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3.3.1一元一次方程的解法(一)
第3章 一次方程（组）
【2024新教材】湘教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
一元一次方程的解法 (一)
在学习了去括号和去分母的知识后，我们就可以运用这些技能来求解一元一次方程。一元一次方程在实际生活和数学学习中都有着广泛的应用，掌握它的解法至关重要。接下来，我们就来系统地学习一元一次方程的解法。
一、一元一次方程的定义回顾
只含有一个未知数（元），未知数的次数都是\(1\)，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程 。其一般形式是\(ax + b = 0\)（\(a\)，\(b\)为常数，\(a 0\)） 。例如\(3x - 5 = 7\)，\(2x + 1 = 9\)等都是一元一次方程。
二、一元一次方程的解法步骤
（一）去分母（若方程中有分母）
依据：等式的基本性质 2，即等式两边乘同一个数，或除以同一个不为\(0\)的数，结果仍相等 。
方法：找出方程中各项分母的最小公倍数，然后方程两边同时乘以这个最小公倍数，将分母去掉 。例如对于方程\(\frac{x}{2} + \frac{x - 1}{3} = 1\)，分母\(2\)和\(3\)的最小公倍数是\(6\)，方程两边同时乘以\(6\)，得到\(6 \frac{x}{2} + 6 \frac{x - 1}{3} = 6 1\)，即\(3x + 2(x - 1) = 6\) 。
注意事项：
不要漏乘不含分母的项，确保方程中的每一项都乘以最小公倍数 。如在方程\(\frac{x}{3} + 2 = \frac{x + 1}{2}\)中，两边乘\(6\)后应是\(6 \frac{x}{3} + 6 2 = 6 \frac{x + 1}{2}\)，即\(2x + 12 = 3(x + 1)\)，不能忽略常数项\(2\)。
当分子是多项式时，去分母后要把分子用括号括起来 。比如方程\(\frac{2x - 1}{4} = \frac{x + 3}{5}\)，两边乘\(20\)后得到\(20 \frac{2x - 1}{4} = 20 \frac{x + 3}{5}\)，即\(5(2x - 1) = 4(x + 3)\) 。
（二）去括号（若方程中有括号）
依据：去括号法则，包括括号前是 “\(+\)” 号、“\(-\)” 号以及数字因数时的不同规则 。
方法：
当括号前是 “\(+\)” 号，把括号和它前面的 “\(+\)” 号去掉后，原括号里各项的符号都不改变 ，如\(a + (b + c)=a + b + c\)。
当括号前是 “\(-\)” 号，把括号和它前面的 “\(-\)” 号去掉后，原括号里各项的符号都要改变 ，如\(a - (b + c)=a - b - c\)。
当括号前是数字因数，利用乘法分配律先将数字因数与括号内的各项分别相乘，再去括号 ，如\(2(3x - 1)=6x - 2\) 。
示例：对于方程\(3(x - 2) + 4 = 7\)，去括号得\(3x - 6 + 4 = 7\) 。
（三）移项
依据：等式基本性质 1，等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等 。
方法：把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边 。通常将含有未知数的项移到等号左边，常数项移到等号右边 。例如对于方程\(2x + 5 = 9\)，移项后得到\(2x = 9 - 5\) 。
注意事项：移项一定要变号，不能出现一边变号另一边不变号的情况 。
（四）合并同类项
方法：根据同类项的定义，将同类项的系数相加，字母和字母的指数不变 。例如\(3x + 2x = (3 + 2)x = 5x\)，\(4 - 7 = -3\) 。
示例：方程\(4x - 3x + 2 = 5\)，合并同类项后变为\(x + 2 = 5\) 。
（五）系数化为\(1\)
依据：等式的基本性质 2。
方法：在方程两边同时除以未知数的系数，将未知数的系数化为\(1\)，从而求出方程的解 。例如对于方程\(5x = 10\)，两边同时除以\(5\)，得到\(x = \frac{10}{5} = 2\) 。
三、典型例题讲解
（一）简单方程求解
例 1：解方程\(3x - 5 = 7\)
移项：将\(-5\)移到等号右边变为\(+5\)，得到\(3x = 7 + 5\) 。
合并同类项：计算\(7 + 5 = 12\)，方程变为\(3x = 12\) 。
系数化为\(1\)：两边同时除以\(3\)，\(x = \frac{12}{3} = 4\) 。
（二）含分母方程求解
例 2：解方程\(\frac{x}{2} - \frac{x - 1}{3} = 1\)
去分母：分母\(2\)和\(3\)的最小公倍数是\(6\)，方程两边同时乘以\(6\)，得到\(6 \frac{x}{2} - 6 \frac{x - 1}{3} = 6 1\)，即\(3x - 2(x - 1) = 6\) 。
去括号：\(3x - 2x + 2 = 6\) 。
移项：\(3x - 2x = 6 - 2\) 。
合并同类项：\(x = 4\) 。
（三）含括号方程求解
例 3：解方程\(2(x + 3) - 5 = 7\)
去括号：\(2x + 6 - 5 = 7\) 。
合并同类项：\(2x + 1 = 7\) 。
移项：\(2x = 7 - 1\) 。
合并同类项：\(2x = 6\) 。
系数化为\(1\)：\(x = \frac{6}{2} = 3\) 。
通过以上对一元一次方程解法的学习和例题练习，我们对其解法步骤有了更清晰的认识。在实际解题过程中，要严格按照步骤进行，注意每一步的细节和易错点，多做练习，从而熟练掌握一元一次方程的解法。如果在学习过程中还有任何疑问，欢迎随时交流探讨。
以上从多个角度讲解了一元一次方程解法。若你觉得某些步骤讲解不够详细，或想增加更多复杂方程例题，欢迎随时告诉我，我们一起优化。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
问题导入
将方程 化成 x=a 的形式.
