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4.1 立体图形与平面图形
第4章 图形的认识
【2024新教材】湘教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
4.1 立体图形与平面图形
在我们的日常生活中，从高楼大厦到手中的书本，从精致的玩具到各种包装盒，都蕴含着丰富的图形知识。图形可以分为立体图形与平面图形，它们是我们认识和研究几何世界的基础。接下来，我们就一起走进立体图形与平面图形的奇妙世界，探索它们的奥秘。
一、平面图形
（一）定义与特征
平面图形是指所有点都在同一平面内的图形 。它们只具有长度和宽度两个维度，是二维的。平面图形的线条和形状都在一个平面上呈现，没有厚度 。例如，常见的三角形、正方形、长方形、圆形、梯形等都属于平面图形 。
（二）常见平面图形介绍
三角形：由三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形 。根据角的大小，可分为锐角三角形（三个角都小于\(90^{\circ}\)）、直角三角形（有一个角等于\(90^{\circ}\)）和钝角三角形（有一个角大于\(90^{\circ}\)）；根据边的长度关系，可分为等边三角形（三条边都相等）、等腰三角形（至少有两条边相等）和不等边三角形（三条边都不相等） 。
四边形：由四条线段首尾顺次连接组成的封闭图形，常见的有正方形、长方形和梯形 。正方形的四条边都相等，四个角都是直角；长方形的对边相等，四个角也都是直角；梯形是只有一组对边平行的四边形 。
圆形：在平面内，围绕一个点并以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线 。圆上任意一点到圆心的距离都相等，这个距离称为半径，通过圆心且两端都在圆上的线段叫做直径，直径是半径的\(2\)倍 。
二、立体图形
（一）定义与特征
立体图形是各部分不都在同一平面内的几何图形，是三维的，具有长度、宽度和高度（或深度） 。它们在空间中占有一定的体积，可以从不同的角度观察到不同的形状 。比如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等都是常见的立体图形 。
（二）常见立体图形介绍
长方体：由六个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形 。长方体有\(12\)条棱，相对的棱长度相等；有\(8\)个顶点；有\(6\)个面，相对的面完全相同 。
正方体：特殊的长方体，它的\(12\)条棱长度都相等，\(6\)个面都是完全相同的正方形，\(8\)个顶点 。
圆柱：由两个大小相等、相互平行的圆形（底面）以及连接两个底面的一个曲面（侧面）围成的几何体 。圆柱的侧面展开图是一个长方形（或正方形，当底面周长和高相等时） 。
圆锥：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体 。圆锥有一个底面是圆形，侧面展开图是一个扇形，圆锥有一个顶点和一条高 。
球：一个半圆绕直径所在直线旋转一周所成的空间几何体 。球是一个连续曲面的立体图形，从任何角度观察，它的形状都是圆形 。
三、立体图形与平面图形的联系
（一）立体图形与平面图形的转化
从立体图形到平面图形：立体图形可以通过不同的方式得到平面图形。例如，我们可以从不同方向观察立体图形，得到它的视图，这些视图就是平面图形 。从正面、左面、上面三个不同方向看一个长方体，会得到三个不同的长方形；圆柱从上面看是圆形，从正面和左面看是长方形 。此外，将立体图形展开，也能得到平面图形 。正方体展开后可以得到由六个正方形组成的平面图形（展开图有多种形式）；圆柱展开后得到两个圆形和一个长方形 。
从平面图形到立体图形：一些平面图形经过折叠、旋转等操作可以形成立体图形 。比如，将一个长方形绕着它的一条边旋转一周，可以得到一个圆柱；把六个相同的正方形按照一定的方式折叠，可以围成一个正方体 。
（二）平面图形是构成立体图形的基础
立体图形的表面是由一个个平面图形组成的 。长方体的六个面都是长方形（或有两个相对面是正方形），这些长方形（或正方形）就是平面图形；圆柱的两个底面是圆形，侧面展开后也是平面图形 。
通过对立体图形与平面图形的学习，我们对几何图形有了更深入的认识。它们不仅存在于数学课本中，更广泛存在于我们的生活各处。在后续的学习中，我们还将进一步研究它们的性质、计算方法等内容。如果在学习过程中有任何疑问，欢迎随时交流探讨，让我们一起在图形的世界里继续探索。
以上从多方面介绍了立体图形与平面图形的知识。若你想增加图形的实例，或对某些图形的讲解方式有新想法，欢迎随时和我说。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
情境导入
水立方
国家大剧院
让人赏心悦目的立体建筑
黄鹤楼
福建土楼
东方明珠塔
广州塔
重庆江北嘴IFS
香港中银大厦
探索新知
几何图形
有些几何图形的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形.
