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4.3.1 角与角的大小比较
第4章 图形的认识
【2024新教材】湘教版数学 七年级上册
授课教师：********
班 级：********
时 间：********
4.3.1 角与角的大小比较
在学习了线段长短的比较后，我们将目光聚焦到几何图形中的另一个重要元素 —— 角。角在生活中无处不在，时钟的指针转动形成的夹角、三角板上的角等。了解角与角的大小比较，能帮助我们更深入地认识几何图形，解决实际问题。接下来，我们就从角的基础概念开始学习。
一、角的定义与表示
（一）角的定义
静态定义：由两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边 。例如，三角板上的每个角，都是由两条从同一顶点出发的射线构成。
动态定义：角也可以看作是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形 。时钟上的分针从一个时刻转动到另一个时刻，分针绕着中心点旋转，就形成了不同的角。
（二）角的表示方法
用三个大写字母表示：可以用角的两边和角的顶点的字母来表示，如\(\angle AOB\)，其中\(O\)为角的顶点，写在中间，\(A\)、\(B\)分别为角两边上的点 。
用一个大写字母表示：当顶点处只有一个角时，可以用顶点的大写字母表示这个角，如\(\angle O\) 。但如果顶点处有多个角，不能用这种表示方法，否则会产生混淆。
用数字或希腊字母表示：在角的内部靠近顶点处画一弧线，标上数字或希腊字母，如\(\angle 1\)、\(\angle\alpha\) 。
二、角的分类
根据角的大小，可将角分为以下几类：
锐角：大于\(0^{\circ}\)而小于\(90^{\circ}\)的角叫做锐角 。例如，等边三角形的每个内角都是\(60^{\circ}\)，是锐角。
直角：等于\(90^{\circ}\)的角叫做直角 。生活中，书本的四个角、方桌的角都是直角。
钝角：大于\(90^{\circ}\)而小于\(180^{\circ}\)的角叫做钝角 。
平角：一条射线绕它的端点旋转，当始边和终边在同一条直线上，方向相反时，所构成的角叫做平角，平角等于\(180^{\circ}\) 。
周角：一条射线绕着它的端点旋转一周所形成的角，叫做周角，周角等于\(360^{\circ}\) 。
三、角的大小比较方法
（一）度量法
工具与原理：使用量角器来度量角的度数，通过比较度数的大小来确定角的大小关系 。量角器的原理是将半圆平均分成\(180\)等份，每一份所对的角的大小是\(1^{\circ}\) 。
操作步骤：把量角器的中心与角的顶点重合，\(0^{\circ}\)刻度线与角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数 。例如，测量\(\angle AOB\)，按照上述方法操作，若量得\(\angle AOB = 45^{\circ}\)，\(\angle COD = 60^{\circ}\)，则\(\angle AOB < \angle COD\) 。
（二）叠合法
操作步骤：将两个角的顶点及一条边重合，然后比较另一条边的位置 。
如果另一条边也重合，说明这两个角相等 。比如\(\angle 1\)和\(\angle 2\)，把它们的顶点和一条边重合后，另一条边完全重合，那么\(\angle 1 = \angle 2\) 。
如果一个角的另一边在另一个角的内部，那么这个角小于另一个角 。例如，\(\angle ABC\)和\(\angle DEF\)，重合顶点和一条边后，\(\angle ABC\)的另一边在\(\angle DEF\)内部，则\(\angle ABC < \angle DEF\) 。
如果一个角的另一边在另一个角的外部，那么这个角大于另一个角 。
四、角大小比较的应用
在实际生活和几何学习中，角的大小比较有着广泛的应用。在建筑设计中，工程师需要比较不同角度的大小，确保建筑物的结构稳定和美观；在绘制几何图形时，通过比较角的大小来确定图形的形状和特征 。例如，在画一个等腰三角形时，需要比较两个底角的大小是否相等，以保证图形的准确性。
通过对 “角与角的大小比较” 的学习，我们了解了角的定义、表示、分类以及大小比较方法和应用。在学习过程中，要多动手操作量角器，通过实际测量和叠合比较来加深理解。如果在学习中有任何疑问，欢迎随时交流探讨，让我们一起攻克几何学习中的每一个难关。
互逆命题、互逆定理教案
一、教学目标
知识与技能目标
理解互逆命题、互逆定理的概念，能准确说出一个命题的逆命题。
会判断一个命题及它的逆命题的真假性，掌握证明命题真假的方法。
过程与方法目标
通过对命题、逆命题的分析，培养学生的逻辑思维能力和语言表达能力。
经历探究互逆定理的过程，体会从特殊到一般的数学思想。
情感态度与价值观目标
培养学生积极参与数学活动，敢于质疑、勇于探索的精神。
让学生感受数学知识的严谨性和逻辑性，体会数学的应用价值。
二、教学重难点
重点
