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2.3.2合并同类项
第2章 代数式
【2024新教材】湘教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
2.3.2 合并同类项
一、知识回顾：同类项的概念
在学习合并同类项之前，我们先回顾同类项的定义。同类项是指所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项 。例如：
在式子\(3x^2y\)与\(5x^2y\)中，都含有字母\(x\)和\(y\)，且\(x\)的指数都是\(2\)，\(y\)的指数都是\(1\)，所以\(3x^2y\)与\(5x^2y\)是同类项。
再看\( - 2ab\)和\(7ab\)，它们都只含有字母\(a\)和\(b\)，\(a\)的指数都是\(1\)，\(b\)的指数也都是\(1\)，因此\( - 2ab\)与\(7ab\)也是同类项 。
需要注意的是，同类项与系数大小无关，与字母的顺序无关 。比如\(3xy\)和\( - 5yx\)，虽然字母顺序不同，但它们是同类项；\(2x^2\)和\(3x^2\)，系数不同，但依然是同类项 。同时，所有常数项都是同类项，例如\(5\)、\( - 3\)、\(0\)等，它们都可以看作是不含字母，次数为\(0\)的项，所以互为同类项。
二、合并同类项的定义
把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项 。合并同类项的目的是为了简化多项式，使多项式的表达更加简洁，便于后续的计算和分析。例如多项式\(3x^2 + 2x^2 - 5x + 3x\)，通过合并同类项，可以将其化简，从而更清晰地呈现式子的结构和特征。
三、合并同类项的法则
合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变 。可以简单概括为 “一变两不变”，“一变” 指的是同类项的系数要相加（系数相加时要注意符号，同号相加取相同符号，异号相加取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值）；“两不变” 是指字母不变以及字母的指数不变 。
例如：
对于同类项\(3x^2\)和\(5x^2\)，根据合并同类项法则，将它们的系数\(3\)和\(5\)相加，得到\(3 + 5 = 8\)，字母\(x\)及其指数\(2\)保持不变，所以\(3x^2 + 5x^2=(3 + 5)x^2 = 8x^2\) 。
再看\( - 2xy\)和\(7xy\)，系数\(-2\)与\(7\)相加，\(-2 + 7 = 5\)，字母\(x\)和\(y\)以及它们的指数都不变，因此\(-2xy + 7xy = (-2 + 7)xy = 5xy\) 。
四、合并同类项的步骤
找出同类项：仔细观察多项式中的每一项，根据同类项的定义，准确找出所有的同类项 。可以在同类项下面标注相同的符号，以便于区分和计算。例如对于多项式\(4x^2y - 3xy^2 + 2x^2y + 5xy^2\)，我们可以将\(4x^2y\)和\(2x^2y\)标注为一类，\(-3xy^2\)和\(5xy^2\)标注为另一类。
结合同类项：利用加法交换律和结合律，将同类项结合在一起 。对于上述多项式，可变形为\((4x^2y + 2x^2y)+(-3xy^2 + 5xy^2)\) 。
合并同类项：按照合并同类项的法则，将同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变，计算出结果 。即\((4 + 2)x^2y + (-3 + 5)xy^2 = 6x^2y + 2xy^2\) 。
五、典型例题讲解
例 1：合并同类项\(3a^2b - 2ab^2 + 4a^2b + 3ab^2\)
解析：
首先找出同类项，\(3a^2b\)与\(4a^2b\)是同类项，\(-2ab^2\)与\(3ab^2\)是同类项 。
然后结合同类项，得到\((3a^2b + 4a^2b)+(-2ab^2 + 3ab^2)\) 。