观察下面的实物图形，不考虑实物的颜色、材料、质量、大小等因素，仅关注它们的形状，你能发现它们分别与下图中哪种立体图形对应吗？
说一说
生活中的立体图形
下面这些几何图形有什么共同特点？
有些几何图形的各部分都在同一个平面内，它们是平面图形.
观察下图所示的各种标志，分别指出其包含的平面图形.
议一议
立体图形和平面图形的联系:
长方形
正方形
线段
点
从整体看，它的形状是_______；
从不同侧面得到的是________________；
从侧面中可以看到_________；
长方体
正方形或长方形
点和线段
立体图形中某些部分是平面图形
长方体纸盒展开：
立体图形可以展开成平面图形
自己动手将一个纸质包装盒剪开铺平,看看它的展开图是由哪些平面图形组成的，然后再动手将其复原.
做一做
将准备好的墨水瓶包装盒（或粉笔盒等）裁剪并展开，可以得到哪些平面图形？
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨
⑩

一四一型
一三二型
二二二型
三三型
课堂练习
1.分别说出从下列实物中能抽象出的立体图形.
【教材P152页 练习第1题】
2.下图的图案分别由哪些平面构成？请分别列举出来.
【教材P152页 练习第2题】
3.下面的图案分别由哪些图形构成？请分别列举出来.
4.如图，第一排图形可分别看作是第二排哪个立体图
形展开的形状？把它们用线连起来.
【教材P153页 习题4.1 第3题】
4.位于湖南省长沙市岳麓山腰的爱晚亭，是早期革命活动圣地. 下面两幅图分别是它的外景图和内景图，你能从中抽象出哪些立体图形和平面图形？
【教材P153页 习题4.1 第4题】
1. 下列实物图中，其形状类似圆柱的是( )
D
A. B. C. D.
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2. ［2024常州］下列图形中，为四棱锥的侧面展开图的是
( )
A. B. C. D.
B
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3. 常德是有文化
传承的地方，这里的丝弦、高腔、号子等
要以适当载体传承好，利用好，与时俱进
发展好.如图是一个正方体的展开图，把展
C
A. 常 B. 德 C. 文 D. 化
开图折叠成正方体后，与“传”字一面相对的面上的字是
( )
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4.下列几何图形：①线段；②三角形；③长方体；④正方形；
⑤圆；⑥圆锥；⑦圆柱；⑧四棱锥；⑨六棱柱.其中立体图形
有个，平面图形有个，则 ___.
1
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5.（1）在横线上写出下列几何图形的名称.
长方体
三棱锥
球
三棱柱
圆锥
六棱柱
圆柱
（2）上图中属于柱体的有__________；属于锥体的有_____；
属于球体的有____.（填序号）
①④⑥⑦
②⑤
③
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6. 下列几何体中，不同类的是( )
B
A. B. C. D.
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7.［2025太原月考］问题情境：某综合实践小组开展了“长方
体纸盒的制作”实践活动.
（1）如图，下列四幅图中不是长方体的表面展开图的是____.
③
（2）综合实践小组利用边长为 的正方形纸板制作出如
图的长方体纸盒.其中， .则长方体纸盒的
底面积为_____ ；
200
【纸盒平面研究】
（3）若一个长方体的长、宽、高分别为6，4，3，将它的表面
沿某些棱剪开，展成一个平面图形，则该长方体表面展开图的
最大外围周长为____，外围周长最大时的表面展开图共有___
种不同的形状，请任选一种画出该长方体的展开图
（要求：借助直尺或三角板作图，图中标明长、宽、高的数
据）.
70
3
【解】长方体的展开图，如图
所示.（任选一种即可）
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课堂小结
几何图形
定义
分类
联系
立体图形
平面图形
各部分不都在同一平面内
各部分都在同一平面内
从物体外形中抽象出来的图形，统称为几何图形
平面图形可围成立体图形；
立体图形可展开成平面图形；
从不同方向看立体图形可以看到平面图形.
谢谢观看！

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