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3.3.2一元一次方程的解法(二)
第3章 一次方程（组）
【2024新教材】湘教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
一元一次方程的解法 (二)
在《一元一次方程的解法（一）》中，我们学习了一元一次方程的常规解法步骤。而在实际解题过程中，还会遇到一些更为复杂的情况。这部分内容将深入探讨一元一次方程在复杂情形下的解法技巧与注意事项，帮助大家进一步提升解方程的能力。
一、含小数分母的一元一次方程解法
（一）转化思路
当方程中出现小数分母时，为了便于计算，通常依据分数的基本性质，将小数分母转化为整数分母 。具体做法是将方程中分数的分子分母同时乘以一个适当的数，使分母变为整数。
（二）示例讲解
例 1：解方程\(\frac{0.2x - 1}{0.3} = \frac{0.1x + 2}{0.2}\)
转化分母：方程中\(0.3\)和\(0.2\)，为将它们化为整数，可将方程中两个分数的分子分母同时乘以\(10\)，原方程变形为\(\frac{(0.2x - 1) 10}{0.3 10} = \frac{(0.1x + 2) 10}{0.2 10}\)，即\(\frac{2x - 10}{3} = \frac{x + 20}{2}\) 。
后续求解：按照常规步骤，先去分母，方程两边同时乘以\(6\)，得到\(2(2x - 10) = 3(x + 20)\)；再去括号，\(4x - 20 = 3x + 60\)；接着移项，\(4x - 3x = 60 + 20\)；最后合并同类项并系数化为\(1\)，解得\(x = 80\) 。
二、含多重括号的一元一次方程解法
（一）去括号策略
对于含有多重括号（如小括号、中括号、大括号）的方程，去括号的顺序一般是从内向外，先去小括号，再去中括号，最后去大括号 。在去括号过程中，每去掉一层括号，都要及时检查式子，进行同类项的合并，简化方程。
（二）示例讲解
例 2：解方程\(2\{3[4(x - 1) + 2] + 1\} = 22\)
去小括号：先计算小括号内的式子，\(4(x - 1) + 2 = 4x - 4 + 2 = 4x - 2\)，原方程变为\(2\{3[4x - 2] + 1\} = 22\) 。
去中括号：计算中括号内的式子，\(3[4x - 2] + 1 = 12x - 6 + 1 = 12x - 5\)，方程变为\(2(12x - 5) = 22\) 。
去大括号：\(24x - 10 = 22\) 。
后续求解：移项得\(24x = 22 + 10\)，合并同类项得\(24x = 32\)，系数化为\(1\)，解得\(x = \frac{4}{3}\) 。
三、需要先化简再求解的一元一次方程
（一）化简思路
有些方程在求解前，需要先对式子进行化简，如去括号后合并同类项、通分等操作，将方程化为标准的一元一次方程形式，再按照常规步骤求解 。
（二）示例讲解
例 3：解方程\(\frac{1}{2}(x + 1) - \frac{1}{3}(x - 1) = 1\)
去括号：\(\frac{1}{2}x + \frac{1}{2} - \frac{1}{3}x + \frac{1}{3} = 1\) 。
通分并合并同类项：给各项通分，\(\frac{3}{6}x + \frac{3}{6} - \frac{2}{6}x + \frac{2}{6} = 1\)，即\((\frac{3}{6}x - \frac{2}{6}x)+(\frac{3}{6} + \frac{2}{6}) = 1\)，\(\frac{1}{6}x + \frac{5}{6} = 1\) 。
后续求解：移项得\(\frac{1}{6}x = 1 - \frac{5}{6}\)，\(\frac{1}{6}x = \frac{1}{6}\)，系数化为\(1\)，解得\(x = 1\) 。
四、含绝对值的一元一次方程初步探讨
（一）解题要点
当一元一次方程中含有绝对值时，需要根据绝对值的性质，分情况讨论去掉绝对值符号，将方程转化为普通的一元一次方程进行求解 。绝对值的性质为：若\(\vert a\vert = b\)（\(b\geq0\)），则\(a = b\)或\(a = -b\)。
（二）示例讲解
例 4：解方程\(\vert x - 3\vert = 5\)
分情况讨论：
当\(x - 3\geq0\)，即\(x\geq3\)时，方程变为\(x - 3 = 5\)，移项可得\(x = 5 + 3 = 8\) 。
当\(x - 3 < 0\)，即\(x < 3\)时，方程变为\(-(x - 3) = 5\)，去括号得\(-x + 3 = 5\)，移项得\(-x = 5 - 3\)，\(-x = 2\)，系数化为\(1\)，解得\(x = -2\) 。
综上，方程\(\vert x - 3\vert = 5\)的解为\(x = 8\)或\(x = -2\) 。
通过对这些复杂类型一元一次方程的学习，我们进一步拓展了解题思路和方法。在面对实际问题时，要仔细观察方程的特点，灵活运用所学技巧进行求解。在练习过程中，如果遇到任何问题，欢迎随时交流，我们一起攻克难题，提升数学解题能力。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
探索新知
去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
两边都除以7，得
解方程： .
