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4.2.1线段、射线、直线
第4章 图形的认识
【2024新教材】湘教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
线段、射线、直线
在认识了立体图形与平面图形后，我们进一步深入几何图形的基础构成 —— 线段、射线、直线。它们看似简单，却在几何学习以及日常生活中有着广泛应用，是构建复杂几何图形的基石。接下来，我们就从多个维度探究它们的奥秘。
一、线段
（一）定义与特征
线段是指直线上两点间的有限部分，这两个点称为线段的端点 。它具有两个明确的端点，因此长度是固定且可测量的 。在生活中，像铅笔、书本的边，直尺等都可以近似看作线段。比如一支新铅笔的长度，我们可以用尺子测量出具体数值，这就是线段长度可测量的直观体现 。
（二）表示方法
用两个端点的大写字母表示，如线段\(AB\)，其中\(A\)、\(B\)为线段的两个端点 。
也可用一个小写字母表示，如线段\(a\) 。
二、射线
（一）定义与特征
射线是指由线段的一端无限延长所形成的直的线，它仅有一个端点，另一端可以无限延伸 。由于射线一端的无限性，所以射线的长度是不可测量的 。生活中的手电筒、探照灯发出的光线，在理想状态下可近似看作射线，光线从光源（端点）出发，向一个方向无限传播 。
（二）表示方法
用射线的端点和射线上的另一点来表示，且表示端点的字母要写在前面，如射线\(OA\)，其中\(O\)为端点，\(A\)为射线上的另一点 。
三、直线
（一）定义与特征
直线由无数个点构成，没有端点，向两端无限延长，长度无法度量 。在数学中，直线是一个理想化的概念，在实际生活中，我们可以将笔直的铁路轨道、地平线等近似看作直线 。虽然它们在实际中存在长度限制，但在数学抽象意义下，我们把它们想象成向两端无限延伸的直线 。
（二）表示方法
用直线上任意两点的大写字母表示，如直线\(AB\) 。
也可以用一个小写字母表示，如直线\(l\) 。
四、线段、射线、直线的联系与区别
（一）联系
线段和射线都是直线的一部分 。线段是直线上截取的有限部分，射线是直线上某一点向一侧无限延伸的部分 。
它们都是直的线，这是三者在形态上的共同特征 。
（二）区别
图形
端点个数
长度是否可测量
延伸性
表示方法示例
线段
\(2\)个
可测量
无
线段\(AB\)、线段\(a\)
射线
\(1\)个
不可测量
向一端无限延伸
射线\(OA\)
直线
\(0\)个
不可测量
向两端无限延伸
直线\(AB\)、直线\(l\)
通过对线段、射线、直线的学习，我们对几何图形的基础元素有了清晰的认识。这些知识是后续学习角、三角形、多边形等复杂几何图形的重要基础。在学习过程中，可以多观察生活中的实际例子，加深对它们的理解。如果在概念理解或应用上有疑问，欢迎随时交流，我们一起攻克学习难题。
上述内容全面介绍了线段、射线、直线相关知识。若你希望增加更多生活实例、对比图表，或调整讲解侧重点，欢迎随时告诉我。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
新课导入
猜谜语
1.有始有终
2.有始无终
3.无始无终
(打一线的名称)
线段
射线
直线
图中可以近似地看作线段、射线的分别有哪些？
探索新知
线段有两个端点，具有有限的长度.
直线上两点和它们之间的部分叫线段.
线段向一端无限延长形成了射线.
射线有一个端点，不可度量.
线段向两端无限延长形成了直线.
直线没有端点，不可度量.
一般用以下方式表示线段、射线、直线.
名称 图形 表示方法
线段
射线
直线
A
B
a
A
B
A
B
A
B
l
线段AB（或BA）
线段a
射线AB
射线BA
直线AB（或BA）
直线l
射线端点的字母须写在前面
A
B
A→B
一条直线有两个方向
A B
线段、射线、直线的区别：
类型 端点个数 延伸性 可否度量
线段
射线
直线
2个
1个
0个
不能延伸
向一端无限延伸
向两端无限延伸
不可度量
不可度量
可度量
三者有什么联系？
线段和射线都是直线的一部分.
