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3.2.1等式的基本性质
第3章 一次方程（组）
【2024新教材】湘教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
等式的基本性质
在学习了等量关系和方程后，等式的基本性质是进一步理解方程求解的关键内容。等式的基本性质为我们在处理等式变形、解方程等数学问题时提供了重要的依据和方法。
一、等式基本性质 1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等
用字母表示为：若\(a = b\)，那么\(a + c = b + c\)，\(a - c = b - c\) 。这意味着，在等式两边同时加上或减去相同的数或者式子，等式依然成立。
例如，对于等式\(x = 5\)：
在等式两边同时加上\(3\)，左边变为\(x + 3\)，右边变为\(5 + 3 = 8\)，此时得到新的等式\(x + 3 = 8\) 。
在等式两边同时减去\(2\)，左边是\(x - 2\)，右边是\(5 - 2 = 3\)，新等式为\(x - 2 = 3\) 。
在解方程过程中，此性质常用于移项操作。比如解方程\(x + 3 = 7\)，为了求出\(x\)的值，我们在等式两边同时减去\(3\)，即\(x + 3 - 3 = 7 - 3\)，得到\(x = 4\) 。
二、等式基本性质 2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为\(0\)的数，结果仍相等
用字母表示为：若\(a = b\)，那么\(a c = b c\)；若\(a = b\)（\(c 0\)），那么\(\frac{a}{c} = \frac{b}{c}\) 。这里要特别注意，在等式两边除以一个数时，这个数不能为\(0\)，因为\(0\)做除数没有意义 。
例如：
对于等式\(2x = 6\)，在等式两边同时乘以\(2\)，左边变为\(2x 2 = 4x\)，右边变为\(6 2 = 12\)，得到\(4x = 12\) 。
在等式两边同时除以\(2\)，左边是\(\frac{2x}{2} = x\)，右边是\(\frac{6}{2} = 3\)，从而求出\(x = 3\) 。这一性质在解方程中常用于将未知数的系数化为\(1\) 。
三、等式基本性质的综合应用
在实际解方程时，往往需要综合运用这两条基本性质。例如解方程\(3x - 5 = 7\)：
首先，根据等式基本性质 1，在等式两边同时加上\(5\)，得到\(3x - 5 + 5 = 7 + 5\)，化简为\(3x = 12\) 。
然后，依据等式基本性质 2，在等式两边同时除以\(3\)，即\(\frac{3x}{3} = \frac{12}{3}\)，解得\(x = 4\) 。
四、易错点提醒
在使用等式基本性质 1 进行加减运算时，要确保在等式两边加上或减去的是完全相同的数或式子，不能出现一边加（减）这个数，另一边加（减）另一个数的情况 。例如，在对等式\(x + 2 = 5\)变形时，不能左边加\(3\)，右边加\(4\) 。
运用等式基本性质 2 进行乘除运算时，尤其要注意除以的数不能为\(0\) 。例如，不能对等式两边同时除以一个可能为\(0\)的未知数，如在解方程\(ax = bx\)时，不能直接在等式两边同时除以\(x\)，因为当\(x = 0\)时，这种操作是错误的，需要先进行移项等其他操作 。
等式的基本性质是数学学习中非常重要的内容，熟练掌握并正确运用这些性质，能够帮助我们准确地进行等式变形和解方程。通过大量的练习和实际应用，我们可以更好地理解和运用这些性质，提高数学解题能力。
以上详细介绍了等式的基本性质。若你希望增加更多例题，或对某些性质的讲解方式有不同想法，欢迎随时和我说。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
复习导入
性质Ⅱ 等式两边都乘同一个数，或除以
同一个不为0的数，等式两边仍然相等
（1）如果 a + 2 = b + 7 ，那么 a =________；
b + 5
（2）如果 3x = 9y，那么 x =________；
3y
在小学，已经学习了等式的基本性质，即：
性质Ⅰ 等式两边都加上或减去同一个数，
等式两边仍然相等
探索新知
（1）方程 5x=4x+2的解是多少？
思 考
设数a是方程 5x=4x+2的解，则5a=4a+2.
5a=4a+2
a= 2
两边同时减去4a
因此，2是方程5x=4x+2的唯一解.
5x=4x+2
x=2
两边都减去4x
等式的基本性质1：
等式两边都加上或减去同一个数（或整式），等式两边仍然相等.
符号语言：
∵a=b
∴a±c=b±c
(c可以为一个数或整式)
（2）方程的解是多少？
思 考
设数b是方程 的解，则 .
两边都乘3
因此，15是方程的唯一解.
x=15
两边同乘3或除以
等式的基本性质2：
等式两边都乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式两边仍然相等.
符号语言：
∵a=b
∴ac=bc 或
(其中d≠0)
填空，并说明理由.
(1)如果 x+2=y+7，那么 x =________；
(2)如果3x=9y，那么 x =________；
(3)如果-x= y，那么3x =________.
(1) 由等式的基本性质1可知，等式两边都减去2，
y+5
得 x+2-2=y+7-2
即 x = y+5 .
解：
例1
(2) 由等式的基本性质2可知，等式两边都除以3，
y+5
即 x = 3y .
3y
得 =
例1
填空，并说明理由.