最后合并同类项，\((3 + 4)a^2b + (-2 + 3)ab^2 = 7a^2b + ab^2\) 。
例 2：合并同类项\(5x^2 - 3x + 7 - 2x^2 + 5x - 1\)
解析：
找出同类项，\(5x^2\)与\(-2x^2\)是同类项，\(-3x\)与\(5x\)是同类项，\(7\)与\(-1\)是同类项 。
结合同类项，\((5x^2 - 2x^2)+(-3x + 5x)+(7 - 1)\) 。
合并同类项，\((5 - 2)x^2 + (-3 + 5)x + (7 - 1)=3x^2 + 2x + 6\) 。
六、巩固练习
合并同类项：
（1）\(2x^2 + 3x^2 - 4x^2\)
（2）\(6xy - 3xy - 8xy\)
（3）\(3a^2 - 2a + 4a^2 + 7a\)
（4）\( - 5m^2n + 4mn^2 - 2m^2n - 3mn^2\)
先找出多项式\(4x^3 - 3x^2y + 5xy^2 - 2x^3 + 6x^2y - 3xy^2\)中的同类项，再进行合并同类项运算。
通过以上学习和练习，希望同学们能够熟练掌握合并同类项的方法，为整式的运算和后续的数学学习打下坚实的基础。如果在学习过程中还有疑问，欢迎随时提问。
这份资料系统讲解了合并同类项知识。你若觉得某些部分的讲解深度或案例数量不合适，或是有其他需求，欢迎随时和我说。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
情境导入
生活中的分类
思考：分类的标准是什么呢？
探索新知
说一说
在多项式 x4-3x2y+5x3+7x2y+4 中，项-3x2y与7x2y中含有的字母相同吗？
相同字母的指数也相同吗？
这两项都只含有相同的字母 x，y，
且x的指数都是2，y的指数都是1.
将下列整式进行分类：
8n
5n
-4y2x
2xy2
-3xy
6xy
x4 -3 x2 y +5 x3 +7 x2 y +4
把所含字母相同并且相同字母的指数也相同的单项式称为同类项.
非零常数也是同类项吗？
同类项的特征：
两相同
所含______相同.
相同字母的______分别相同.
两无关
两者缺一不可
与__________无关.
与__________无关.
字母
系数大小
字母顺序
所有的常数项都是同类项
指数
1.找出下面的同类项：
练一练
【课本P79 练习第1题】
2x3，
xy2，
-5x，
-7xy2，
3x，
-4x3.
0.，
2x3与-4x3是同类项；
xy2与-7xy2是同类项；
-5x与3x是同类项；
与0.是同类项.
2.下列各组中的两项是不是同类项？若不是，说明理由.
(1) xy与2xz; (2) 3xy与 -2yx;
(3) x2yz与xy2z; (4) -8xy2与 -xy;
(5) -0.3与8.
不是，字母不同
是
不是，相同字母指数不同
是
是
x4-3x2y+5x3+7x2y+4
= x4-3x2y+7x2y+5x3+4
= x4+ (-3x2y+7x2y)+5x3+4
= x4+ (-3+7 ) x2y+5x3+4
= x4+ 4x2y+5x3+4
······加法交换律
······加法结合律
一般地，在多项式中，要把同类项的系数相加合并成一项，这叫作合并同类项.
把下列多项式合并同类项：
2x3-9x3+x2-7；
-3x2y2+5xy3-7x2y2-8xy3-10 .
例 2
解： (1) 2x3-9x3+x2-7
= (2-9) x3+x2-7
= -7x3+x2-7 .
(2) -3x2y2+5xy3-7x2y2-8xy3-10
=(-3-7)x2y2 +(5-8) xy3 -10
=-10x2y2 -3xy3 -10 .
三次三项式
四次三项式
“合并同类项”的方法:
一找，找出多项式中的同类项，不同类的同类项用
不同的标记标出;
二移，利用加法的交换律，将不同类的同类项集
中到一起;
三合，将同一括号内的同类项相加即可.
系数相加，字母和字母的指数不变.
1.把下列多项式合并同类项，并指出是几次几项式：
(1) 8x3 +5x3+3x2–4x3+1；
三次三项式
练一练
(2) 2y4+4y3–5y4+3y2–6y3+4；
(3) 3x5y2–2x3y2+5x2y+7x3y2–x2y+xy.
