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2.4.1去括号法则
第2章 代数式
【2024新教材】湘教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
去括号法则
一、去括号的意义
在代数式的运算和化简过程中，括号常常会阻碍运算的直接进行，去括号就是将代数式中的括号去掉，使式子变得更加简洁、便于计算和分析 。例如对于代数式\(3 + (2x - 1)\)，去掉括号后可以更清晰地看到各项之间的关系，方便进行后续的合并同类项等运算，从而得到更简洁的形式。
二、去括号法则的具体内容
（一）当括号前是 “+” 号时
把括号和它前面的 “+” 号去掉后，原括号里各项的符号都不改变 。用字母表示为：\(a + (b + c)=a + b + c\)，\(a + (b - c)=a + b - c\) 。例如：
对于\(5 + (3x + 2)\)，根据此法则，去掉括号和前面的 “+” 号后，得到\(5 + 3x + 2\)，式子中\(3x\)和\(2\)的符号都没有改变。
再如\(x + (2y - 3z)\)，去括号后为\(x + 2y - 3z\) 。
（二）当括号前是 “-” 号时
把括号和它前面的 “-” 号去掉后，原括号里各项的符号都要改变 。用字母表示为：\(a - (b + c)=a - b - c\)，\(a - (b - c)=a - b + c\) 。例如：
对于\(8 - (2x - 3)\)，去掉括号和 “-” 号后，\(2x\)的符号由 “+” 变为 “-”，\(-3\)的符号由 “-” 变为 “+”，得到\(8 - 2x + 3\) 。
又如\(m - (n - p)\)，去括号后变为\(m - n + p\) 。
（三）当括号前是数字因数时
应利用乘法分配律先将数字因数与括号内的各项分别相乘，再去括号 。用字母表示为：\(a(b + c)=ab + ac\)，\(a(b - c)=ab - ac\) 。例如：
对于\(3(2x + 1)\)，根据乘法分配律，\(3\)分别与\(2x\)和\(1\)相乘，得到\(3 2x + 3 1 = 6x + 3\) 。
再如\(-2(3x - 4)\)，先计算\(-2 3x - 2 (-4)\)，去括号后为\(-6x + 8\) 。
三、去括号法则的应用实例
（一）简单整式化简
例 1：化简\(2x + (3x - 1)\)
解析：括号前是 “+” 号，根据去括号法则，去掉括号和 “+” 号后，原括号里各项符号不变，所以\(2x + (3x - 1)=2x + 3x - 1 = 5x - 1\) 。
例 2：化简\(5 - (2x + 3)\)
解析：括号前是 “-” 号，去掉括号和 “-” 号后，原括号里各项符号改变，即\(5 - (2x + 3)=5 - 2x - 3 = 2 - 2x\) 。
（二）复杂整式化简
例 3：化简\(3(2x - 1) - 2(x + 3)\)
解析：
先根据括号前是数字因数的情况，利用乘法分配律分别去括号：\(3(2x - 1)=3 2x - 3 1 = 6x - 3\)，\(-2(x + 3)= - 2 x - 2 3 = - 2x - 6\) 。
再进行合并同类项：\(6x - 3 - 2x - 6=(6x - 2x)+(-3 - 6)=4x - 9\) 。
（三）解方程中的应用
在解方程时，去括号是常见的步骤之一。例如解方程\(2(x - 3) + 3 = 5x - 4\) 。
首先利用乘法分配律去括号：\(2x - 6 + 3 = 5x - 4\) 。
然后进行移项、合并同类项等操作求解方程：
移项得\(2x - 5x = - 4 + 6 - 3\)，
合并同类项得\(-3x = - 1\)，
系数化为\(1\)得\(x = \frac{1}{3}\) 。
四、去括号法则的易错点分析
忽略括号前的负号：当括号前是 “-” 号时，容易忘记改变原括号里各项的符号 。例如在计算\(4 - (2x - 3)\)时，错误地得到\(4 - 2x - 3\)，正确的结果应该是\(4 - 2x + 3\) 。
乘法分配律使用错误：在括号前是数字因数时，没有将数字因数与括号内的每一项都相乘 。比如计算\(2(3x + 4)\)，错误地写成\(6x + 4\)，遗漏了\(2\)与\(4\)的相乘，正确结果是\(6x + 8\) 。
多层括号去括号顺序混乱：当式子中存在多层括号时，不清楚应该从内向外还是从外向内去括号 。一般情况下，可以先去小括号，再去中括号，最后去大括号，但也可以根据式子的特点灵活选择去括号顺序 。例如对于\(2\{3[4(x - 1) + 2] + 1\}\)，可以先从最内层的小括号开始去括号，逐步化简式子。
通过以上对去括号法则的详细讲解，希望你能够熟练掌握这一重要法则，在代数式化简、方程求解等数学问题中准确运用，提高解题的效率和准确性。如果在学习过程中还有疑问，欢迎随时提问。
这份内容全面讲解了去括号法则，若你觉得某些部分案例不够丰富，或想增加其他类型的讲解，欢迎随时告诉我。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
情境导入
a+b=________.
a+b+c=________.