(1)如果 x+2=y+7，那么 x =________；
(2)如果3x=9y，那么 x =________；
(3)如果-x= y，那么3x =________.
(3) 由等式的基本性质2可知，等式两边都乘 -6，
y+5
即 3x = -2y .
-2y
3y
得 -
例1
填空，并说明理由.
(1)如果 x+2=y+7，那么 x =________；
(2)如果3x=9y，那么 x =________；
(3)如果-x= y，那么3x =________.
请在括号中写出下列等式变形的理由.
(1)如果 x+y=2y+7，那么 x=y+7 ；
(2)如果 3x=2y，那么 x= y；
(3)如果，那么 x=2y；
(4)如果2x+3=3y -1，那么2x-6=3y-10.
练一练
【课本P102 练习 第1题】
（性质1）
（性质2）
（性质2）
（性质1）
例2
判断下列等式变形是否正确，并说明理由.
(1) 如果2m-3n=7，那么2m =7-3n；
(2) 如果 = ，那么5(2x-1)= 4(4x-2).
(1) 错误.
解：
由等式的基本性质1可知，
2m-3n+3n=7+3n
即 2m=7+3n .
等式两边都加上3n，得
例2
判断下列等式变形是否正确，并说明理由.
(1) 如果2m-3n=7，那么2m =7-3n；
(2) 如果 = ，那么5(2x-1)= 4(4x-2).
(2) 正确.
由等式的基本性质2可知，
即 5(2x-1)= 4(4x-2) .
×20 = ×20
等式两边都乘20，得
练一练
【课本P102 练习 第2题】
判断下列等式变形是否正确，并说明理由.
(1)若 x+3=y-1，则 x+3=3y-3 ；
(2)若 2x-6=4y-2，则-x+3=-2y+2.
(1)错误.
解：
由等式的基本性质2可知，
即 x+9=3y-3
(x+3)×3=(y-1)×3
练一练
【课本P102 练习 第2题】
判断下列等式变形是否正确，并说明理由.
(1)若 x+3=y-1，则 x+3=3y-3 ；
(2)若 2x-6=4y-2，则-x+3=-2y+2.
(2)错误.
由等式的基本性质2可知，
即 -x+3=-2y+1
(2x-6)×(-)=(4y-2)×(-)
课堂练习
1.若x=y，则下列各式不一定成立的是( )
(A) x-2=y-2
(B) 2-x=2-y
(C)
(D) -2x+1=-1+2y
D
【课本P102 练习 第3题】
2.下列说法中正确的是( )
(A) 若 ac=bc，则 a=b
(B) 若 ，则 a=-b
(C) 若 x-3=4，则 x=3-4
(D) 若-x=6，则 x=-2
B
3.下列等式变形正确的是 ( )
(A) xz=yz，则x=y
(B) (m-3)a=(m-3)b，则a=b
(C) 2mx=3my，则2x=3y
(D) (a2+1)x=(a2+1)y，则x=y
D
4.已知 x(m-1)= 2(m-1),其中x≠2,则m的值
为_____ .
1
1. 若等式可以变形为 ,则有( )
C
A. B.
C. D. 为任意有理数
2. ［2025衡阳月考］若 ，根据等式的性质，
不能得到的等式为( )
D
A. B.
C. D.
返回
3. 在物理学中，导体中的电流 与导体两端
的电压、导体的电阻之间有以下关系： ，将等式变
形可得 ，那么其变形的依据是_________________.
等式的基本性质2
4.下列变形：①若，则；②如果 ，那
么；③如果，那么；④如果 ，那么
；⑤如果，那么 .其中正确的是_______
_____（填序号）.
①③
④⑤
返回
5. 写出一个方程，使其满足下列条件：
（1）它是关于 的一元一次方程；
（2）该方程的解为 ；
（3）在求解过程中，至少运用一次等式的基本性质进行变
形.则该方程可以是__________________________（写出一个
满足条件的方程即可）.
（答案不唯一）
返回
6. 阅读理解题：
下面是小明将等式 进行变形的过程.
,①
,②
.③
（1）①的依据是_________________.
（2）小明出错的步骤是____（填序号），错误的原因是
____________________________________________.
等式的基本性质1
③
没有确定是否为0，就在等式的两边同时除以
（3）给出正确的解法.
【解】 ，
,
,
,
,
.
返回
7. ［2025南通月考］若且，则 的
值为( )
B
A. 5 B. C. D.
【点拨】因为，所以 ，
所以，所以 .故选B.
返回
8. 若等式可以变形为 ，则下列结
论一定成立的是( )
C
A. B. ， 互为倒数
C. D.
【点拨】因为，所以 .又因为
，所以，所以 ，所以
， 互为相反数.
返回
9. 多项式的值会随 的取值不同
而不同,下表是当取不同值时对应的多项式 的值,则
关于的方程 的解是( )
0 1
14 8 2
D
A. B.
C. D.
返回
10. 如图，用若干根相同的小木棒拼成图
形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小
木棒，拼第3个图形需要22根小木棒……若按照这样的方法
拼成的第个图形需要2 030根小木棒，则 的值为( )
B
A. 253 B. 254 C. 336 D. 337
课堂总结
等式基本性质2 等式两边都乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式两边仍然相等.
等式基本性质1 等式两边都加上或减去同一个数（或整式），等式两边仍然相等.
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