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3.7.2二元一次方程组的应用(二)
第3章 一次方程（组）
【2024新教材】湘教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
3.7.2 二元一次方程组的应用 (二)
在《3.7.1 二元一次方程组的应用 (一)》中，我们学习了二元一次方程组在行程、工程、和差倍分问题中的应用。这部分内容，我们将继续探索销售利润、调配问题、数字问题等场景下，如何利用二元一次方程组解决实际问题 。
一、销售利润问题
（一）核心概念与公式
在销售问题中，涉及成本、售价、利润、利润率等关键概念 。相关公式如下：
利润 = 售价 - 成本；
利润率 = \(\frac{利润}{成本}×100\%\)，由此可推导出利润 = 成本 × 利润率，售价 = 成本 ×(1 + 利润率) ；
总利润 = 单件利润 × 销售数量 。
（二）解题思路与示例
例 1：某商店购进甲、乙两种商品，甲商品每件进价\(15\)元，售价\(20\)元；乙商品每件进价\(35\)元，售价\(45\)元。若该商店同时购进甲、乙两种商品共\(100\)件，恰好用去\(2700\)元，且全部销售完后共获利\(800\)元，问甲、乙两种商品各购进多少件？
分析：设购进甲商品\(x\)件，购进乙商品\(y\)件。根据 “购进甲、乙两种商品共\(100\)件” 可得到一个等量关系；再依据 “甲商品的成本 + 乙商品的成本 = 总成本\(2700\)元” 以及 “甲商品的总利润 + 乙商品的总利润 = 总获利\(800\)元”，可列出二元一次方程组 。
列方程组：\(\begin{cases}x + y = 100 \\ (20 - 15)x + (45 - 35)y = 800 \\ 15x + 35y = 2700 \end{cases}\)
求解：
由\(x + y = 100\)可得\(x = 100 - y\)，将其代入\((20 - 15)x + (45 - 35)y = 800\)，得到\(5(100 - y) + 10y = 800\) 。\(
\begin{align*}
500 - 5y + 10y &= 800\\
5y &= 800 - 500\\
5y &= 300\\
y &= 60
\end{align*}
\)
把\(y = 60\)代入\(x = 100 - y\)，得\(x = 100 - 60 = 40\) 。
答案：购进甲商品\(40\)件，购进乙商品\(60\)件。
二、调配问题
（一）问题特征与关键
调配问题主要研究人员、物品等在不同区域或群体之间的分配与调整 。解题的关键在于分析调配前后数量的变化情况，找到调配前的数量关系以及调配后的数量关系，以此列出方程组 。
（二）解题步骤与示例
例 2：某工厂有工人\(50\)名，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品。已知每人每天可生产螺栓\(14\)个或螺母\(20\)个，问应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使每天生产出的螺栓和螺母刚好配套？
分析：设分配\(x\)人生产螺栓，\(y\)人生产螺母。根据 “工厂总人数为\(50\)名” 可得到一个方程；再根据 “螺母数量 = 螺栓数量 ×\(2\)”（因为一个螺栓套两个螺母），结合每人每天的生产数量，可列出另一个方程 。
列方程组：\(\begin{cases}x + y = 50 \\ 2 14x = 20y \end{cases}\)
求解：
由\(x + y = 50\)可得\(x = 50 - y\)，将其代入\(2 14x = 20y\)，得到\(2 14 (50 - y) = 20y\) 。\(
\begin{align*}
1400 - 28y &= 20y\\
20y + 28y &= 1400\\
48y &= 1400\\
y &= \frac{175}{6}
\end{align*}
\)
把\(y = \frac{175}{6}\)代入\(x = 50 - y\)，得\(x = 50 - \frac{175}{6} = \frac{125}{6}\) 。
答案：应分配\(\frac{125}{6}\)人生产螺栓，\(\frac{175}{6}\)人生产螺母（人数通常为整数，本题数据设置可能导致此情况，实际解题时可根据题目要求灵活处理，如取近似整数）。
三、数字问题
（一）知识要点
数字问题常涉及两位数、三位数等整数的表示 。例如，一个两位数，十位数字是\(a\)，个位数字是\(b\)，则这个两位数可表示为\(10a + b\)；一个三位数，百位数字是\(m\)，十位数字是\(n\)，个位数字是\(p\)，则这个三位数可表示为\(100m + 10n + p\) 。解题时要根据数字之间的关系建立等量关系，列出方程组 。
（二）解题示例
例 3：一个两位数，个位数字与十位数字的和是\(9\)。如果将个位数字与十位数字对调后所得的新数比原数大\(9\)，求原来的两位数。