互逆命题、互逆定理的概念及命题真假的判断。
能正确写出一个命题的逆命题。
难点
判断一个命题的逆命题的真假性，理解原命题为真，其逆命题不一定为真。
用逻辑推理的方法证明命题的真假。
三、教学方法
讲授法、讨论法、练习法相结合
四、教学过程
（一）导入新课（5 分钟）
展示一些简单的命题，如 “如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” ，“如果 a=b，那么 a =b ”。引导学生分析这些命题的题设和结论。
提问：能否交换这些命题的题设和结论，得到新的命题？新命题是否成立？从而引出本节课的课题 —— 互逆命题、互逆定理。
（二）讲授新课（25 分钟）
互逆命题
给出互逆命题的定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
举例说明：如原命题 “如果两个角是直角，那么这两个角相等”，它的逆命题是 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 。让学生进一步理解互逆命题的概念。
组织学生进行小组讨论，每个小组写出 3 - 5 个命题，并交换写出它们的逆命题。
命题真假的判断
引导学生思考如何判断一个命题的真假。对于真命题，需要通过推理证明；对于假命题，只需举一个反例即可。
以刚才的命题为例，分析原命题和逆命题的真假性。如 “如果两个角是直角，那么这两个角相等” 是真命题，而它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是直角” 是假命题，因为两个相等的角不一定是直角，还可能是锐角或钝角等。
让学生自己判断之前小组讨论中写出的命题及其逆命题的真假性，并在小组内交流。
互逆定理
给出互逆定理的定义：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
举例说明：如 “两直线平行，同位角相等” 和 “同位角相等，两直线平行” 是互逆定理。
强调：并不是所有的定理都有逆定理，只有当定理的逆命题为真命题时，才有逆定理。
（三）例题讲解（15 分钟）
例 1：写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）如果 a = 0，那么 ab = 0。
（2）全等三角形的对应角相等。
（3）等腰三角形的两个底角相等。
分析：
（1）逆命题为 “如果 ab = 0，那么 a = 0”，这是假命题，因为当 b = 0 时，ab = 0，a 不一定为 0。
（2）逆命题为 “对应角相等的三角形是全等三角形”，这是假命题，因为对应角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。
（3）逆命题为 “有两个角相等的三角形是等腰三角形”，这是真命题，它是等腰三角形的判定定理。
例 2：证明命题 “如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等” 是真命题。
分析：引导学生画出图形，写出已知、求证，然后进行证明。
已知：在△ABC 中，∠B = ∠C。
求证：AB = AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
因为 AD 平分∠BAC，所以∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B = ∠C，
∠BAD = ∠CAD，
AD = AD（公共边），
所以△ABD≌△ACD（AAS）。
所以 AB = AC。
（四）课堂练习（10 分钟）
写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）如果 x = 2，那么 x = 4。
（2）直角三角形的两个锐角互余。
（3）对顶角相等。
判断下列说法是否正确：
（1）每个命题都有逆命题。
（2）每个定理都有逆定理。
（3）真命题的逆命题一定是真命题。
（4）假命题的逆命题一定是假命题。
（五）课堂小结（5 分钟）
与学生一起回顾互逆命题、互逆定理的概念，以及如何判断命题的真假。
强调：原命题为真，逆命题不一定为真；原命题为假，逆命题也不一定为假。
（六）布置作业（5 分钟）
课本课后习题，要求学生认真书写解题过程，判断命题真假时要说明理由。
拓展作业：收集生活中或数学学习中至少两个互逆命题，并分析它们的真假性。
五、教学反思
在教学过程中，要注重引导学生积极思考、主动参与，通过实际例子帮助学生理解抽象的概念。对于学生在判断命题真假和写逆命题时容易出现的错误，要及时给予纠正和指导。在今后的教学中，可以进一步加强练习，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
情境导入
在小学就已经认识角．观察下图，你能从中抽象出一些角吗？
这些角都有什么共同特征？
观 察
探索新知
角的定义及表示
描述一下角是由什么组成的图形：
由具有________的两条_____组成的图形，叫做角.
