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4.2.2线段长短的比较
第4章 图形的认识
【2024新教材】湘教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
线段长短的比较
在了解了线段的基本概念后，如何比较不同线段长短，是进一步探索几何图形的重要环节。线段长短的比较方法在绘图、建筑设计、测量等诸多领域都有实际应用，接下来我们就详细学习这些方法。
一、度量法
（一）定义与原理
度量法是指利用刻度尺等测量工具，分别测量出各条线段的长度，然后通过比较长度数值的大小来判断线段的长短 。其原理基于线段长度的可测量性，我们用具体的数值量化线段的长短，从而进行直观的比较 。
（二）操作步骤
准备合适的测量工具，如直尺、三角板等，确保测量工具的刻度清晰、准确 。
将测量工具的零刻度线与线段的一个端点对齐，使测量工具与线段重合 。
读取线段另一个端点在测量工具上对应的刻度值，该刻度值即为线段的长度 。
重复上述步骤测量其他线段的长度。
比较测量得到的各个长度数值，数值大的线段较长，数值小的线段较短 。
（三）示例
例如，要比较线段\(AB\)和线段\(CD\)的长短。用直尺测量线段\(AB\)，使直尺的零刻度线与\(A\)点对齐，发现\(B\)点对应的刻度是\(5\)厘米；测量线段\(CD\)，零刻度线与\(C\)点对齐，\(D\)点对应的刻度是\(3\)厘米 。因为\(5 3\)，所以线段\(AB\)比线段\(CD\)长 。
（四）优缺点
优点：测量结果直观、明确，能够得到具体的长度数值，方便进行精确比较和记录 。
缺点：测量过程可能会受到测量工具精度、测量者操作水平等因素的影响，存在一定的误差 。
二、叠合法
（一）定义与原理
叠合法是把两条线段放在同一条直线上，使它们的一个端点重合，然后观察另一个端点的位置关系，从而判断线段的长短 。如果两条线段能够完全重合，那么这两条线段相等；如果一条线段的端点落在另一条线段的内部，那么落在内部的线段较短；如果一条线段的端点落在另一条线段的外部，那么落在外部的线段较长 。
（二）操作步骤
画一条直线，将两条待比较的线段\(a\)和\(b\)放在这条直线上 。
使线段\(a\)的一个端点与线段\(b\)的一个端点重合，比如让线段\(a\)的端点\(A\)与线段\(b\)的端点\(C\)重合 。
观察另一个端点的位置：
若线段\(a\)的另一个端点\(B\)与线段\(b\)的另一个端点\(D\)重合，则线段\(a\)和线段\(b\)相等，即\(a = b\) 。
若端点\(B\)落在\(C\)和\(D\)之间，那么线段\(a\)比线段\(b\)短，即\(a b\) 。
若端点\(B\)落在\(D\)点右侧，那么线段\(a\)比线段\(b\)长，即\(a b\) 。
（三）示例
如图，比较线段\(MN\)和线段\(PQ\)。将它们放在同一直线上，使\(M\)点与\(P\)点重合，发现\(N\)点落在\(P\)和\(Q\)之间，所以线段\(MN\)比线段\(PQ\)短 。
（四）优缺点
优点：不需要借助测量工具，通过直观的位置关系就能比较线段长短，避免了测量误差，在一些简单的几何图形比较中操作简便 。
缺点：对于不在同一平面或位置关系复杂的线段，叠合操作可能不方便进行 。
三、其他方法
在一些特殊情况下，还可以借助圆规等工具辅助比较线段长短 。用圆规截取其中一条线段的长度，然后以另一条线段的一个端点为圆心，以截取的长度为半径画弧，如果弧与另一条线段有交点且交点在另一端点内部，则被截取的线段短；如果弧刚好经过另一端点，则两条线段相等；如果弧超过另一端点，则被截取的线段长 。
四、注意事项
使用度量法时，要保证测量工具放置准确，视线垂直于刻度线读数，减小测量误差 。
运用叠合法时，尽量使线段放置在同一条直线上，并且端点重合要准确 。
在比较多条线段长短时，可以先进行粗略估计，再选择合适的方法进行精确比较 。
通过学习线段长短的比较方法，我们能够更深入地认识线段之间的关系，为后续学习三角形三边关系、图形的周长计算等知识奠定基础。在实际应用中，多观察、多练习，熟练掌握这些方法，就能轻松解决与线段长短比较相关的问题。如果在学习过程中有任何疑问，欢迎随时交流探讨。
以上内容详细介绍了线段长短的比较方法。若你希望增加更多示例、补充特殊情况讲解，或对内容呈现形式有新想法，欢迎随时告诉我。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
新课导入
观察讨论
观察这三组图形，你能比较出每组图形中线段的长短吗？
(1)
(2)
(3)
a
b
a
b
a
b
三组图形中，每组的线段a和线段b长度均相等.
眼见未必为实
探索新知
A
B
C
D
AB=1.9cm
CD=3.4cm
①用刻度尺测量
AB＜CD
(度量法)
怎样比较图中的线段AB，CD的长短呢？
A
B
C
D
说一说
②把其中一条线段移到另一条上作比较
A
B
C
D
（A）
B
AB＜CD
线段AB的长度记作AB或|AB|.
为简便起见，本教材把线段AB的长度记作AB；一般可从上下文区分AB表示的是线段还是线段AB的长度.