分析：设原来两位数的十位数字为\(x\)，个位数字为\(y\)。根据 “个位数字与十位数字的和是\(9\)” 可列一个方程；原数为\(10x + y\)，新数为\(10y + x\)，再根据 “新数比原数大\(9\)” 可列另一个方程 。
列方程组：\(\begin{cases}x + y = 9 \\ (10y + x) - (10x + y) = 9 \end{cases}\)
求解：
对\((10y + x) - (10x + y) = 9\)进行化简，得\(10y + x - 10x - y = 9\)，即\(9y - 9x = 9\)，两边同时除以\(9\)得\(y - x = 1\) 。
联立\(\begin{cases}x + y = 9 \\ y - x = 1 \end{cases}\)，将两式相加可得：\(
\begin{align*}
x + y + y - x &= 9 + 1\\
2y &= 10\\
y &= 5
\end{align*}
\)
把\(y = 5\)代入\(x + y = 9\)，得\(x = 9 - 5 = 4\) 。
所以原来的两位数为\(10 4 + 5 = 45\) 。
答案：原来的两位数是\(45\)。
通过对销售利润、调配、数字这几类问题的学习，我们进一步拓展了二元一次方程组的应用范围。在解决实际问题时，要善于从题目中挖掘等量关系，合理设未知数，准确列出并求解方程组。若在学习过程中有任何疑问，欢迎随时交流探讨，我们可以一起深入研究这些有趣又实用的数学问题。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
复习导入
列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
审
弄清题意和题目中的数量关系，找出能够表达应用题全部含义的两个等量关系；
设
根据问题设出两个未知数；
列
根据等量关系，列出需要的代数式，从而列出方程组；
解
解这个方程组，得出未知数的值；
验
检验所求的未知数的值是否符合题意，是否符合实际情况；
写出答.
答
探索新知
小华从家里到学校的路是一段上坡路和一段平路. 假设他始终保持上坡路每分钟走40m，平路每分钟走60m，下坡路每分钟走80m，则他从家里到学校需15min，从学校到家里需10min. 试问：小华家离学校多远
思 考
15min
10 min
40m/min
60m/min
60m/min
80m/min
通过图示，你有什么发现？
小华家向家所走的下坡路上等于小华去学校所走的上坡路长.
根据图示，你能找到其中得等量关系吗？
本问题中的等量关系：
走上坡路的时间+走平路的时间=15min
走平路的时间+走下坡路的时间=10min
设小华家到学校的上坡路长 x m，平路长 y m，则
根据等量关系，得
___________
___________
解得
于是，上坡路与平路的长度之和为 x+y=400+300=700 (m).
因此，小华家离学校700m.
练一练
小李骑电动自行车，预计用相同的时间往返于甲、乙两地，去时电动自行车的车速是18 km/h，结果早到20 min；返回时，以15 km/h 的速度行进，结果晚到4 min. 求预计时间和甲、乙两地间的距离．
例3
某果园要将一批水果运往该县城一家水果加工厂，分两次租用了某汽车运输公司的甲、乙两种货车，具体信息如下表所示：
第一次 第二次
甲种货车辆数 2 5
乙种货车辆数 3 6
累计运货量/t 26 56
该果园第三次打算继续租用该公司3辆甲种货车和5辆乙种货车，可一次刚好运完这批水果.如果每吨运费为30元，果园三次总共应付运费多少元
甲、乙两种货车每辆次能运多少吨水果？
第一次 第二次
甲种货车辆数 2 5
乙种货车辆数 3 6
累计运货量/t 26 56
本问题中的等量关系：
2辆甲种货车运货量+3辆乙种货车运货量=26 t
5辆甲种货车运货量+6辆乙种货车运货量=56 t
2辆甲种货车运货量+3辆乙种货车运货量=26 t
5辆甲种货车运货量+6辆乙种货车运货量=56 t
解：设甲、乙两种货车每辆次分别可运水果 x t，y t.
根据题意，得
解得
因此，甲种货车每辆次分别可运水果4 t，
乙种货车每辆次分别可运水果6 t.
该果园第三次打算继续租用该公司3辆甲种货车和5辆乙种货车，可一次刚好运完这批水果.如果每吨运费为30元，果园三次总共应付运费多少元
第3次运输了
3×4+5×6=42 (t)
因而合计运输了水果
26+56+42=124 (t)
3次总共应付运费
124×30=3720 (元)
答：该果园三次总共应付运费3720元.
星期日，小军与小明所在年级分别有同学去颐和园和圆明园参观，其参观人数和门票花费如下表：
练一练
问：颐和园和圆明园的门票各多少元？
本问题中的等量关系：
颐和园门票×参观人数+圆明园门票×参观人数=门票总费用
解：设颐和园和圆明园的门票各为x元、y元.
30x＋30y=750，
30x＋20y=650
根据题意，得
解得
x＝15，
y＝10.
答：颐和园和圆明园的门票各15元、10元.
例4
对于多项式kx+b(其中k，b为常数)，若x分别用1，-1代入时， kx＋b的值分别为-1，3，求k和b的值.
