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3.1 等量关系和方程
第3章 一次方程（组）
【2024新教材】湘教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
3.1 等量关系和方程
一、等量关系
（一）定义与理解
在日常生活和数学问题中，存在着各种数量之间的关系，其中有一种关系非常重要，那就是等量关系 。等量关系，简单来说，就是指数量之间具有相等的关系 。例如，在购物场景中，所购买商品的单价乘以数量，就等于需要支付的总价。若苹果单价为每千克\(10\)元，购买了\(3\)千克，那么 “\(10 3 = 30\)（元）”，这里 “单价 × 数量 = 总价” 就是一个等量关系 。再如，一个长方形的周长，等于长与宽之和的\(2\)倍，若长方形长为\(5\)厘米，宽为\(3\)厘米，“\(2 (5 + 3)=16\)（厘米）”，“长方形周长 = 2×（长 + 宽）” 便是其等量关系 。这些相等的数量关系，是我们解决实际问题和构建数学模型的关键。
（二）寻找等量关系的方法
从常见的数量关系中找：在数学和实际生活中，存在许多固定的数量关系，如路程 = 速度 × 时间、工作总量 = 工作效率 × 工作时间、利息 = 本金 × 利率 × 时间等 。例如，一辆汽车以每小时\(60\)千米的速度行驶了\(4\)小时，行驶的路程为\(60 4 = 240\)千米，这里 “路程 = 速度 × 时间” 就是我们依据的等量关系。
根据几何图形的性质找：不同的几何图形具有特定的性质和公式，这些都蕴含着等量关系。比如，正方形的面积等于边长的平方，即\(S = a^2\)（\(S\)表示面积，\(a\)表示边长）；三角形的内角和等于\(180^{\circ}\) 。若已知一个三角形其中两个角分别为\(30^{\circ}\)和\(60^{\circ}\)，根据 “三角形内角和 = 180°”，可求出第三个角为\(180 - 30 - 60 = 90^{\circ}\) 。
依据实际问题中的描述找：仔细分析题目中给出的条件和描述，提炼出其中的等量关系 。例如，“小明的年龄比小红年龄的\(2\)倍少\(3\)岁”，设小红年龄为\(x\)岁，小明年龄为\(y\)岁，那么可得到等量关系\(y = 2x - 3\) 。
二、方程
（一）方程的定义
含有未知数的等式叫做方程 。方程是表示两个数学式（如两个数、函数、量、运算）之间相等关系的一种等式，是含有未知数的等式，它使人们在解决问题时可以通过设未知数，利用等量关系列出等式，进而求解未知数 。例如\(2x + 5 = 15\)，\(x - 3y = 8\)，这些式子都含有未知数，并且是等式，所以它们都是方程 。而\(3 + 5 = 8\)，虽然是等式，但不含有未知数，不属于方程；\(2x + 3 > 7\)，含有未知数，但不是等式，也不是方程 。
（二）方程的相关概念
方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解 。例如，对于方程\(x + 3 = 5\)，当\(x = 2\)时，方程左边\(= 2 + 3 = 5\)，方程右边\(= 5\)，左边等于右边，所以\(x = 2\)就是方程\(x + 3 = 5\)的解 。
解方程：求方程的解的过程叫做解方程 。解方程的方法有很多种，如移项、合并同类项、系数化为\(1\)等 ，后续会详细学习。
（三）方程的分类
一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是\(1\)，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程 。其一般形式是\(ax + b = 0\)（\(a\)，\(b\)为常数，\(a 0\)） 。例如\(3x - 5 = 7\)，\(2x = 10\)等。
二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是\(1\)的整式方程叫做二元一次方程 。例如\(x + y = 8\)，\(2x - 3y = 1\) 。
一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是\(2\)的方程，叫做一元二次方程 ，其一般形式为\(ax^2 + bx + c = 0\)（\(a 0\)） ，如\(x^2 - 5x + 6 = 0\) 。不同类型的方程适用于解决不同的实际问题和数学问题。