公共端点
射线
公共端点
两条射线
角的______
角的______
顶角
边
(静态定义)
(动态定义)
把一条射线绕着它的端点从一个位置逆时针(或顺时针)旋转到另一个位置时所成的图形称为角.
B
O
A
射线原来所在的位置 OA
旋转后的位置 OB
射线的端点 O
角的______
角的________
角的________
顶点
始边
终边
角的边
从始边旋转到终边所扫过的区域
角的________
内部
当射线绕着端点旋转到与原来的位置在同一直线上但方向相反时，所成的图形叫作平角.
平角
当射线绕着端点旋转一周，又重新回到原来位置时，所成的图形叫作周角.
周角
注意：
平角虽然在一条直线上，但是它是由两条共端点的射线构成；
周角不是一条射线，而是两条重合的射线；
如果没有特殊说明，本书中所讲的角只限于不大于平角的角.
角通常可用如图所示的方法来表示.
O
A
B
1
∠AOB， ∠BOA 或∠O
∠ 1
α、β、γ等希腊字母，也常用来表示角.
用三个大写字母表示角时，顶点字母应放在中间.
∠ α
练一练
下列四个图中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的是( )
D
图中有几个角，你能把它们表示出来吗？
∠AOB
∠AOC
∠AOD
∠BOC
∠BOD
∠COD
6个.
A
B
C
D
注意顺序，做到不重不漏
O
A
O
B
C
图中有几个角？它们之间有什么关系？
∠AOC+∠BOC=∠AOB
∠AOB-∠BOC=∠AOC
∠AOB-∠AOC=∠BOC
下面两个角哪一个更大？
角的大小由角的始边绕顶点旋转至终边时旋转量的大小决定.
角的大小比较
可以用线段长度比较方法比较角吗？
B
A
D
E
F
C
任画两个角，怎样比较它们的大小？
①用量角器量出每个角的度数，再比较两者的大小.
B
A
D
E
F
C
∠ABC ＜ ∠DEF
探 究
读数为32°
读数为47°
(度量法)
②先移动∠DEF，使它的顶点E与∠ABC的顶点B重合，并且使∠DEF的一条边EF与∠ABC的一条边BC重合，边ED、BA都在BC的同侧.
(叠合法)
B
A
E
F
C
∠ABC ＜ ∠DEF
这只是一种情况.
D
情形 示意图 ∠ABC与∠DEF的关系
ED与BA重合 ∠ABC =∠DEF
ED落在∠ABC内部 ∠ABC >∠DEF
ED落在∠ABC外部 ∠ABC <∠DEF
A(D)
C(F)
B(E)
A
C(F)
B(E)
D
D
C(F)
B(E)
A
可能出现以下情形：
③如图，分别以两角的顶点 B，E 为圆心，以相同长度的半径画一段圆弧，与∠ABC，∠DEF的两边分别相交于点M，N 及点 P，Q. 再将圆规尖移至点 M 处，使另一脚落在点 N 处，在不改变圆规张角的条件下，将圆规尖移至点P处.
(尺规作图法)
∠ABC=∠DEF
∠ABC＞∠DEF
∠ABC＜∠DEF
把一个角对折，你有什么发现？
A
O
B
∠AOC+∠BOC=∠AOB
∠AOC=∠BOC
角的平分线
C
以一个角的顶点为端点的一条射线，如果把这个角分成两个相等的角，那么这条射线叫作这个角的平分线.
