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3.2.2移项
第3章 一次方程（组）
【2024新教材】湘教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
移项
在解方程的过程中，移项是一种重要且常用的操作手段，它以等式的基本性质 1 为理论基础，通过对等式中项的位置和符号进行改变，将方程化简，从而更方便地求出方程的解。
一、移项的定义与原理
移项是指把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边 。其原理基于等式基本性质 1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等 。当我们把方程中的一项从一边移到另一边时，相当于在等式两边同时加上或减去该项的相反数，这样等式依然成立。例如，对于方程\(x + 3 = 5\)，为了求出\(x\)，我们把\( + 3\)从等号左边移到右边，变成\(-3\)，即\(x = 5 - 3\)，这是因为在等式两边同时减去\(3\)，左边\(x + 3 - 3 = x\)，右边\(5 - 3 = 2\)，等式仍然成立，从而得到\(x = 2\) 。
二、移项的具体操作
（一）一元一次方程中的移项
对于一元一次方程，移项的目的是将含有未知数的项移到等号的一边，常数项移到等号的另一边。
例 1：解方程\(3x - 5 = 7\)
分析：方程中\(-5\)在等号左边，我们要把它移到等号右边。
移项过程：根据移项规则，将\(-5\)移到等号右边变为\( + 5\)，得到\(3x = 7 + 5\) 。
后续求解：计算等号右边\(7 + 5 = 12\)，即\(3x = 12\)，再根据等式基本性质 2，在等式两边同时除以\(3\)，得到\(x = 4\) 。
例 2：解方程\(2x = 10 - 3x\)
分析：方程右边含有未知数\(-3x\)，我们要把它移到等号左边。
移项过程：将\(-3x\)移到等号左边变为\( + 3x\)，得到\(2x + 3x = 10\) 。
后续求解：合并同类项，\(2x + 3x = 5x\)，即\(5x = 10\)，两边同时除以\(5\)，解得\(x = 2\) 。
（二）含括号方程的移项
当方程中含有括号时，需要先根据去括号法则去掉括号，再进行移项操作。
例 3：解方程\(2(x - 1) + 3 = 7\)
去括号：根据乘法分配律，\(2(x - 1)=2x - 2\)，原方程变为\(2x - 2 + 3 = 7\)，即\(2x + 1 = 7\) 。
移项：把\( + 1\)移到等号右边变为\(-1\)，得到\(2x = 7 - 1\) 。
求解：计算\(7 - 1 = 6\)，即\(2x = 6\)，两边同时除以\(2\)，解得\(x = 3\) 。
三、移项的注意事项
变号规则：移项一定要改变符号，这是移项的关键，若忘记变号，会导致方程变形错误 。例如在方程\(4x + 5 = 9\)中，把\( + 5\)移到等号右边必须变为\(-5\)，得到\(4x = 9 - 5\)，而不能写成\(4x = 9 + 5\) 。
整体移项：当一项中包含多个运算时，要将这一项整体进行移项和变号 。比如方程\(3x - 2 + 5x = 10\)，若要把\(-2\)移到等号右边，应是\(3x + 5x = 10 + 2\)，不能只改变\(2\)的符号而忽略了前面的运算关系。
移项的方向：通常将含有未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边，但这不是绝对的，可根据方程的具体形式灵活选择，目的是使方程更易于求解 。例如方程\(15 = 3x + 6\)，也可以把\(3x\)移到等号左边，\(15\)移到等号右边，变为\(-3x = 6 - 15\) 。
移项是解方程的核心步骤之一，熟练掌握移项的方法和规则，对于准确求解方程至关重要。通过大量练习不同类型的方程，加深对移项的理解和运用能力，在遇到复杂方程时也能游刃有余地进行求解。如果在学习移项过程中还有疑问，欢迎随时探讨。
这份内容围绕移项展开，结合多种方程类型讲解操作方法和要点。若你觉得某些部分案例不够，或对讲解深度有新需求，欢迎随时告诉我。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
新课导入
用合并同类项进行化简:
1. 20x – 12x = ________
2. x + 7x – 5x = ________
4. 3y – 4 y –（–2y）=________
3. = ________
8x
3x
-y
y
7x-6x=-5
7x=6x-5
探索新知
利用等式的基本性质把下列方程化成 x=a 的形式：
(1) 7x=6x-5；
解:(1)在 7x = 6x-5 的两边都减去6x，得
做一做
(2) 2x+80=110.
7x-6x = 6x-5-6x
x = -5
即
7x-6x=-5
7x=6x-5
利用等式的基本性质把下列方程化成 x=a 的形式：
(1) 7x=6x-5；
(2)在方程 2x+80=110的两边都减去80，得
做一做
(2) 2x+80=110.
2x+80-80=110-80 ，
2x=30 .
即
在方程 2x=30 的两边都除以 2，得
x=15 .
2x+80=110
2x=110-80
2x+80=110
2x=110-80
7x-6x=-5
7x=6x-5
2x+80=110
2x=110-80
把方程中的某一项改变符号后，从等式的一边移到另一边，方程的这种变形叫作移项.