解：(1) 8x3 +5x3+3x2–4x3+1；
= 9x3+3x2+1；
(2) 2y4+4y3–5y4+3y2–6y3+4；
= –3y4–2y3+3y2+4；
四次四项式
1.把下列多项式合并同类项，并指出是几次几项式：
(1) 8x3 +5x3+3x2–4x3+1；
练一练
(2) 2y4+4y3–5y4+3y2–6y3+4；
(3) 3x5y2–2x3y2+5x2y+7x3y2–x2y+xy.
=3x5y2+5x3y2+4x2y+xy.
七次四项式
(3) 3x5y2–2x3y2+5x2y+7x3y2–x2y+xy.
在把多项式合并同类项后，一般要把它的各项按照一定的次序排列：
把只有一个字母的多项式的各项按照该字母的指数由大到小(或由小到大)排列，称为降幂(或升幂)排列.
习惯上，把只有一个字母的多项式按降幂排列.
-x4+5x3-3x2-7x+12
12-7x-3x2+5x3-x4
降幂排列
升幂排列
习惯上，把含有多个字母的多项式按照其中某个字母进行降幂排列.
按 x 降幂排列
3x4y -5x3y2+7x2y4 -xy3+xy+y2-13
你能试着将上述式子按照 y 降幂排列？
7x2y4-xy3-5x3y2+y2+3x4y+xy-13
写出下列多项式的次数和常数项，
并指出它们是不是按x降幂排列，对于不是按x降幂排列的多项式，试着按 x 进行降幂排列:
(1) x5+x4-7x3x+10；
例 3
解 (1) x5+x4-7x3x+10 的次数是 5，常数项是 10，且是按 x 降幂排列.
写出下列多项式的次数和常数项，
并指出它们是不是按x降幂排列，对于不是按x降幂排列的多项式，试着按 x 进行降幂排列:
(2) 5x2y4-2x3y2+6xy3-7y-19 .
例 3
(2) 5x2y4-2x3y2+6xy3-7y-19 的次数是 6，常数项是 -19，它不是按 x 降幂排列，按x 降幂排列应为-2x3y2+5x2y4+6xy3-7y-19 .
1.指出下列多项式是不是按 x 降幂排列，对于不是按 x 降幂排列的多项式，按 x 进行降幂排列：
(1) x4-3x2+5x-1；
(2) x2y3-5x3y+7xy2-6y2-23；
(3) 3xy4-4x4-7x3+6x2-5x+2y-7.
练一练
是
不是
不是
(2) -5x3y+x2y3+7xy2-6y2-23
(3) -4x4-7x3+6x2+3xy4-5x+2y-7
【课本P80 练习第3题】
说一说
分别将多项式 x3-4x2+7x2-2x-5 与多项式x3+3x2-6x+4x-5 合并同类项，你会发现什么
分别将两个多项式合并同类项后，均等于x3+3x2-2x-5 .
两个多项式分别合并同类项后，如果它们的对应项系数都相等，那么称这两个多项式相等.
若多项式ax2+ bxy2-cy与多项式dx2- exy2相等，其中a，b，c，d ，e均为常数，则 a=d， b=-e，-c=0.
1.已知下列两个多项式相等，求常数a，b的值.
x3 – 5x2+3x2 – 7x+2，x3+ax2+bx+2 .
x3 – 5x2+3x2 – 7x+2
= x3 – 2x2 – 7x+2
= x3+ ax2+ bx+2
练一练
解：
所以 a= – 2，b= – 7
【课本P80 练习第4题】
课堂练习
1.下列各式中，与x2y是同类项的是（ ）
A. xy2 B. 2xy C. –x2y D. 3x2y2
C
2.若-5x2ym+3 与xn-1y是同类项，则mn的值为_______.
