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3.6.1 代入消元法
第3章 一次方程（组）
【2024新教材】湘教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
3.5 认识二元一次方程组
在前面的学习中，我们已经掌握了一元一次方程及其应用，能够解决许多实际问题。但在实际生活里，有些问题仅用一个未知数难以描述和解决，这时就需要引入多个未知数，从而引出了二元一次方程组。接下来，我们就深入认识一下二元一次方程组。
一、二元一次方程的概念
（一）定义
含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是\(1\)的整式方程叫做二元一次方程 。例如\(x + y = 8\)，方程中含有\(x\)和\(y\)两个未知数，\(x\)和\(y\)的次数都是\(1\)，且等号两边都是整式，所以它是二元一次方程；再如\(2x - 3y = 1\)，同样满足含有两个未知数、未知数项次数为\(1\)以及整式方程这几个条件，也属于二元一次方程。
（二）一般形式
二元一次方程的一般形式为\(ax + by = c\)（\(a\)、\(b\)、\(c\)是常数，\(a 0\)，\(b 0\)） 。这里\(a\)、\(b\)分别是\(x\)、\(y\)的系数，\(c\)是常数项。例如在方程\(3x + 2y = 5\)中，\(a = 3\)，\(b = 2\)，\(c = 5\) 。
（三）解的概念
使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解 。二元一次方程的解通常用大括号联立表示，如对于方程\(x + y = 5\)，\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 3 \end{cases}\)就是它的一组解，因为把\(x = 2\)，\(y = 3\)代入方程左边得到\(2 + 3 = 5\)，与右边相等；同时\(\begin{cases}x = 1 \\ y = 4 \end{cases}\)，\(\begin{cases}x = 0 \\ y = 5 \end{cases}\)等也都是该方程的解 。不同于一元一次方程一般只有一个解，二元一次方程有无数组解，因为只要满足方程等式关系的两个未知数的值都可以作为它的解 。
二、二元一次方程组的概念
（一）定义
由两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组 。例如\(\begin{cases}x + y = 7 \\ 2x - y = 1 \end{cases}\)，这个方程组由两个二元一次方程构成，所以是二元一次方程组；再如\(\begin{cases}3x + 2y = 10 \\ x = 2y \end{cases}\)，其中\(x = 2y\)可变形为\(x - 2y = 0\)，也满足两个二元一次方程的条件，同样是二元一次方程组 。需要注意的是，方程组中两个方程的未知数必须是相同的 。
（二）解的概念
二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解 。也就是说，这个解既要满足方程组中的第一个方程，又要满足第二个方程 。例如对于方程组\(\begin{cases}x + y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases}\)，\(\begin{cases}x = 2 \\ y = 3 \end{cases}\)就是它的解，因为把\(x = 2\)，\(y = 3\)代入\(x + y = 5\)中，\(2 + 3 = 5\)成立；代入\(2x - y = 1\)中，\(2 2 - 3 = 1\)也成立 。二元一次方程组一般有唯一一组解，但在特殊情况下，也可能无解或有无数组解 。
三、二元一次方程与二元一次方程组的区别和联系
（一）区别
方程个数：二元一次方程是单个方程，而二元一次方程组是由两个方程组成 。
解的个数：二元一次方程有无数组解，二元一次方程组一般有唯一一组解（特殊情况除外） 。
（二）联系
二元一次方程组中的每个方程都是二元一次方程；二元一次方程组的解同时是组成该方程组的两个二元一次方程的解 。
四、列二元一次方程组解决实际问题
（一）解题步骤
审题：仔细阅读题目，理解题意，找出题目中的已知条件和所求问题 。
设未知数：设出两个未知数，一般用\(x\)、\(y\)表示 。
找等量关系：根据题目中的条件，找出两个不同的等量关系 。
列方程组：依据等量关系，列出两个二元一次方程，组成二元一次方程组 。
求解方程组：后续会学习具体的求解方法（如代入消元法、加减消元法等）。
检验作答：将求出的解代入原方程组，检验是否满足两个方程，然后根据实际问题作答 。
（二）示例讲解
例：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得\(2\)分，负一场得\(1\)分。某队为了争取较好名次，想在全部\(22\)场比赛中得到\(40\)分，那么这个队胜负场数应分别是多少？
分析：设这个队胜\(x\)场，负\(y\)场。题目中的等量关系为：胜的场数 + 负的场数 = 总场数\(22\)场；胜场得分 + 负场得分 = 总得分\(40\)分 。
列方程组：根据等量关系可列出\(\begin{cases}x + y = 22 \\ 2x + y = 40 \end{cases}\) 。
通过以上对二元一次方程组的学习，我们了解了它的相关概念、与二元一次方程的关系以及列方程组解决实际问题的基本步骤。后续我们还会深入学习二元一次方程组的求解方法，从而更好地运用它解决各种实际问题。如果在学习过程中有任何疑问，欢迎随时交流探讨。
这份内容系统介绍了二元一次方程组相关知识。若你觉得某些概念讲解不够清晰，或想增加更多实例，欢迎随时提出，我们共同优化。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
复习导入
1.将方程x-2y=5表示成用含y的代数式表示x，
即___________.
2.若x+3y=3，则2x+6y-5=_______.