移项要变号
注意
正确理解移项：
(1) 所移动的是等式中的项，并且是从等号一边移到等号另一边，而不是在方程的某一边“交换”两项的位置；
(4) 移项的作用：通过移项，使等号左边仅含未知数的项，等号右边仅含常数的项，使方程更接近x=a的形式.
(2) 移项时要变号（没有移项的不变号)；
(3) 移项的依据：等式的性质1；
下面方程的移项是否正确？如有错误，请改正.
(1) 若x-4=8，则x=8-4；
(2) 若3y=2y+5，则-3y-2y=5；
(3) 若5x-2=4x+1，则5x-4x=1+2.
议一议
x=8 + 4
y=5
试一试
把方程 63 化成x=a的形式.
63
63
解：
移项
合并同类项
化系数为1
步骤
例3
把方程化成x=a的形式.
解：移项，得
合并同类项，得
两边都乘-3，得
课堂练习
利用等式的基本性质把下列方程化成x=a的形式：
5x-7=8； (2) -6x+9=-10x+1 ；
(3) 198x+201=200x+208 ； (4) x-1=3.
解:(1)移项，得 5x=8+7
合并同类项，得 5x=15
两边都除以5，得 x=3
【课本P104 练习】
(2)移项，得 -6x+10x=1-9
合并同类项，得 4x=-8
两边都除以4，得 x=-2
利用等式的基本性质把下列方程化成x=a的形式：
5x-7=8； (2) -6x+9=-10x+1 ；
(3) 198x+201=200x+208 ； (4) x-1=3.
【课本P104 练习】
(3)移项，得 198x-200x=208-201
合并同类项，得 -2x=7
两边都除以-2，得 x=-
利用等式的基本性质把下列方程化成x=a的形式：
5x-7=8； (2) -6x+9=-10x+1 ；
(3) 198x+201=200x+208 ； (4) x-1=3.
【课本P104 练习】
(4) 移项，得 x=3+1
合并同类项，得 x=4
两边都除以 ，得 x=
利用等式的基本性质把下列方程化成x=a的形式：
5x-7=8； (2) -6x+9=-10x+1 ；
(3) 198x+201=200x+208 ； (4) x-1=3.
【课本P104 练习】
1. 将方程变形得 ，其
依据是( )
C
A. 加法交换律 B. 乘法分配律
C. 等式的基本性质1 D. 等式的基本性质2
返回
2. 下列变形结果正确的是( )
D
A. 由，得
B. 由，得
C. 由，得
D. 由，得
返回
3. 下列方程中,与 的解相同的是( )
D
A. B.
C. D.
4.若与互为相反数，则 ____.
返回
5.解下列方程：
（1） ;
【解】移项，得 .
合并同类项，得 .
系数化为1，得 .
（2） .
移项，得 .
合并同类项，得 .
系数化为1，得 .
返回
6. 若与 是同类
项，则， 的值分别为( )
A
A. 2， B. ，1 C. ，2 D. ，
7. 小强在解方程“”时，将“ ”中的“-”抄
漏了，得出 ，则原方程正确的解是( )
A
A. B. C. D.
返回
8. 闹闹遇到一个有神奇魔力的“数值转换
机”，按如图所示的程序计算，若开始输入的值 为正整数，
最后输出的结果为23，则满足的 值最多有( )
B
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【点拨】根据题意知，输入，则直接输出 ，则当
时，；当时， ；当
时，.因为 为正整数，所以符合条件的一共
有2个数，分别是3，8.
返回
9. 《探寻神奇的幻方》一课的学习激起了小
杨的探索兴趣,他在如图所示的 方格内填入了一些数和
表示数的代数式.若图中各行、各列及对角线上的各数之和都
相等,则 的值为( )
0
4
C
A. B. 4 C. 6 D. 8
【点拨】依题意得， .
所以.所以 .
返回
10.［2025衡阳月考］当____时，关于 的方程
的解比 的解大2.
11. 若， 两个数满足关系式：
，则称，为“共生数对”，记作 .例如：
2，3满足，所以 是“共生数对”.若
是“共生数对”，则 __.
【点拨】由题意可得，解得 .
返回
12.已知是最小的正整数，且，， 满足
，请回答下列问题：
（1）____，___， ___.
1
5
【点拨】由题意得，， ，所以
， .
（2），，在数轴上的对应点分别为，，，若点，
分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向左运动.
①运动时，， 之间的距离为___个单位长度；
4
【点拨】运动 后，
点表示的数为 ，
点表示的数为 ，
此时，之间的距离为 个单位长度.
②运动______时，， 之间的距离为1个单位长度.
5或7
【点拨】设运动时间为 ，
当点在点左边时，，解得 ；
当点在点右边时，，解得 .
综上所述，运动或时，， 之间的距离为1个单位长度.
返回
课堂总结
把方程中的某一项改变符号后，从等式的一边移到另一边，方程的这种变形叫作移项.
移项要变号
注意
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