(叠合法)
用圆规截取的方法比较线段AB和CD的长短，可能出现以下几种情况：
图形 线段AB与CD的关系 记做
C
D
A
B
AB小于CD
AB＜CD
C
D
A
B
AB等于CD
AB=CD
C
D
A
B
AB大于CD
AB＞CD
A
B
C
AC=AB+BC
BC=AC-AB
如图，点 C 落在线段 AB 的延长线(即以 B 为端点，方向为A到 B 的射线)上，则线段AC 是线段AB 与线段 BC的和，记作 AC=AB + BC，线段 BC 是线段 AC 与线段 AB 的差，记作 BC=AC-AB.
杭州湾跨海大桥是跨越杭州湾的便捷通道. 大桥北起嘉兴市，跨越宽阔的杭州湾海域后止于宁波市，全长36km. 大桥建成后宁波至上海间的陆路距离缩短了约120km. 这是什么原理？
议一议
两点之间的所有连线中，线段最短.
（两点之间，线段最短）
连接两点的线段的长度，叫作这两点的距离.
线段AB最短
例1
如图，已知线段a，借助圆规和直尺作一条线段使它等于2a.
a
A
D
B
C
线段AC就是所求作的线段
AB=BC
中点
= AC
尺规作图
若点B在线段AC上，且把线段AC分成相等的两条线段AB与BC，这时B叫作线段AC的中点.
A
B
C
B是线段AC的中点.
几何语言：
∵B是线段AC的中点
∴ AB=BC= AC
反之也成立：
∵AB=BC= AC
∴B是线段AC的中点
你能试着画出线段的三等分点，四等分点吗？
练一练
1.如图，在直线上有A，B，C三点，AB=4 cm，BC=3 cm，如果O是线段AC的中点，求线段OB的长度.
解：∵AB=4cm，BC=3cm，
∴AC=AB+BC=7cm.
∵点O是线段AC的中点，
∴OC=AC=3.5cm，
∴OB=OC-BC=3.5-3=0.5cm.
A
B
O
C
计算线段长度的一般方法：
① 逐段计算：求线段的长度，主要围绕线段的和、差、倍、分关系展开. 若每一条线段的长度均已确定，所求问题可迎刃而解.
② 整体转化：巧妙转化是解题关键．首先将线段转化为两条线段的和，然后再通过线段的中点的等量关系进行替换，将未知线段转化为已知线段.
如图，已知线段a，b（a＞b），作一条线段使它等于a-b.
例2
a
b
C
B
A
线段BC就是所求作的线段
课堂练习
【教材P158页 练习第1题】
1.用圆规截取的方法比较图中下列两组线段的大小：
（1）AC和AB;
（2）BC和AB.
A
C
B
AC＜AB
BC＜AB
【教材P158页 练习第2题】
2.如图，线段AB=6，C是AB的中点，D是AC的中点，求线段AC，AD的长.
A
D
C
B
3.如图，已知线段a，b，作一条线段使它等于a+b(只要求作出图形，不要求写作法).
a
b
A
F
B
C
线段AC就是所求作的线段
【教材P158页 练习第3题】
4. 如图所示，直线 MN 表示一条铁路，铁路两旁各有一点 A 和B，表示两个工厂. 要在铁路上建一货站，使它到两厂距离之和最短，这个货站应建在何处？
A
B
N
M
两点之间线段最短.
O
货站应建在O处.
1. 如图，， 两点之间的距离指的是( )
C
（第1题）
A. 线段
B. 线段与线段 的长度之和
C. 线段 的长度
D. 线段与线段 的长度之差
返回
（第2题）
2. 如图，围绕在正方形四周的四条线段 ，
，， 中，长度最长的是( )
D
A. B. C. D.
返回
3. 若，， 三点在同一条直线上，且线
段，，则线段 的长是( )
D
A. B.
C. 或 D. 或
【点拨】若点在点 左侧，则
；若点在点 右侧，则
.综上，线段的长为
或 .
返回
4. ［2025温州期末］如图，延长线段至点 ，使
.若恰好为线段的中点，且 ，则线
段 的长度是( )
（第4题）
B
A. B.
C. D.
【点拨】因为点是线段的中点， ，所以
.因为， ，
所以，所以 .
返回
5. ,,是平面上的三点,, ,那
么下列说法正确的是( )
D
A. 点一定在直线外 B. 点在线段 上
C. 点可能在线段上 D. 点不能在线段 上
返回
6. ［2025杭州月考］如图，已知点为线段的中点，点
为线段的中点，现给出下列结论： ，
，， ，其中
正确的结论是( )
（第6题）
A
A. ①②③④ B. ①②③ C. ②③④ D. ②③
【点拨】因为点为线段的中点，点为线段 的中点，
所以， ，所以
， ，故①②正确；因为
，所以 ，故③正确；因为
，所以 ，故④
正确.故选A.
（第6题）
返回
7. 长沙市烈士公园是长沙最大的公园，纪
念区以1958年建成的烈士塔为中心，周围环绕着松树，显得
庄严雄伟.彭老师带着同学研学时发现从山脚一点 到烈士塔
底部一点 ，沿楼梯直行和沿左边弯曲的盘山公路走相比，
缩短了行走的路程，其中蕴含的数学道理是______________
_______.
两点之间，线
段最短
返回
8.尺规作图：已知线段, ，按照下列要求作图（保留作图痕
迹，不写作法）.
（1）作线段，使 ；
【解】如图①， 即为所求作.
（2）作线段，使 .
如图②， 即为所求作.
返回
9. ［2025成都武侯区月考］如图，已知线段上有两点 ，
，且，，分别为， 的中点，
，，则 ( )
D
A. 6 B. 4 C. D.
课堂小结
比较线段的长短
方法
基本事实
两点之间，线段最短
尺规作图
中点
两点之间的距离
线段的和差
度量法
叠合法
谢谢观看！

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