-8
3.下列各式运算错误的是 ( )
A.5x-2x=3x B.5ab-5ab=0
C.4x2y-5xy2=-x2y D.3x2+2x2=5x2
4.若多项式ax2+2x+3与3x2+5x2+bx+3相等，则常数a=_____;b=_____.
C
8
2
5.把下列多项式合并同类项，并指出它们分别是几次几项式.
(1) 6x4-5x4+7x2-3x4+8；
(2) 8x4y-5x3y-6x4y+2x3y+ 9xy-11.
解：(1) 6x4-5x4+7x2-3x4+8
=-2x4+7x2+8
四次三项式
(2) 8x4y-5x3y-6x4y+2x3y+ 9xy-11.
=2x4y-3x3y+ 9xy-11
五次四项式
【课本P80 练习第2题】
6.已知多项式3x3-x3+5x2-ax2+7+b与2x3-2x2+1相等，求3a+2b的值.
解：3x3-x3+5x2-ax2+7+b=2x3+(5-a) x2+(7+b)
所以5-a=-2，7+b=1
所以a=7，b=-6
即3a+2b=3×7+2×(-6) =9
1. 有下列各式，其中是同类项的有( )
与;与 ;
与;与 .
与；与
C
A. 2组 B. 3组 C. 4组 D. 5组
2. ［2025永州期末］下面计算正确的是( )
C
A. B.
C. D.
返回
3. 母题教材P81习题 若与 的和为单项式，
则 的值为( )
D
A. 0 B. 0或4 C. D. 0或
【点拨】由题意得，，解得, .
当时，；当 时，
.
返回
4. 如图，从标有单项式的四张卡片中找出所有能合并的同类
项，若它们合并后的结果为，则代数式 的值为
( )
C
A. B. 0 C. 1 D. 2
【点拨】由题意得 ，所以
.
返回
5. 若整式化简后是关于, 的三次
二项式,则 的值为( )
A
A. B. C. 8 D. 16
【点拨】
.因为
化简后是关于, 的三次二项式，
所以，,所以， ,所以
.
返回
6.母题教材P80练习 把多项式 按要
求重新排列：
（1）按 的升幂排列：______________________；
（2）按 的降幂排列：_______________________.
7.若多项式是按字母 的降幂排列
的，则 的值是_________.
2或3或4
【点拨】由题意知，且 为整数，则
的值为4或5或6，故 的值为2或3或4.
返回
8.如果多项式与
（其中,,是常数）相等，则 的值为____.
15
返回
9.合并同类项：
（1） ；
【解】原式
（2） ；
原式 .
（3）,其中 .
原式 .
返回
10. 若是一个五次多项式，是一个四次多项式，则
一定是( )
B
A. 次数不超过五次的多项式
B. 五次多项式或单项式
C. 九次多项式
D. 次数不低于五次的多项式
返回
11.定义新运算：对任意有理数，，有◎ .
如果单项式与 是同类项，多项式
的项数为，则◎ ___.
12.多项式的值与， 的取值无关，
则 的值为___.
1
返回
【点拨】因为
，
且多项式的值与，的取值无关，所以 ，
.所以， .所以
.
返回
13. 已知 ,则代数式
的值为___.
8
【点拨】
.因为，所以 .所以原式
.
返回
14.如果与是关于, 的单项式，且它们是
同类项．
（1）求 的值；
【解】因为与 是同类项，
所以，解得 .
所以 .
（2）若,且,求
的值．
当时，原式 .
因为，所以 .
所以 .
返回
15.若多项式 化简后不
含的三次项和一次项，求，的值，并求 的值.
【解】
因为该多项式化简后不含 的三次项和一次项，
所以， .
所以，.所以 .
返回
同 类 项
合并同类项
两个相同
（1）所含字母相同.
（2）相同字母的指数分别相同.
一个相加
两个不变
（1）系数相加作为结果的系数.
（2）字母与字母的指数不变.
课堂小结
谢谢观看！

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