3.在上节课中，我们列出二元一次方程组并知道是这个方程组的一个解，这个解是怎样得到的呢？
x=2y+5
1
探索新知
将二元一次方程组中的方程①变形为
再把y的表达式③代入方程②中，得到一元一次方程：
4x+2(35-x)=94 .
思 考
比较：一元一次方程 4x+2(35-x)=94
与二元一次方程组 有什么联系？
①
②
③
y=35-x
4x+2(35-x)=94
解得 x=12 .
①
②
③
y=35-x
将x用12代入③式，得 y=35-12=23 .
经检验，是由方程①和②组成的二元一次方程组的解.
把其中一个方程的某一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，然后把这个代数式代入另一个方程中，便消去了一个未知数，得到一个一元一次方程.
多元
一元
核心思想
解这个一元一次方程求出其中一个未知数的值，再把求出的未知数的值代入前面的代数式中，就可以求出另一个未知数的值.
这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法.
消元
例1
解二元一次方程组：
①
②
解：将方程①移项，得
两边都除以2，得
把③式代入方程②中，得
解得
把y用1代入③式，得
因此，是原二元一次方程组的解.
2x=4y ，
③
x=2y .
5×2y-7y=3 ，
y=1 .
x=2 .
做一做
用消去未知数y的方法求出例1方程组的解.
①
②
解：将方程①移项，得
两边都除以4，得
把④式代入方程②中，得
解得
把x用2代入③式，得
因此，是原二元一次方程组的解.
4y=2x ，
5x-7x=3 ，
y=x .
④
x=2 .
y=1 .
消哪个未知数简单一点？
解二元一次方程组：
解：将方程①移项、两边都除以2，得
把③式代入方程②中，得
解得
把y用3代入③式，得
因此， 是原二元一次方程组的解.
例2
y=3 .
x=4 .
③
x=y- .
3(y-)+2y=18 ，
代入消元法解方程组的一般步骤：
①选择其中一个方程，用含有一个未知数的式子表示另一个未知数；
②把变形后的方程代入另一个方程中，消元后求出未知数的值；
③把求得的未知数的值代入到变形的方程中，求出另一个未知数的值；
④写出方程组的解.
课堂练习
1.把下列方程改写成为用含x的代数式表示y的形式.
(1) 2x-y=-1 ； (2) x+2y-2=0 .
解：(1)
2x-(-1)=y
y=2x+1
(2) 2y=2-x
y=-x+1
2.用代入消元法解下列二元一次方程组：
(1) (2)
解：(1)将方程①移项，得
将③式代入②式，得
解得
将x的值代入③式，得
因此， 是原二元一次方程组的解.
①
②
x=5 .
y=-3 .
2x-5×(12-3x)=25 .
③
y=12-3x
【课本P122 练习】
2.用代入消元法解下列二元一次方程组：
(1) (2)
(2)将方程②移项，得
将③式代入①式，得
解得
将x的值代入③式，得
因此， 是原二元一次方程组的解.
①
②
x=1 .
y=1 .
3x+2×(2x-1)=5 .
③
y=2x-1
【课本P122 练习】
2.用代入消元法解下列二元一次方程组：
(3) (4)
(3)将方程②移项，得
将③式代入①式，得
解得
将y的值代入③式，得
因此， 是二元一次方程组的解.
①
②
y=-
x=- .
3×(-3-5y) -7y=1
③
x= -3-5y
【课本P122 练习】
(4)将方程①移项，得
将③式代入②式，得
解得
将x的值代入③式，得
因此， 是二元一次方程组的解.
x=
y=-
-2x+3×(1-5x)=-34 .
③
y=1-5x
2.用代入消元法解下列二元一次方程组：
(3) (4)
①
②
【课本P122 练习】
1. 用代入消元法解方程组时，消去,得到关于
的方程是( )
A
A. B.
C. D.
返回
2. 已知，满足方程组则， 恒有的关系式是
( )
A. B.
C. D.
C
返回
3. ［2025郴州期末］如果
，那么与 的值分别为
( )
D
A. B.
C. D.
返回
4. 下面是小颖同学解方程组
的过程：
解：由①，得 ，③第一步
把③代入①，得 ，第二步
即 ，第三步
所以此方程组无解.第四步
其中，开始出现错误的是第____步.
二
返回
5. 下面是小明同学解方程组
的过程的框图表示，请你帮他补充完整：
其中，①为______，②为_______，③为_______.
代入
消去
解得
返回
6.用代入消元法解下列方程组：
（1）
【解】由①得 ,③
将③代入②，得，解得 .
把代入③，解得 .
所以 是原方程组的解.
（2）
整理，得
由①，得 ，③
把③代入②，得，解得 .
把代入③，得.所以 是原方程组的解.
返回
7. 定义一种新运算“ ”，规定
，其中，为常数，且 ，
，则 ( )
B
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【点拨】因为，且， ，
所以解得所以 .所以
.
返回
8. 符号|，●各代表一个数，且满足以下两个等式：|-●
，4（|-●）●，则满足等式的 的值
为( )
D
A. 50.4 B. 40.4
C. 30.4 D. 20.4
课堂总结
代入消元法解方程组的一般步骤：
①选择其中一个方程，用含有一个未知数的式子表示另一个未知数；
②把变形后的方程代入另一个方程中，消元后求出未知数的值；
③把求得的未知数的值代入到变形的方程中，求出另一个未知数的值；
④写出方程组的解.
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