我们知道，有理数的加法满足加法交换律和结合律.
由于整式中的每个字母都可以表示数，
规定整式的加法满足加法交换律和结合律.
b+a
a+(b+c)
探索新知
化简：+（+2）=_____; –（+2）=_____;
+（–2）=_____; –（–2）=_____.
–2
–2
+2
+2
可以把它们看成什么？
+a=________; –a =________;
1·a
(-1) ·a
正号相对于“1” ， 负号相对于“-1”
进行整式加法运算时，如果括号前只有“+”，可以直接去掉括号，再把得到的多项式合并同类项.
+a=1·a –a =(-1) ·a
你能根据上面的结论结合分配律把下面式子的括号去掉吗？
(1) +(a+b+c)； (2) -(a-b+c)
(1) +(a+b+c)=1×(a+b+c)= a+b+c；
(2) -(a+b+c)= (-1) ×(a-b+c) = -a+b-c .
例1
计算：
(5x2-7)+ (-6x2-4)；(2) (-6x3y2+7xy3)+(9x3y2-11xy3) .
解：(1) (5x2-7)+ (-6x2-4)
=5x2-7-6x2-4
=[5+(-6)] x2+[ (-7)+(-4)]
=-x2-11 .
例1
计算：
(5x2-7)+ (-6x2-4)；(2) (-6x3y2+7xy3)+(9x3y2-11xy3) .
(2) (-6x3y2+7xy3)+(9x3y2-11xy3)
=-6x3y2+7xy3+9x3y2-11xy3
=[(-6)+9]x3y2+[7+(-11)] xy3
=3x3y2-4xy3
习惯上将最后结果按某字母进行降幂排列.
【课本P84 练习第1题】
解：(1) (-3x2+5x)+(-7x2+6x)
=-3x2+5x-7x2+6x
=-10x2+11x
(2) (3x4＋5x2-6)+(-7x4-8x2-10)
=3x4＋5x2-6-7x4-8x2-10
=-4x4-3x2-16
1.计算:
(1) (-3x2+5x)+(-7x2+6x);
(2) (3x4+5x2-6)+(-7x4-8x2-10);
(3) (-6xy+10x-2y2)+(xy+4x-3y2).
1.计算:
(1) (-3x2+5x)+(-7x2+6x);
(2) (3x4+5x2-6)+(-7x4-8x2-10);
(3) (-6xy+10x-2y2)+(xy+4x-3y2).
【课本P84 练习第1题】
(3) (-6xy+10x-2y2)+(xy+4x-3y2)
= -6xy+10x-2y2+xy+4x-3y2
= -5xy+14x-5y2
举例说明什么样的数互为相反数？
+ 3
- 3
符号相反
数字相同
做一做
计算：(4x3y2-7xy4+x+1)+(-4x3y2+7xy4-x-1)=______.
(4x3y2-7xy4+x+1)+(-4x3y2+7xy4-x-1)
= (4-4) x3y2+(-7+7) xy4+(1-1) x+(1-1)
= 0x3y2+ 0xy4+0x+0)
= 0
称 4x3y2-7xy4+x+1与-4x3y2+7xy4-x-1互为相反多项式.
0
多项式 4x3y2-7xy4+x+1的相反多项式就是把它的各项反号得到的多项式.即
-(4x3y2-7xy4+x+1)=-4x3y2+7xy4-x-1.
减去一个多项式，等于加上这个多项式的相反多项式，然后按整式的加法进行运算.
例2
计算：
(1) (3x2+5x)-(-6x2+2x-3)；
(2) (5x3y2+3x+7)-(-4x3y2+7xy4-x) .
解： (1) (3x2+5x)-(-6x2+2x-3)
= (3x2+5x)+(6x2-2x+3)
= 9x2+3x+3.