(1) 射线是直线的一部分.
线段是射线的一部分.
画一条射线，使它的长度为3cm.
线段 AB 和线段 BA 是同一条线段.
射线 OP 和射线 PO 是同一条射线.
( )
( )
( )
( )
( )
1.判断：
√
√
×
√
×
练一练
2.下列说法正确的是（ ）
A.射线AB与射线BA是同一条射线
B.线段AB与线段BA不是同一条线段
C.射线AC是直线AC的一部分
D.延长直线AB，使它经过点M
C
任意画一个点和一条直线，你能发现，点与直线有哪几种位置关系？
P
Q
l
点 P 在直线 l 上
(直线 l 经过点 P )
点 Q 在直线l外
(直线 l 不经过点 Q )
做一做
l1
l2
O
(交点)
相交
直线l1与l2相交于点O
直线和直线的位置关系：
平行
（1）将一根小木条固定在墙面上，至少需要几颗钉子？
两点确定一条直线
两颗
思 考
（2）如图，过一个点可以画多少条直线？过两点呢？
A
B
C
过两点有且只有一条直线
无数条
一条
思 考
由生活经验可以总结出关于直线的基本事实：
过两点有且只有一条直线.
两点确定一条直线.
简单说成：
基本事实是人们在长期实践中总结出来的公认的事实.
表示存在且唯一
两点确定一条直线可以用来说明生活中的现象
砌墙时常在墙角分别固定一木桩，可以拉一条直的参照线.
做家具时弹墨线.
课堂练习
【教材P156页 练习第1题】
1.如图，判断下列语句是否正确.
（1）点O在直线AB上；
（2）B是直线AB的一个端点；
（3）点O在射线AB上；
（4）射线AO和射线OA是同一条射线.
O
A
B
√
×
×
×
2.按下列语句分别画出图形：
（1）点P在直线l外；
（2）以O为端点的三条射线OA，OB，OC；
（3）点C在线段AB上；
P
O
A
B
C
A
C
B
l
【教材P156页 练习第2题】
3. 请举出生活中运用“两点之间线段最短”的几个例子.
从教室到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪。
道路会尽可能修直一点。
1. ［2025衡阳月考］手电筒发射出来的光线，给我们的形象
是( )
B
A. 线段 B. 射线
C. 直线 D. 折线
2. 下列说法正确的是( )
B
A. 直线和直线 是两条直线
B. 射线和射线 是两条射线
C. 线段和线段 是两条线段
D. 直线和直线 不能是同一条直线
返回
3. 下列选项中的两条线可以相交的是( )
B
A. B. C. D.
返回
4. 关于如图的表述，不正确的是( )
A. 点在直线 外
B. 点在直线 上
C. 直线与直线相交于点
D. 射线是直线 的一部分
B
返回
5. ［2025邵阳期末］下列几
何图形与相应语言描述相符
的是( )
C
A. 如图①，延长线段到点
B. 如图②，射线经过点
C. 如图③，直线和直线相交于点
D. 如图④，射线和线段 没有交点
返回
6. 下列说法：
①射线的长度为 ；
②孙悟空飞了一条十万八千里的直线；
③射线的端点是 点；
④过点，可以画两条不同的直线，分别是直线 和直线
.
其中正确的个数为( )
C
A. 3 B. 0 C. 1 D. 4
【点拨】射线无法度量，故①错误；直线无法度量，故②错
误；射线的端点是 点，故③正确;两点确定一条直线，故
④错误.
返回
7. 在巴黎奥运会射击男子10米气手枪决
赛中，中国运动员在射击过程中，要保证瞄准的眼睛和两个
准星在同一条直线上才能射中目标，这运用了数学中的基本
事实是__________________.
两点确定一条直线
返回
8.母题教材P159习题 如图，平面内有，，， 四点，
按下列语句画图.
（1）画直线，射线，线段 ；
（2）连接，交线段于点 ；
（3）延长，交射线于点 .
【解】 如图.
返回
课堂小结
线段、射线、直线
区别与联系
表示方法
基本事实
两点确定一条直线
位置关系
点与直线
直线与直线
谢谢观看！

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