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3.4.1一元一次方程的应用（一）
第3章 一次方程（组）
【2024新教材】湘教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
一元一次方程的应用（一）
在掌握了一元一次方程的解法后，我们要学会运用它去解决实际生活中各种各样的问题。一元一次方程作为有力的数学工具，能帮助我们将实际问题转化为数学模型，通过求解方程得到问题的答案。接下来，我们从常见的实际问题类型入手，学习如何运用一元一次方程解决问题。
一、和差倍分问题
（一）问题特点
这类问题通常涉及数量之间的和、差、倍数、分数关系 。例如，已知两个数的和是多少，其中一个数比另一个数多（或少）几，或者一个数是另一个数的几倍（或几分之几）等。
（二）解题关键
准确找出题目中的数量关系，设出合适的未知数，一般设较小的数为\(x\)，再根据和差倍分关系表示出其他相关数量，进而列出方程 。
（三）示例讲解
例 1：学校图书馆里，故事书和科技书一共有\(320\)本，其中故事书的数量是科技书数量的\(3\)倍。求故事书和科技书各有多少本？
分析：设科技书有\(x\)本，因为故事书的数量是科技书数量的\(3\)倍，所以故事书有\(3x\)本。题目中的等量关系是：故事书的数量 + 科技书的数量 = 总数量\(320\)本。
列方程：根据等量关系可列出方程\(x + 3x = 320\) 。
解方程：合并同类项得\(4x = 320\)，系数化为\(1\)，两边同时除以\(4\)，解得\(x = 80\) 。
求出答案：因为设的科技书有\(x\)本，所以科技书有\(80\)本；故事书有\(3x = 3 80 = 240\)本。
检验：将\(x = 80\)代入原方程，左边\(= 80 + 3 80 = 80 + 240 = 320\)，右边\(= 320\)，左边等于右边，所以\(x = 80\)是原方程的解，且符合实际问题。
二、行程问题
（一）基本公式
行程问题主要涉及路程、速度和时间三个量，它们之间的关系为：路程 = 速度 × 时间，速度 = 路程 ÷ 时间，时间 = 路程 ÷ 速度 。
（二）常见类型及解题要点
相遇问题：两人或两车相向而行，相遇时，两人或两车所走的路程之和等于总路程 。设未知数时，可设其中一个物体的运动时间或速度为\(x\)，再根据路程公式表示出其他相关路程，根据路程和的等量关系列方程。
追及问题：两人或两车同向而行，快的追上慢的时，快的比慢的多走的路程等于开始时两人或两车之间的距离 。同样合理设未知数，依据路程差的等量关系列出方程。
（三）示例讲解
例 2：甲、乙两人同时从相距\(1000\)米的两地相向而行，甲每分钟走\(60\)米，乙每分钟走\(40\)米，经过多少分钟两人相遇？
分析：设经过\(x\)分钟两人相遇。甲走的路程为\(60x\)米，乙走的路程为\(40x\)米，等量关系是：甲走的路程 + 乙走的路程 = 两地的距离\(1000\)米。
列方程：\(60x + 40x = 1000\) 。
解方程：合并同类项得\(100x = 1000\)，系数化为\(1\)，解得\(x = 10\) 。
检验与作答：将\(x = 10\)代入原方程，左边\(= 60 10 + 40 10 = 600 + 400 = 1000\)，右边\(= 1000\)，左边等于右边，所以\(x = 10\)是原方程的解，即经过\(10\)分钟两人相遇。
三、工程问题
（一）基本概念
工程问题中，通常把工作总量看作单位 “\(1\)”，工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间 。如果一个人完成一项工作需要\(n\)天，那么他的工作效率就是\(\frac{1}{n}\)。
（二）解题关键
找到各部分工作量与工作总量之间的关系，根据 “工作总量 = 各部分工作量之和” 列出方程 。设未知数时，可设工作时间或工作效率为\(x\)。
（三）示例讲解
例 3：一项工程，甲单独做需要\(10\)天完成，乙单独做需要\(15\)天完成。现在甲、乙两人合作，需要多少天完成这项工程？
分析：设甲、乙两人合作需要\(x\)天完成这项工程。甲的工作效率是\(\frac{1}{10}\)，乙的工作效率是\(\frac{1}{15}\)，甲\(x\)天的工作量为\(\frac{1}{10}x\)，乙\(x\)天的工作量为\(\frac{1}{15}x\)，等量关系是：甲的工作量 + 乙的工作量 = 工作总量\(1\)。
列方程：\(\frac{1}{10}x + \frac{1}{15}x = 1\) 。
解方程：先通分，\(\frac{3}{30}x + \frac{2}{30}x = 1\)，合并同类项得\(\frac{5}{30}x = 1\)，即\(\frac{1}{6}x = 1\)，系数化为\(1\)，解得\(x = 6\) 。
检验与作答：将\(x = 6\)代入原方程，左边\(= \frac{1}{10} 6 + \frac{1}{15} 6 = \frac{6}{10} + \frac{6}{15} = \frac{3}{5} + \frac{2}{5} = 1\)，右边\(= 1\)，左边等于右边，所以\(x = 6\)是原方程的解，即甲、乙两人合作需要\(6\)天完成这项工程。
通过以上几种常见类型问题的学习，我们了解了运用一元一次方程解决实际问题的一般思路和方法。在实际解题过程中，要认真分析题目，找准等量关系，正确列出并求解方程，最后记得检验答案是否符合实际情况。后续我们还会学习更多类型的一元一次方程应用问题，不断提升解决实际问题的能力。
上述内容从多类常见问题出发，讲解一元一次方程的应用。若你想增加某类问题的案例，或对讲解方式有新想法，欢迎随时和我说。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
新课导入
一元一次方程是一种重要的数学模型. 利用等量关系建立一元一次方程，可以帮助我们解决一些实际问题.