(2) (5x3y2+3x+7)-(-4x3y2+7xy4-x)
= (5x3y2+3x+7)+(4x3y2-7xy4+x)
= 9x3y2-7xy4+4x+7.
计算多项式的减法时，一般先把减法转化为加法.
1.计算:
(1) (2x+1)-(3x+5); (2) (x2-3x+6)-(x2+4x-1);
(3) (-5x+3y)-(2x-y); (4) (x4-3x2y2+y4)-(5x2y2-xy3+y4).
【课本P84 练习第2题】
解：(1) (2x+1)-(3x+5);
=(2x+1)+(-3x-5)
=-x-4
(x2-3x+6)-(x2+4x-1)
= (x2-3x+6)+(-x2-4x+1)
= -7x+7
1.计算:
(1) (2x+1)-(3x+5); (2) (x2-3x+6)-(x2+4x-1);
(3) (-5x+3y)-(2x-y); (4) (x4-3x2y2+y4)-(5x2y2-xy3+y4).
【课本P84 练习第2题】
(3) (-5x+3y)-(2x-y)
=(-5x+3y)+(-2x+y)
=-7x+4y
(4) (x4-3x2y2+y4)-(5x2y2-xy3+y4)
= (x4-3x2y2+y4)+(-5x2y2+xy3-y4)
= x4-8x2y2+xy3
去括号法则:
括号前是“+”，可以直接去掉括号，原括号里各项符号都不变;
括号前是“- ”，去掉括号和它前面的“-”时，原括号里各项符号均要改变.
做一做
填空：
(1) -(x2+x-1)=____________;
(2) -(y3-3y2+y-1)=____________.
-x2-x+1
-y3+3y2-y+1
课堂练习
1. 判断（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）2x-(3y-z)= 2x-3y-z； （ ）
（2）-(5x-3y)-(2x-y)= -5x+3y-2x+y. （ ）
×
√
2. 计算：
（1）u2-v2+(v2-w2)；
（2）(4x-2y)-(2x-y)；
（3）-(x-3)-(3x-5).
解
（1） u2-v2+(v2-w2)= u2-v2+v2-w2= u2-w2；
（2） (4x-2y)-(2x-y)= 4x-2y-2x+y= 2x –y；
（3） -(x-3)-(3x-5)= -x+3-3x+5= -4x +8.
3.求 2a2–4a+1与–3a2+2a–5的差
=2a2–4a+1+3a2–2a+5
=5a2–6a+6
解: （2a2–4a+1）–（–3a2+2a–5）
1. ［2025常德期末］下列各式与 相等的是
( )
B
A. B.
C. D.
返回
2. 下列添括号正确的是( )
C
A.
B.
C.
D.
3. 在中的 内应填的代数式为( )
C
A. B.
C. D.
返回
4. 老师设计了接力游戏,用合作的方式完成化简代数式,规则
是:每名同学只能利用前面一名同学的式子,进行一步计算,再
将结果传给下一名同学,最后解决问题.过程如图:
接力中,自己负责的一步正确的是( )
D
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
返回
5. ［2025成都月考］已知轮船在静水中的速度为 千米
/时，逆流速度为 千米/时，则顺流速度为( )
D
A. 千米/时 B. 千米/时
C. 千米/时 D. 千米/时
6.（1）已知，则 ___;
2
【点拨】 ,当
时，原式 .
返回
（2）当时，代数式 的值为
___.
2
【点拨】，当 时，原式
.
返回
7.计算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） .
原式 .
返回
8.已知 ，求
的值.
【解】因为 ，
所以， ，
解得， .
.
当， 时，
原式 .
返回
9. 有理数在数轴上的位置如图所示，则
化简后为( )
A
A. 7 B. C. D. 无法确定
【点拨】由题图知，则， .故
.
返回
10. 如图，设， 分别为天平左、右盘中物
体的质量，且， ，当
时，天平( )
B
A. 向左边倾斜
B. 向右边倾斜
C. 平衡
D. 无法判断
返回
11. 对多项式 任意加括号
后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，
例如： ,
, ,给出下列说法：
①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；
②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；
③所有的“加算操作”共有8种不同的结果.
以上说法中正确的个数为( )
D
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
返回
12.在计算 时，小明同学将括号前面的“-”
抄成了“”，得到的运算结果是，则多项式
是______________.
【点拨】根据题意得 .
返回
课堂小结
括号前是“+”号，运用加法结合律把括号去掉，原括号里各项的符号都不变.
括号前是“–”号，把括号和它前面的“–”号去掉，原括号里各项的符号都要改变.
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