（四）方程与等量关系的联系
方程是等量关系的数学表达式，我们通过寻找实际问题中的等量关系，将其中的未知量用字母表示，再根据等量关系列出方程 。例如，一个数的\(3\)倍加上\(5\)等于\(17\)，设这个数为\(x\)，根据 “一个数的\(3\)倍加上\(5\)与\(17\)相等” 这个等量关系，可列出方程\(3x + 5 = 17\) 。通过解方程，我们就能求出未知数的值，从而解决实际问题，所以等量关系是列方程的基础，方程是解决含有等量关系问题的有力工具 。
三、典型例题
（一）找出等量关系
例 1：某工厂要生产一批零件，已经生产了\(100\)个，还剩下的零件个数比已经生产的\(2\)倍少\(20\)个，求这批零件一共有多少个？
解析：
分析题目可知，存在的等量关系为：这批零件的总个数 = 已经生产的零件个数 + 剩下的零件个数 。
又因为剩下的零件个数 = 已经生产的零件个数 ×\(2 - 20\)，即剩下的零件个数 = \(100 2 - 20\) 。所以通过这两个等量关系，就可以进一步计算出这批零件的总个数 。
（二）根据等量关系列方程
例 2：小明买了\(5\)支铅笔和\(3\)本练习本，铅笔每支\(x\)元，练习本每本\(y\)元，一共花了\(10\)元，列出方程。
解析：
首先明确等量关系：买\(5\)支铅笔的费用 + 买\(3\)本练习本的费用 = 总共花费的\(10\)元 。
因为买\(5\)支铅笔的费用为\(5x\)元，买\(3\)本练习本的费用为\(3y\)元，所以根据等量关系可列出方程\(5x + 3y = 10\) 。
（三）判断方程的解
例 3：判断\(x = 3\)是否为方程\(2x - 1 = 5\)的解。
解析：
把\(x = 3\)代入方程\(2x - 1 = 5\)的左边，得到\(2 3 - 1 = 6 - 1 = 5\) 。
方程右边为\(5\)，左边等于右边，所以\(x = 3\)是方程\(2x - 1 = 5\)的解 。
通过以上对等量关系和方程的学习，我们了解了它们的概念、寻找方法以及相互联系。在实际应用中，要善于发现问题中的等量关系，准确列出方程并求解。如果还有疑问，欢迎随时交流探讨。
上述内容围绕等量关系和方程展开，若你觉得某些部分的讲解不够详细，或想增加更多练习题，欢迎提出，我们可以进一步优化。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
情境导入
《九章算术》是我国现存最古老的数学经典著作之一.
“程，课程也，群物总杂，各列有数，总言其实. 令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程.”
——刘徽
请试着列式解决下列问题：
(1) 为进一步推动全民健身，弘扬体育精神，凝聚奋进力量，某地区于今年9月举办了一次中学生篮球联赛.比赛规则为：胜一场得2分，输一场得1分. 若某校初中男子篮球队参加了14场比赛，赢了12场，问篮球队一共得了多少分？
2×12+1×(14-2)
=26
(分)
(2) 如图是一个长方体形状的包装盒示意图，长为1.2 m，宽为1 m，高为1 m，这个长方体的表面积是多少？
长方体的表面积=(长×宽+宽×高+长×高)×2
(1.2×1+1×1+1.2×1)×2
=6.8
(m )
探索新知
(1) 为进一步推动全民健身，弘扬体育精神，凝聚奋进力量，某地区于今年9月举办了一次中学生篮球联赛. 比赛规则为：胜一场得2分，输一场得1分. 若某校初中男子篮球队参加了14场比赛，共得26分. 问：其中蕴含怎样的等量关系？
思 考
胜的场数得分+输的场数得分=总得分
还有其他等量关系？
胜的场数+输的场数=总场数
设该队胜了x 场，则该队输了(14－x )场.
2x + (14－x) = 26
①
如何根据等量关系，列出相应等式？
胜的场数得分+输的场数得分=总得分
胜的场数+输的场数=总场数
(2) 如图是一个长方体形状的包装盒示意图，长为1.2 m，高为1 m，表面积为6.8 m2. 其中蕴含怎样的等量关系？
(长×宽＋宽×高＋长×高)×2=表面积
如何根据等量关系，列出相应等式？
设包装盒底面的宽是y m，则
(1.2×y+y×1+1.2×1) ×2= 6.8，
即 2.4y + 2y + 2.4= 6.8
②
2.4 y + 2 y + 2.4= 6.8
②
2 x + (14－ x) = 26
①
含有未知数的表示等量关系的等式叫作方程.