解：去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
两边都除以5，得
探索新知
只含有未知数x的一元一次方程转化为x=a的步骤：
这也是求方程的解的过程.
求方程的解的过程叫作解方程.
解方程：4x+3=2x-7.
解：移项，得
合并同类项，得
两边都除以2，得
检验：
把 x 用-5分别带入原方程左、右两边，得
左边的值为 4×(-5)+3=-17，
右边的值为 2×(-5)-7=-17，
从而左右两边的值相等，因此，是原方程的解.
做一做
4x-2x=-7-3
2x=-10
x=-5
除特别要求外，这个检殓过程一般不写出来.
例1
解方程：3(2x-1)=3x+1.
解 ：去括号，得 6x-3= 3x+1，
移项，得 6x-3x=1+3，
合并同类项，得 3x = 4，
两边都除以3，得 x = .
求解下列方程.
(1) 2x+(14-x)=26； (2) 2.4y+2y+2.4=6.8 .
解：(1) 去括号，得 2x+14-x=26
移项，得 2x-x=26-14
合并同类项，得 x=12
做一做
(2) 移项，得
合并同类项，得 4.44.4
两边同除以4.4，得 1
例2
解方程: .
解 ：去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
两边都除以3，得
2(x+1)+(x-1)=4，
2x+2+x-1=4，
2x+x=4-2+1，
3x=3，
x=1.
去分母时,方程两边的每一项都要乘各个分母的最小公倍数.
1.解下列方程:
4x-6=-2x-4 ； (2) -0.6x+7=1.4x-3 ；
(3) 2(2x-1)-3(4x+3)=7 ； (4) 3(4x-1)-5(-2x+1)=6x .
解 ：(1) 移项，得 4x+2x=-4+6
合并同类项，得 6x = 2
两边都除以6，得
课堂练习
【课本P108 练习 第1题】
(2) 移项，得 1.4x+0.6x=7+3
合并同类项，得 2x = 10
两边都除以2，得 x = 5
课堂练习
1.解下列方程:
4x-6=-2x-4 ； (2) -0.6x+7=1.4x-3 ；
(3) 2(2x-1)-3(4x+3)=7 ； (4) 3(4x-1)-5(-2x+1)=6x .
【课本P108 练习 第1题】
(3) 去括号，得 4x-2-12x-9=7
移项，得 12x-4x=-2-9-7
合并同类项，得 8x = -18
两边都除以8，得
课堂练习
1.解下列方程:
4x-6=-2x-4 ； (2) -0.6x+7=1.4x-3 ；
(3) 2(2x-1)-3(4x+3)=7 ； (4) 3(4x-1)-5(-2x+1)=6x .
【课本P108 练习 第1题】
(4) 去括号，得 12x-3+10x-5=6x
移项，得 12x+10x-6x=3+5
合并同类项，得 16x = 8
两边同除以16，得
课堂练习
1.解下列方程:
4x-6=-2x-4 ； (2) -0.6x+7=1.4x-3 ；
(3) 2(2x-1)-3(4x+3)=7 ； (4) 3(4x-1)-5(-2x+1)=6x .
【课本P108 练习 第1题】
2.解下列方程:
(1) ；
(2) .
解 :(1) 去分母，得 4(x+1)-3(x-2)= 36，
去括号，得 4x+4-3x+6= 36，
移项，得 4x-3x = 36-4-6，
合并同类项，得 x = 26 .
【课本P108 练习 第2题】
2.解下列方程:
(1) ；
(2) .
(2) 去分母，得 4(x+2)+5(x-6)= 160，
去括号，得 4x+8+5x-30= 160，
移项，得 4x+5x = 160+30-8，
合并同类项，得 9 x = 182，
两边都除以9，得 x = .
【课本P108 练习 第2题】
1. 下列解方程的过程中，正确的是( )
C
A. 将去分母，得
B. 将去括号，得
C. 将移项，得
D. 将的系数化为1，得
返回
2. 解方程 的步骤如图，则在每一步变
形中，依据“等式的基本性质”的有( )
D
A. ①② B. ②③
C. ③④ D. ②④
返回
3. ［2025常德期末］如果关于的方程 与方程
的解相同，那么 ( )
B
A. B. C. D.
4.解下列方程:
返回
（1） ；
【解】去中括号，得 .
去小括号，得 .
移项，得 .
合并同类项，得 .
系数化为1，得 .
（2） .
原方程变形为 ，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
系数化为1，得 .
返回
5.已知方程是关于 的一元一次方程.
（1） ___；
2
【点拨】因为方程是关于 的一元一
次方程，所以，，所以 .
（2）若上述方程①的解与关于的方程
的解互为相反数，求 的值.
【解】由（1）知，方程①为，解得 .
因为方程①的解与方程②的解互为相反数，所以方程②的解
为 .
解方程②，得，所以，所以 .
返回
6. 若单项式与的差是单项式，则关于 的方
程 的解是( )
C
A. B. C. D.
7. 定义：若，则称与是关于
的关联数.例如：若，则称与 是关于2的关联数.
若与是关于4的关联数，则 的值是( )
A
A. 0 B. 1 C. 8 D. 2
返回
8.［2025太原月考］嘉嘉同学在解关于的方程
时，由于粗心大意，误将等号左边的“”看成了“ ”，
其他解题过程均正确，从而解得方程的解为 ，则原方程
的解是______.
返回
课堂小结
解一元一次方程的基本步骤：
①去分母；
②去括号；
③移项；
④合并同类项；
⑤化系数为1.
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