O
A
B
C
几何语言
∵OC是∠AOB的角平分线，
∴∠AOC=_________=___∠AOB
或∠AOB=_________=________
∠BOC
2∠BOC
2∠AOC
如何画一个角的角平分线？
A
O
B
C
①以点O为圆心，以合适的长为半径画弧，交OA、OB分别于点M、点N；
②分别以点M、点N为圆心，以小于MN的长度为半径画弧，交于点C；
③连接OC，射线OC即为其角平分线.
M
N
练一练
如图，下列结论中正确的是( )
A.∠AOC=∠BOC
B. ∠AOC=∠AOB+∠BOC
C. ∠AOC=∠AOB-∠BOC
D. ∠AOC=∠BOC
B
C
A
O
C
1. 下列说法中正确的是（ ）
A. 两条射线所组成的图形叫做角
B. 有公共端点的两条线段组成的图形叫做角
C. 角是一条射线绕着它的端点旋转而成的图形
D. 平角是一条直线
C
课堂练习
2. 如图，下列说法中错误的是（ ）
A. ∠1 与∠PON 表示同一个角
B. ∠α 表示的是∠MOP
C. ∠MON 也可用∠O 表示
D. 图中共有三个角：∠MON，∠POM，∠PON
C
【教材P162页 练习第1题】
3.图中有哪几个角？用适当的方式将这些角表示出来．
答：∠ABC，
∠BCE，
∠BCD，
∠ECD.
4. 对于如图所示的各个角，用 “>”、“<” 或“=” 填空：
（1）∠AOB ______∠AOC，
（2）∠DOB ______∠BOC，
（3）∠BOC ______∠AOD，
（4）∠AOD ______∠BOD.
<
>
>
<
【教材P162页 练习第2题】
5. 如图，OC 平分∠AOB，OD 平分∠AOC， 且 ∠AOB ＝ 100°， 则 ∠COD 的度数是（ ）
A.75°　 　B.50° C.25° D.20°
C
6. 在一张纸片上画一个角，通过折叠折出这个角的平分线.
【教材P162页 练习第3题】
点击播放
1. 下列关于角的说法正确的个数是( )
①角是由两条射线组成的图形；
②角的边越长，角越大；
③用放大镜看一个角，角的度数变大了；
④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.
A
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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2. 如图，下列表示角的方法中，错误的是( )
B
（第2题）
A. 与 表示同一个角
B. 也可以用 表示
C. 图中共有三个角，分别是 ,
,
D. 表示
返回
3. 下列对于图形的描述中,正确的有( )
B
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
返回
4.［2025宁德期末］比较两个角的大小关系:小明用度量法测
得 ， ;小丽用叠合法比较,将两个角
的顶点重合,边与重合，边和 置于重合边的同侧,
则边____（填序号：①在的内部;②在 的外部;
③与边 重合）.
①
返回
（第5题）
5. 如图，已知
,平分 ，且
，则 ______.
【点拨】设 ，则
.因为平分 ,所以
.因为 ,
, 所以,解得 .所以
.
返回
6. 如图，有一长方形纸片,为 边的中
点，将纸片沿,折叠，使点落在点处，点 落在点
处.若 ，则 ______.
（第6题）
（第6题）
【点拨】因为 ，所以
平分，平分，所以 ,
,所以
，所以
.
.
因为将纸片沿，折叠，使点
落在点处，点落在点 处，所以
返回
（第7题）
7. 如图， ,
是的平分线，是 的平分线，
是的平分线, ,是
的平分线，则 __________.
（第7题）
【点拨】因为平分， ，
所以 .因为 平分
，所以
.
因为平分 ,所以
. 因为 平分
,所以 .….所
以 .
（第7题）
返回
课堂小结
角与角大小的比较
角的定义及表示方法
角的大小比较
叠合法
度量法
角平分线
尺规作图法
谢谢观看！

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