未知数
1. 一种商品打八折后售价为208元，问该商品原价是多少？设原价为x元 ，可列出方程__________.
2.小青比她妈妈小27岁，今年她妈妈的年龄正好是小青的4倍，小青今年几岁？设小青今年x岁，可列出方程_________________.
0.8x=208
x＋27=4x
练一练
① 2x+2=18
⑦ 4x-3=7
3.判断下列各式是不是方程，如果不是，请说明理由.
② 3y-1
③ 3x2-3x-1=0
④ -2x＜0
⑤ x-2y=6
⑥ a
⑧ -3=4
⑨
一个未知数，次数是1.
只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，这样的方程叫作一元一次方程。
说一说
2.4 y + 2 y + 2.4= 6.8
②
2 x + (14－ x) = 26
①
每个方程含有几个未知数？每个未知数的次数是多少？
2 x + (14－ x) = 26
2.4 y + 2 y + 2.4= 6.8
有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚.
问笼中各有多少只鸡和兔？
做一做
(1)找出上述趣题中的等量关系；
兔的只数＋鸡的只数＝35
兔的脚数＋鸡的脚数＝94
做一做
兔的只数＋鸡的只数＝35
兔的脚数＋鸡的脚数＝94
(2)适当设未知数，列出一元一次方程.
设兔有x 只，则鸡有(35－ x)只.
4x + 2(35－x) = 94
③
从而方程③变成
2x + 70=94
④
将方程③左边的多项式整理得
4x + (70－2x)=2x+70
把方程的左边和右边分别看成多项式，找到一个数，将这个数代入方程，能使左、右两边的多项式的值相等，则这个数就是方程中未知数的一个值.
如何找到一个数，使得方程 2x + 70=94
左、右两边的值相等？
议一议
根据方程中x的实际意义可知，这个数一定是正整数.
为什么x是正整数？
如何找到一个数，使得方程 2x + 70=94
左、右两边的值相等？
议一议
估计x的值 方程左边的值 与方程右边的值94比较
第1次估算
第2次估算
10
90
小了
15
100
大了
第3次估算
13
96
大了
第4次估算
12
94
相等
第5次估算
11
92
小了
如何找到一个数，使得方程 2x + 70=94
左、右两边的值相等？
议一议
经过估计并代入，只有一个数12符合条件.
对于含有一个未知数 x 的方程，若 x 用一个数 c 代入能使方程左、右两边的值相等，这个数c就是这个方程的一个解.
记作 x=c .
如何找到一个数，使得方程 2x + 70=94
左、右两边的值相等？
议一议
由上可知，12 是方程的唯一解，于是上述趣题中兔有12只，鸡有23只.
例
分别检验x的下列值是否是方程2.5x+318=1068的解.
（1）x=300； （2）x=330.
解（1）把x用300代入原方程得，
左边=2.5×300+318=1 068，
左边=右边，
所以x=300是方程2.5x+318=1 068的解.
例
分别检验x的下列值是否是方程2.5x+318=1068的解.
（1）x=300； （2）x=330.
（2）把x用330代入原方程得，
左边=2.5×330+318=1 143，
左边≠右边，
所以x=330不是方程2.5x+318=1068的解.
对于方程 2x - 6 = 7x + 4，分别检验 x = 2 和 x = -2 是不是它的解.
练一练
【课本P98 练习 第3题】
解：(1) 把x用2代入原方程得，
左边= 2×2 - 6 = -2 ，右边=7×2+4=18，
左边 ≠ 右边，
所以x =2不是方程2x - 6 = 7x + 4的解。
解：（2）把x =-2代入原方程得，
左边=2×(-2)-6 = -10 ，
右边=7×(-2)+4 = -10 ，
左边=右边，
所以x = -2是方程2x - 6 = 7x + 4的解.