探索新知
一艘轮船在甲、乙两个码头之间航行，顺水航行时需4h，逆水航行时需5h. 已知水流速度为2km/h，则轮船在静水中的航行速度是多少？
思 考
小知识
轮船顺水航行的速度=轮船在静水中的航行速度+水流速度；
轮船逆水航行的速度=轮船在静水中的航行速度 – 水流速度.
设轮船在静水中的航行速度为x km/h ，
则
轮船顺水航行的速度为_______ km/h，
逆水航行的速度为_______ km/h.
(x+2)
(x-2)
轮船顺水航行的路程=轮船逆水航行的路程
在航行过程中，你还能找到什么等量关系？
设轮船在静水中的航行速度为x km/h ，则
轮船顺水航行的速度为(x+2)km/h，
逆水航行的速度为(x-2) km/h.
甲
乙
顺水航行
逆水航行
甲
乙
顺水航行
逆水航行
轮船顺水航行的路程=轮船逆水航行的路程
4h
5h
(x+2)km/h
(x-2)km/h
4(x+2)
5(x-2)
=
解得
x=18 .
因此，轮船在静水中的航行速度为18 km/h .
解:设经过 x min，两人首次相遇.
根据题意，得 350x+250x=400
解得 x=
答:经过 min，两人首次相遇.
1.运动场的跑道一圈长400 m. 小健练习骑自行车，平均每分钟骑350 m；小康练习跑步，平均每分钟跑250 m.两人从同一处同时反向出发，经过多少时间首次相遇
练一练
例1
某房间里有4条腿的椅子和3条腿的凳子共16把，如果椅子腿数与凳子腿数的和为60，试问：有几张椅子和几把凳子？
分析：题目中的等量关系：
椅子数＋凳子数＝16，
椅子腿数＋凳子腿数＝60 .
例1
某房间里有4条腿的椅子和3条腿的凳子共16把，如果椅子腿数与凳子腿数的和为60，试问：有几张椅子和几把凳子？
解：设有x张椅子，则有(16-x)把凳子.
根据题意，得
4x+3(16-x)=60 .
解得 x=12 .
因此，凳子有 16-12=4 (把) .
答：有12张椅子，4把凳子.
1.儿子今年13岁，父亲今年40岁，是否有哪一年父亲的年龄恰好是儿子年龄的四倍？为什么？
解：设 x 年后父亲的年龄恰好是儿子年龄的4倍.
根据题意，得
4（13 + x）= 40 + x.
解得 x = – 4.
即 4 年前父亲的年龄恰好是儿子年龄的4倍.
练一练
刺绣是我国民间传统手工艺之一. 我国刺绣主要有湘绣、苏绣、蜀绣、粤绣四大类. 若刺绣一件作品，甲单独绣需要15天才能完成，乙单独绣需要12天才能完成. 现在甲先单独绣1天，接着乙又单独绣4天，剩下的工作由甲、乙两人合绣. 试问：再合绣多少天可以完成这件作品？
分析：设总工作量为1，则甲每天完成工作总量的，乙每天完成工作总量的. 若设甲、乙两人合绣了x天，则甲共绣了(x+1) 天，乙共绣了(x+4) 天.
例2
题中有什么等量关系？
甲完成的工作量+乙完成的工作量=总工作量
刺绣是我国民间传统手工艺之一. 我国刺绣主要有湘绣、苏绣、蜀绣、粤绣四大类. 若刺绣一件作品，甲单独绣需要15天才能完成，乙单独绣需要12天才能完成. 现在甲先单独绣1天，接着乙又单独绣4天，剩下的工作由甲、乙两人合绣. 试问：再合绣多少天可以完成这件作品？
例2
解：设剩下的工作由甲、乙两人合绣 x 天可以完成，
则根据题意，得
解得 x=4 .
答：甲、乙两人再合绣4天就可以完成这件作品.