做一做
方程右边为什么要乘10？
5(3x-1)-2(-x+2)=10x ，
15x-5+2x-4=10x ，
15x+2x-10x=5+4 ，
7x=9，
x= .
例3
解方程: 0.2(x-2)-0.1(3x+4)=0.3(x+3).
解 ：去括号，得
移项，得
合并同类项，得
两边都除以 -0.4，得
0.2x-0.4-0.3x-0.4=0.3x+0.9 ，
0.2x-0.3x-0.3x=0.4+0.4+0.9 ，
-0.4x=1.7 ，
还有其他解法吗？
x= .
例3
解方程: 0.2(x-2)-0.1(3x+4)=0.3(x+3)
解 ：两边同乘以10，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
两边都除以-4，得
解法二：
2(x-2)-(3x+4)=3(x+3) ，
2x-4-3x-4=3x+9 ，
2x-3x-3x=9+4+4 ，
-4x=17 ，
x= .
例4
当x用什么数代入时，多项式的 的值与多项式 的值相等？
分析：本题实际是求一个使 与 的值相等的未知数x的值.
=
即要解方程
例4
= .
解：由题意可知，要解方程：
去分母，得
去括号，得
移项、合并同类项，得
4(x-10)=3x-8 ，
4x-40=3x-8 ，
x=32 .
故当x用32代入时，多项式的的值与多项式的值相等.
当x用什么数代入时，多项式的 的值与多项式 的值相等？
做一做
结合上述例题，总结解一元一次方程的基本步骤.
解一元一次方程的基本步骤:
一元一次方程
ax=b(a、b是常数，a≠0)
①去分母
②去括号
③移项
④合并同类项
⑤化系数为1
x=
课堂练习
解：(1)去分母，得
去括号，得
移项，得
1. 解下列方程:
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) 50%(3x-1)-20%(-x+2)=x .
10x-3(3x-1)=6
10x-9x+3=6
x=3
【课本P109 练习 第1题】
2(2x+1) +7 (x-1)=28
4x+2+7x-7=28
x=3
(2) 去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
两边都除以11，得
4x+7x=28-2+7
11x=33
1. 解下列方程:
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) 50%(3x-1)-20%(-x+2)=x .
【课本P109 练习 第1题】
(3) 去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
两边都除以，得
4(2x-1)-3(5x+1) =24
8x-4-15x-3 =24
8x-15x =24+4+3
-7x =31
x =
1. 解下列方程:
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) 50%(3x-1)-20%(-x+2)=x .
【课本P109 练习 第1题】
15x-5+2x-4=10x
(4) 去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
两边都除以7，得
5(3x-1)-2(-x+2)=10x
15x+2x-10x=4+5
7x=9
x =
1. 解下列方程:
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) 50%(3x-1)-20%(-x+2)=x .
【课本P109 练习 第1题】
2.当x用什么数代入时，多项式的值与多项式3x-1的值相等？
解：由题意可知，要解方程：
去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
两边都除以11，得
故当用x=代入时，多项式的值与多项式3x-1的值相等.
2(2x-3)+10=5(3x-1)
4x-6+10=15x-5
15x-4x=5+10-6
11x=9
x=
【课本P109 练习 第2题】
1.请将下列解方程 的过程补充完整.
解：原方程可变形为 .
①________，得 .
去括号，得②_____________________.
③______，得④_____________________.（⑤_____________
______）
合并同类项，得⑥__________.
去分母
移项
等式的基本
性质1
系数化为1，得⑦_________.（⑧_________________）
（其中①③填写变形步骤名称，②④⑥⑦填写变形结果，⑤
⑧填写变形依据）
等式的基本性质2
返回
2.若代数式的值比的值大1，则 的值为___.
3.若与互为相反数，则 ____.
2
返回
4.解方程：
（1） ;
【解】整理，得 ,
去分母，得 ,
去括号，得 ,
移项，得 ,
合并同类项，得 .
（2） ;
去分母，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
两边同除以，得 .
（3） .
在方程两边都乘3，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
两边同除以4，得 .
返回
5. 若关于的方程 的解是负整数，
且关于的多项式 是二次三项式，那么所
有满足条件的整数 的值的和是( )
B
A. B. C. D.
【点拨】由，得 .因为方程的
解是负整数，所以或或 .因为多项式
是二次三项式，所以 解得
且，所以满足条件的整数的值为或 ，所
以所有满足条件的整数的值的和为 .
返回
6.有一列方程：
第1个方程是,解为 ;
第2个方程是,解为 ;
第3个方程是,解为 ;
第4个方程是,解为 ;
……
根据以上规律，若第个方程的解为,则
的值为____.
61
返回
7.［2025衡阳月考］已知表示有理数, 的点在数轴上的位置
如图，且,则关于的方程 的
解为 __.
返回
8.已知的取值与代数式 的对应值如表：
… 0 1 2 3 …
… 9 7 5 3 1 …
根据表中信息，得出了如下结论：;②关于 的方程
的解是;; 的值随着
值的增大而减小，其中正确的是________（填序号）.
①②④
课堂小结
解一元一次方程的基本步骤:
一元一次方程
ax=b(a、b是常数，a≠0)
①去分母
②去括号
③移项
④合并同类项
⑤化系数为1
x=
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