【课本P98 练习 第3题】
对于方程 2x - 6 = 7x + 4，分别检验 x = 2 和 x = -2 是不是它的解.
课堂练习
1.排球场的长比宽多9 m，周长是54 m，排球场的
宽为多少？列出方程.
【课本P98 练习 第1题】
解：设排球场的宽为 x m.
(9+x +x)×2=54
2.估计方程4x+1=61的解.
【课本P98 练习 第2题】
估计x的值 方程左边的值 与方程右边的值61比较
第1次估算
第2次估算
10
41
小了
20
81
大了
第3次估算
15
61
相等
解：经过估计和代入，x=15 是方程 4x+1=61的解.
3.判断下列方程是不是一元一次方程：
（1）23 – x = –7
（2）2a – b =3
（3）y+3=6y – 9
（4）0.32m – （3+0.02m）=0.7
（5）x2 = 1
（6）
√
×
√
√
×
√
1. 下列式子中，方程的个数是( )
； ；
； ；
； .
B
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
返回
2. 按照表格中的步骤，第三次估算方程
的解时， 可以取的值是( )
与2.2比较
第一次估算 0 3 大了
第二次估算 1 小了
第三次估算
A
A. 0.1 B. 2 C. D.
返回
3.［2025长沙开福区月考］已知下列方程：
；；； ；
； .
其中属于一元一次方程的有________（填序号）.
②③⑤
返回
4. “方程”二字最早见于我国《九章算术》这
部经典著作中，该书的第八章名为“方程”.如：
从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知
数,的系数与相应的常数项，即可表示方程 ,则
表示的方程是____________.
返回
5. 请写一个未知数的系数是 ，且方程的
解是1的一元一次方程:___________________________.
（答案不唯一）
返回
6. 按如图方式做一个试管架，在 长的木板
上钻若干个半径为 的圆孔，已知相邻两个圆孔的间距为
，设木板上能钻 个圆孔，则可列方程为____________.
返回
7. 2024年巴黎奥运会上，中国代表队获
得奖牌91枚，其中银牌27枚，金牌数比铜牌数的2倍少8枚.
（1）若设中国代表队获得铜牌 枚，则可列出方程为______
________________；
（2）试判断中国代表队获得的铜牌数是不是24枚，并说明理由.
【解】是.理由如下：由（1）得 ，
当时，方程左边 方程
右边，所以是方程 的解，
所以中国代表队获得的铜牌数是24枚.
返回
8. 小亮在解方程时，由于粗心，错把 看成了
，解得，则 ( )
A
A. B. 3 C. D.
返回
9. 若是方程 的解，
则代数式 的值为( )
D
A. B. 0 C. D.
【点拨】将代入方程 ，得
，即，所以 ，所
以 .
返回
10. 两辆汽车从相距 的两地同时出发相向而行，甲车的
速度比乙车的速度快, 后两车相遇，求甲车的
速度.设甲车的速度为 ,列出的方程为( )
D
A. B.
C. D.
【点拨】已知甲车的速度是 ，则乙车的速度为
. ，根据题意得
.故选D.
返回
11. 若关于的一元一次方程
的解为，则关于 的一元一次方程
的解为( )
C
A. B.
C. D.
【点拨】设，则 可变
形为，所以，即 .观察选项，
只有 满足方程左、右两边的值相等.故选C.
返回
12.若方程是关于 的一元
一次方程，则 的值是___.
1
返回
13. “燕几”是世界上最
早的一套组合桌，全套“燕几”一共有7
张桌子，其桌面共有3种尺寸，包括2
张长桌、2张中桌和3张小桌，它们的宽都相同.7张桌面可以
拼成一个大的长方形.如图是《燕几图》中的两种桌面拼合方
式.若全套7张桌子桌面的总面积为61.25平方尺，则每张桌子
桌面的宽为多少尺？设每张桌子桌面的宽为 尺，则可列方
程为___________________________________.
返回
实际问题
一元一次方程
找等量关系
设未知数列方程
只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的方程叫做一元一次方程.
能使方程左、右两边相等的未知数的值，是这个方程的一个解.
课堂总结
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