解：根据题意，得
解得
故所求k和b的值分别为-2和1.
练一练
对于多项式kx＋b(k，b为常数)，若x分别用2，6 代入时，kx＋b的值分别为30，10，求k和b的值.
解：根据题意，得
解得
故所求k和b的值分别为-5和40.
【课本P132 练习 第2题】
1.春节前夕，某服装专卖店按标价打折销售. 茗茗去该专卖店买了两件衣服，第一件打七折，第二件打五折，共付260元. 付款后，收银员发现结算时不小心把两件衣服的标价计算反了，又找给茗茗40元. 这两件衣服的原标价分别是( )
A.100元、300元 B.100元、200元
C.200元、300元 D.150元、200元
A
课堂练习
2.已知制作如图所示的甲、乙两种无盖的长方体纸盒，需用正方形和长方形两种硬纸片，且长方形的宽与正方形的边长相等，现有150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片，可制作甲、乙两种纸盒各多少个
本问题中的等量关系：
甲纸盒需要正方形硬纸片+乙纸盒需要正方形硬纸片=150张
甲纸盒需要长方形硬纸片+乙纸盒需要长方形硬纸片=300张
【课本P132 练习 第1题】
甲种纸盒
乙种纸盒
甲纸盒需要正方形硬纸片+乙纸盒需要正方形硬纸片=150张
甲纸盒需要长方形硬纸片+乙纸盒需要长方形硬纸片=300张
解：设制作甲、乙两种纸盒各x个，y 个.
根据题意，得
解得
答：可制作甲、乙两种纸盒各30个、60 个.
甲种纸盒
乙种纸盒
应用1 配套问题
用如图①中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，
做成如图②的竖式和横式两种无盖纸盒.现在仓库里
有500张正方形纸板和800张长方形纸板，问两种纸
盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？设做竖式纸盒个，横式纸盒 个，
恰好将库存的纸板用完，则可列方程组是( )
B.
C. D.
D
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2.某机械厂加工车间有34名工人，平均每名工人每天加工大
齿轮20个或小齿轮15个.已知3个大齿轮和2个小齿轮配成一套，
则每天安排多少名工人加工大齿轮，才能刚好配套？
【解】设每天安排名工人加工大齿轮，每天安排 名工人加
工小齿轮，
根据题意，得
解得
答：每天安排18名工人加工大齿轮，才能刚好配套.
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3.某工厂加工圆柱形的茶叶盒，
购买了 块相同的金属板材，已
知每块金属板材可以有，，
三种裁剪方式，如图， 方式：裁剪成6个圆形底面和1个侧
面.方式：裁剪成3个侧面. 方式：裁剪成9个圆形底面.已知
2个圆形底面和1个侧面组成一个圆柱形茶叶盒，且要求圆形
底面与侧面恰好配套.现已有2块金属板材按 方式裁剪，其余
都按， 两种方式裁剪.
（1）设有块金属板材按方式裁剪，块金属板材按 方式
裁剪.
①可以裁剪出圆形底面共__________个，侧面共_________个.
②当 时，最多能加工多少个圆柱形茶叶盒？
【解】根据题意，得
解得
所以 .
答：当 时，最多能加工36个圆柱形茶叶盒.
（2）现将 块相同的金属板材全部裁剪完，为了使加工成的
圆形底面与侧面恰好配套，则的值可以是____________
其中 .
40或45或50
【点拨】根据题意，得
，
所以 .所以
.
因为，均为整数，且 ,
所以 的值可取21,24,27，
当时， ；
当 时， ；
当 时， .
综上， 的值可以是40或45或50.
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应用2 几何问题
4. 古代中国是世界中心，
诸多技艺均领先世界水平，榫卯 结构就是其中最为
华丽的一点.榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的
连接方式.已知有若干个相同的木构件，其形状如图①所示.
当3个木构件紧密拼成一列时，总长度为 ，当9个木构
件紧密拼成一列时，总长度为 ，如图②所示，则图①
中的木构件长度为______.
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5.母题教材P134习题T9 我们都知道《乌鸦喝水》的故事，
聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，喝到
了水.根据图中给出的信息，解答下列问题：
（1）放入一个小球水面升高___ ，放入一个大球水面升高
___ ；
3
4
（2）如果放入大球、小球共
10个，且使水面恰好上升到
，应放入大球、小球各
多少个？
【解】设应放入小球个，大球 个，
由题意,得解得
答：应放入小球5个，大球5个.
课堂总结
列二元一次方程组解应用题的一般步骤：
审
弄清题意和题目中的数量关系，找出能够表达应用题全部含义的两个等量关系；
设
根据问题设出两个未知数；
列
根据等量关系，列出需要的代数式，从而列出方程组；
解
解这个方程组，得出未知数的值；
验
检验所求的未知数的值是否符合题意，是否符合实际情况；
写出答.
答
谢谢观看！

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