甲完成的工作量+乙完成的工作量=总工作量
一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天. 如果由这两个工程队从两端同时施工，要多少天可以铺好这条管线
练一练
用流程图总结用一元一次方程解决有关实际问题的具体步骤：
实际问题
分析问题
找出等量关系
设出未知数
列出方程
检验解的合理性
解方程
做一做
这一过程一般包括以下几个步骤：
1. 审：审题，分析题目中的数量关系；
2. 设：设适当的未知数，并表示未知量；
3. 列：根据题目中的数量关系列方程；
4. 解：解这个方程；
5. 答：检验并作答.
课堂练习
【课本P113 练习 第1题】
1. (1) 一个长方形的周长是60cm，且长比宽多5cm，求该长方形的长；
解：(1) 设长方形的长为 x cm，则宽为(x-5)cm.
根据题意，得
2x+2(x-5)=60
解得 x=12.5
答：该长方形的长为12.5 cm.
解：(2) 设长方形的宽为x cm，则长为 cm.
根据题意，得
2x+2× =60
解得 x=12
答：该长方形的宽为12 cm.
【课本P113 练习 第1题】
1. (2) 一个长方形的周长是60cm，且长与宽的比是3:2，求该长方形的宽.
2. 足球比赛的记分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分. 某队在某次比赛中共踢14场球，负了5场，共得19分. 问：该队共胜多少场？
解：设该队共胜x场，则平了(14-5-x) 场.
根据题意，得
3x+(14-5-x)=19
解得 x=5
答：该队共胜5场.
【课本P113 练习 第2题】
应用1 顺逆流问题
1.母题教材P111思考 有甲、乙两艘船，现同时由A地顺流而
下，乙船到B地时接到通知，须立即逆流而上到达C地执行任
务，甲船继续顺流航行.已知甲、乙两船在静水中的速度都是
，水流速度为 ，A，C两地间的距离为
.如果乙船由A地经B地再到达C地共用了 .问：乙船
从B地到达C地时，甲船距离B地有多远？
【解】设乙船由B地航行到C地用了 .
①若C地在A，B两地之间，根据A地到B地的距离地到 地
的距离 ，C两地之间的距离，得
，解得 .
所以甲船距离B地
②若C地不在A，B两地之间，根据B地到C地的距离 地到B
地的距离 ，C两地之间的距离，得
，
解得 .
所以甲船距离B地
答：乙船从B地到达C地时，甲船距离B地或 .
航行问题的基本等量关系：①顺水速度 静水速度
水流速度；②逆水速度 静水速度-水流速度；③顺水速度-
逆水速度水流速度 .此题C地可能在A，B两地之间，也
可能不在A，B两地之间，所以应分两种情况讨论.
. .
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应用2 配套问题
2. 第13周七年级语文学科活动超精彩，操场
上像欢腾的海洋呢 班和9班负责投壶游戏，彦宏妈妈、语晗妈妈等
家长为准备道具花费了不少心思.已知1个投壶和6支羽箭配成一套道具，
其中一个投壶15元，每支羽箭3元，两班在投壶道具上的经费是132元，
请问如何分配经费才能使购买的道具刚好配套？设用 元购买投壶，下
面所列方程正确的是 ( )
C
A. B.
C. D.
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3. 湖南是著名的“吃货大省”，小明来到湖南
游玩并品尝湖南美食，臭豆腐是长沙的特色名小吃.某厂有60
名工人生产包装臭豆腐料包，已知每袋臭豆腐包装里有1个
汤料包和4个配料包，每名工人每小时可以加工100个汤料包
或者200个配料包，为使每天加工生产出的汤料包和配料包
刚好配套，请问安排多少名工人去加工汤料包？
【解】设安排名工人去加工汤料包，则安排 名工人
去加工配料包，
根据题意，得 ，
解得 .
答：安排20名工人去加工汤料包.
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应用3 工程问题
4. 问题：师徒二人检修管道，____，求师
傅与徒弟每小时各检修多长的管道.
条件：①该管道长 ；
②师傅每小时比徒弟多检修 ；
③若两人从管道两端同时开始检修，则 后完成任务；
④若师傅先检修，则两人再一起检修 后完成任务.
在上述4个条件中选择3个条件，并完成解答.（写一种即可）
【解】（答案不唯一，写一种即可）
当选择①②③时，
设师傅每小时检修，则徒弟每小时检修 ，
由题意，得 ，
解得，所以 .
答：师傅每小时检修，徒弟每小时检修 .
当选择①②④时，
设师傅每小时检修，则徒弟每小时检修 ，
由题意，得 ，
解得，所以 .
答：师傅每小时检修，徒弟每小时检修 .
当选择②③④时，
设师傅每小时检修，则徒弟每小时检修 ，
由题意，得 ，
解得，所以 .
答：师傅每小时检修，徒弟每小时检修 .
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课堂小结
用一元一次方程解决有关实际问题的步骤：
实际问题
分析问题
找出等量关系
设出未知数
列出方程
检验解的合理性
解方程
谢谢观看！

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