)；计算\(2xy - 3xy + 4xy\)，系数\(2 - 3 + 4 = 3\)，结果是\(3xy\) 。如果有括号，先去括号，再合并同类项 ，例如计算\((2x^2 + 3x - 1) - (x^2 - 2x + 3)\)，去括号得\(2x^2 + 3x - 1 - x^2 + 2x - 3\)，再合并同类项\((2x^2 - x^2)+(3x + 2x)+(-1 - 3)=x^2 + 5x - 4\) 。
（二）整式的乘除
整式的乘法：包括单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式。单项式乘单项式，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 。例如\(3x^2 \cdot 2x^3=(3\times2)\cdot(x^2\cdot x^3)=6x^5\) 。单项式乘多项式，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加 ，如\(2x(3x - 5)=2x\cdot3x - 2x\cdot5 = 6x^2 - 10x\) 。多项式乘多项式，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 ，例如\((x + 2)(x - 3)=x\cdot x - 3x + 2x - 2\times3=x^2 - x - 6\) 。
整式的除法：主要涉及单项式除以单项式，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式 。如\(6x^4\div2x^2=(6\div2)\cdot(x^4\div x^2)=3x^2\) 。多项式除以单项式相对复杂一些，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加 。
以上就是关于整式的详细介绍。如果对于整式的概念、运算等方面还有疑问，或者希望补充更多实例，随时可以告诉我。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
情境导入
据了解“天宫一号”在太空中绕地球飞行的速度约为7.5千米每秒.绕地球一圈只需要一个小时.
“天宫一号”飞行10秒能飞_____千米；飞行1分钟能飞_____千米；飞行 t 秒能飞_____千米.
75
450
7.5 t
探索新知
填空：
(1) 以 8km/h 的平均速度行走 t h的路程是 km;
(2) 半径为 r 的圆的面积是 ;
(3) 底面是边长为 x 的正方形，高为y的长方体的体积是 ;
8 t
πr2
x2y
(1) 以 8km/h 的平均速度行走 t h的路程是 8 t km；
半径为 r 的圆的面积是 πr2 ；
(3) 底面是边长为 x 的正方形，高为y的长方体的体积是_____.
下面横线上的代数式里含有加减运算吗？
只含有哪些运算？
观 察
只含有数与字母的幂的乘法运算.
x2y
观察下列的式子有什么共同特点？
8 t
πr2
x2y
数×字母
数×字母
字母×字母
注意：π是圆周率，是一个数
上面各式的运算中数字和字母之间，字母与字母之间的运算都是乘法运算(都是表示数字与字母、字母与字母的积).
6 x3 y
由数与字母及其幂的乘积组成的代数式叫作单项式
抽 象
单独一个数也可看作单项式
数字
字母
判断下列代数式是否为单项式？
x + 1
3πx2
a
6
2z
√
√
√
√
√
√
分母中含有字母的叫分式，不属于整式范围，因此不属于单项式.
练一练
判断单项式的方法：
1.单独一个数或一个字母也是单项式.
2.不含加减运算，单项式只含有乘积运算.
3.单项式中字母可能一个或多个.
4.分母中不含有字母.
6 x3 y
单项式中这个数叫作单项式的系数.
系数
单项式中所有字母的指数的和叫作单项式的次数.
6 x3 y1
次数为 3+1=4
当单项式的系数为“1”或“-1”时，“1”省略不写.
四次单项式
填表（其中 π 是圆周率）：
单项式 -1.5x4 x2 y3 –y 5xy2 πx2y 2πx
系数 -1.5 1
次数 4 2
做一做
1
3
-1
1
5
3
π
3
2π
1
1.判断下列说法是否正确:
① -7xy2的系数是7；
② -x2y3与x2没有系数；
③ -ab3c2的次数是 0＋3十2 ；
④ -a3的系数是-1 ；
⑤ -32x2y3的次数是7 ；
⑥ πr2h的系数是1 ；
⑦ 7的系数是7，次数是0次.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
×
×
×
√
×
×
√
练一练
2.（1）如果-5xym为4次单项式，则m=_______；
（2）如果-2mxny2是关于x、y的5次单项式，且系数是 4，则m=________，n=________.
3
-2
3
注意:
1.单项式表示数字与字母相乘时，通常把数字写
在字母前面.
2.单项式的系数包含符号，当系数为1或-1时，这个“1” 省略不写.
3.单项式的次数是指所有字母指数之和，而不是单个字母的指数.
4.圆周率π是数字.
5.单独一个非零数的次数是0.
说一说
右图是由一个长方形和一个半圆组成. 已知长方形的长为 x，宽为 y，半圆的直径为y.
(1) 长方形的面积为多少？
(2) 半圆的面积为多少？
(3) 由长方形和半圆组成的图形的面积为多少？
y
x
xy
y2
xy + y2
这也是单项式吗？
抽 象
几个单项式的和叫作多项式，其中的每个单项式叫作多项式的项，不含字母的项叫作常数项，次数最高的项的次数叫作这个多项式的次数.
2x3 + x2 -7x +9
项
常数项
3次
2次
1次
0次
多项式的次数为3
多项式的项要包含它前面的符号.
多项式 常数项 次数
2x3+x2-7x+9
9
3
0
2
-1
4
2x3 + x2 -7x +9
项
常数项
3次
2次
1次
0次
多项式的次数为3
1.下列代数式哪些是多项式？哪些不是多项式？
（1）x4-5x3+7x-3； （2） ；
（3） ； （4） x2 + x +1.
√
√
×
×
练一练
2.多项式x2+y-z是单项式______， ______，
______的和，它是______次______项式.
3.多项式3m3-2m-5+m2的常数项是______，
二次项是______，多项式的系数是______.
x2
y
-z
二
三
-5
m2
3
注意：(1) 多项式的各项应包括它前面的符号；
(2) 多项式没有“系数”这一概念，但每一项
均有系数，每一项的系数应包括它前面的符号；
(3) 次数最高的项的次数就是多项式的次数；
(4) 一个多项式的最高次项可以不唯一.
单项式
多项式
整式
单项式、多项式、整式三者有什么联系？
单项式与多项式统称为整式.
分别写出下列多项式的次数和常数项：
（1）2x-3； （2）-x3+7x -4；
（3）3x2 -5xy + y2-4x + 6y -9 .
例1
解 （1）2x-3 的次数是 1 ，常数项是-3 .
（2）-x3+7x -4 的次数是 3 ，常数项是-4 .
（3）3x2 -5xy + y2-4x + 6y -9 的次数是 2 ，常数项是-9 .
填空：
如果整式 xn-2 -5x+2 是关于 x 的三次三项式，那么 n 的值为______ ；
如果多项式 3x4+x3+(n+2)x2- (m -1)x+ 1不含x2和 x 项，那么 n=______，m=______；
已知 n是自然数，多项式 yn+1+3x3-2x是三次三项式，那么n可能为___________.
5
-2
1
0，
1，
2
提示：不含某项就是指这项系数为0
练一练
课堂练习
1.填表（其中 π 是圆周率）：
单项式 2 000x2 –x 4xy5 –6x4y2
系数
次数
4
2
2 000
1
-1
3
π
6
4
6
-6
【课本P77 练习第1题】
2.填空：
如果单项式 amb 的次数为 5，则m=______;
(2) 如果 0.5x4-m与 6xy2 的次数相同，则m =______;
(3) 若单项式 -2x2y1-b 是三次单项式，则b =______;
4
1
0
3.分别写出下列多项式的次数和常数项.
（1）-3x +11；
（2）- x2 + 4x -7；
（3）x3-2x2y -3x+ y2 + 5y -1；
（4）-x4+ 5x2y3 -12xy + y2-2y + 25 .
次数：1 ；常数项：11 .
次数：2 ；常数项：-7 .
次数：3 ；常数项：-1 .
次数：5 ；常数项：25 .
【课本P77 练习第2题】
4. 如图所示，用式子表示圆环的面积.当R=15cm，r =10 cm时，求圆环的面积(π 取3.14) .
解:依题意得 S圆环= S外圆-S内圆
所以S圆环= πR2 - πr2
当R=15cm，r =10 cm时，
S圆环= πR2 - πr2
=3.14×152-3.14×102
= 392.5(cm2)
答:这个圆环的面积是392.5 cm2.
1. 下列代数式中：，，，，0， ，
， ，单项式共有( )
B
A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个
2. 下列式子：，，，4，， ，
，其中是多项式的有( )
B
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
返回
3. 下列说法正确的是( )
D
A. 单项式的系数是 ，次数是2
B. 单项式 的系数为1，次数是0
C. 是二次单项式
D. 单项式的系数为 ，次数是2
返回
4. 如果是关于，的五次单项式，则， 满足
的条件是( )
B
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【点拨】因为是关于, 的五次单项式，所以
，，所以， .
返回
5. 如果一个多项式的次数是6，那么这个多项式的任何一项
的次数都( )
C
A. 小于6 B. 等于6
C. 不大于6 D. 不小于6
6. 单项式 的系数是____，次数是___.
3
返回
7.母题教材P80习题 多项式 的次
数是___，项数是___，最高次项是_______,二次项的系数是
____，常数项是____.
4
4
【点拨】确定多项式各项及各项系数时，不要漏掉前面的符号.
返回
8. 写出一个次数为3，且含有字母,
的整式：___________________.
9.若多项式是关于, 的三次多项
式，则 ______.
（答案不唯一）
0或8
返回
10.把下列各式分别填在相应的大括号里.
，，，，，0，， ，
.
整式集合：{____________________________________…}；
单项式集合：{_____________________________…}；
多项式集合：{_______…}.
，，，0，，
，，0，，
.
返回
11. 一个同时含有字母,, ,且系数为3的五次单项式共有
( )
B
A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 不能确定
12. 按一定规律排列的单项式：， ，
，，， ，第 个单项式是( )
D
A. B.
C. D.
返回
课堂小结
整式
单项式
多项式
次数
常数项
次数
系数
定义
定义
由数与字母及其幂的乘积组成的代数式叫作单项式
单项式中这个数叫作单项式的系数
单项式中所有字母的指数的和叫作单项式的次数
几个单项式的和叫作多项式.
多项式中不含字母的项叫作常数项
多项式中次数最高的项的次数叫作这个多项式的次数
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